CCINP Mathématiques 2 PC 2005Sujet, corrigé et rapport du jury

N.B.: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

On considère l'équation différentielle linéaire du 2^∘ ordre en la fonction inconnue y de la variable réelle x :

où λ désigne un paramètre réel.
I.1. Etant donné λ ∈ ℝ, comparer les équations (E_λ) et (E_(− λ − 1)).

On supposera dans la suite du problème que λ ≥ − 1/2.

Dans la suite de cette partie, y désigne une fonction de la variable réelle x, admettant un développement en série entière y(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n au voisinage de 0 .
I.2. Montrer que, pour que y soit solution de l'équation (E_λ), il faut et il suffit que l'on ait pour tout n ∈ ℕ :

I.3.1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur λ ∈ [ − 1/2, + ∞[ pour que l'équation ( E_λ ) admette des solutions polynomiales de degré donné d ∈ ℕ ?
I.3.2. Lorsque c'est le cas, montrer qu'il existe une unique solution polynomiale de (E_λ) de degré d, que nous noterons φ_d, telle que φ_d(0) = 1.
I.3.3. Expliciter la fonction polynôme φ_1.
I.3.4. Déterminer les coefficients a, b, c, a^′, b^′, c^′ tels que :
(8x^2 + 8x + 1)/(x(x + 1)(2x + 1)) = a/x + b/(x + 1) + c/(2x + 1), 1/(x(x + 1)(2x + 1)^2) = (a^′)/x + (b^′)/(x + 1) + (c^′)/((2x + 1)^2).
En déduire la solution générale de l'équation ( E_1 ) sur ]0, + ∞[.
I.4. On se place dans le cas où λ ≥ − 1/2, λ ∉ ℕ.
I.4.1. On suppose que y est une solution non identiquement nulle de (E_λ).

Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n.
I.4.2. Montrer qu'il existe une unique solution de (E_λ), que nous noterons φ_λ, développable en série entière de la variable x sur ] − 1, + 1[ et telle que φ_λ(0) = 1.
I.4.3. Expliciter les développements en série entière de la variable x des fonctions φ_(− 1/2) et φ_(1/2).

Soit ψ la fonction de la variable réelle x définie par :

II.1. Montrer que ψ est définie et continue sur [ − 1, + ∞[.
II.2. Montrer que ψ est indéfiniment dérivable sur ] − 1, + ∞[.

II.3.1. Montrer que pour tout u ∈ ] − 1, + 1[ on a √(1 + u) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)((− 1)^(n − 1))/(2n − 1)((2n)!)/(2^(2n)(n!)^2)u^n.
II.3.2. Montrer que ψ est développable en série entière de la variable x sur ] − 1, + 1[ et que l'on a :

II.3.3. Pour tout n ∈ ℕ on pose I_n = ∫_0^(π/2)sin^(2n)tdt. Montrer que pour tout n ≥ 1 on a I_n = (2n − 1)/(2n)I_(n − 1).
Calculer I_0.
En déduire I_n pour tout n ∈ ℕ, ainsi que le développement de ψ en série entière de la variable x sur ] − 1, + 1[.
II.3.4. Montrer que pour tout n ∈ ℕ, on a ((2n)!)/(2^(2n)(n!)^2) ≤ 1.
II.3.5. Montrer que le développement de ψ en série entière est intégrable terme à terme sur ] − 1, + 1[, et en déduire que :

II.4. Déduire du développement de ψ en série entière une expression de ψ(x) en fonction de φ_(1/2)(x) et φ_(− 1/2)(x) pour tout x ∈ ] − 1, + 1[.
II.5. Dans le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (O, ı⃗, ȷ⃗), on considère l'ellipse C paramétrée par t ∈ [0, 2π] ⟼ bcost.ı⃗ + asint.ȷ⃗, où a et b sont des nombres réels donnés tels que a ≥ b > 0. On note ℓ sa longueur et e son excentricité.
Montrer que ℓ = πa[φ_(1/2)(− e^2) + φ_(− 1/2)(− e^2)].

Soit f la fonction de la variable réelle t définie par :

III.1. Montrer que f est définie et continue sur ℝ, et 2π-périodique.
III.2. Montrer que f est de classe C^1 sur ℝ.
III.3. Montrer que la série de Fourier de f est de la forme :

où α_0, α_2, …α_(2n), … sont des nombres réels que l'on ne cherchera pas à calculer. Préciser pourquoi la fonction f est égale à la somme de sa série de Fourier.
III.4. A l'aide du résultat de la question II.3.5, donner une expression de α_0 sous forme de somme d'une série numérique.