CCINP Mathématiques 1 PC 2005Sujet, corrigé et rapport du jury

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
∗∗∗∗

Les objectifs de ce problème sont les suivants :

Soit ℕ l'ensemble des entiers naturels, ℕ^∗ = ℕ∖{0} et pour n dans ℕ^∗, ℕ_n = {1, 2, …, n}. Si n est un entier supérieur ou égal à 1 , on note M_n(ℂ) le ℂ-espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans ℂ et M_(n, 1)(ℂ) le ℂ-espace vectoriel des matrices colonnes à n lignes à coefficients dans ℂ. I_(r_0) est la matrice identité dont les coefficients sont donnés par le symbole de Kronecker défini par

Pour A = (a_(ij))_(1 ⩽ i ⩽ n) appartenant à M_n(ℂ), ^i A désigne la matrice transposée de A, A_(ij) désigne 1 ≤ j ≤ n le cofacteur de l'élément a_(ij) et on appelle comatrice de A la matrice dont le coefficient de la i^(ème) ligne et de la j^(ème) colonne est A_(ij). Cette matrice sera notée ComA.

Lorsque les coefficients a_(ij) de A sont des fonctions de s définies sur un intervalle I de ℝ, on rappelle que A est dérivable sur I si et seulement si toutes les fonctions a_(ij) : I ⟶ ℂ sont dérivables sur I et qu'alors :

On pourra utiliser sans le redémontrer que le produit de deux applications A et B de I dans M_n(ℂ), dérivables sur I, est dérivable sur I et que :

I. 1 Soit la matrice M donnée par : M = (5, 0, 3; − 6, − 1, − 3; − 6, 0, − 4)
a) Calculer detM.
b) Calculer la matrice produit M × ^i ComM.
c) Déterminer le polynôme caractéristique χ_M de M.
d) Calculer (I_3 + M)(2I_3 − M), puis la matrice χ_M(M).
I. 2 Soit A = (a_(ij)) ∈ M_n(ℂ), (β_1, β_2, …, β_n) ∈ ℂ^n et B la matrice déduite de A en remplaçant la j^(ème) colonne de A par la colonne formée des coefficients β_1, β_2, …, β_n.
a) Montrer que detB = ∑_(k = 1)^(n_n)β_k A_(kj).
b) En déduire les égalités : ∀(l, j) ∈ ℕ_r^2, ∑_(k = 1)^n a_(kl)A_(kj) = (detA)δ_(lj).
c) Montrer de même les égalités : ∀(l, i) ∈ ℕ_(r_0)^2, ∑_(k = 1)^(n_n)a_(lk)A_(ik) = (detA)δ_(li).
d) En déduire les formules :

I. 3 a) Soit (G_(ij))_(1 ⩽ j ⩽ n) une famille de n^2 polynômes à coefficients complexes, tous de degré inférieur ou égal à 1 . Pour x ∈ ℂ, on note G(x) la matrice de M_n(ℂ) de terme général G_(ij)(x). Montrer par récurrence sur l'ordre de la matrice qu'il existe un polynôme Q à coefficients complexes, de degré inférieur ou égal à n tel que pour tout x appartenant à ℂ, det G(x) = Q(x).
b) Soit p ∈ ℕ et D_0, D_1, …, D_p des matrices de M_n(ℂ) telles que pour tout x ∈ ℂ, ∑_(k = 0)^p x^k D_k = 0. Montrer que pour tout k dans {0, 1, …, p}, D_k = 0.
I. 4 Pour tout x ∈ ℂ, on pose C(x) = ^t Com(A − xI_n) et on note χ_A(x) = ∑_(k = 0)^(n_b)α_k x^k le polynôme caractéristique de A.
a) Montrer qu'il existe n matrices B_0, B_1, …, B_(n − 1) dans M_n(ℂ) telles que :

b) En utilisant les questions I. 2 et I.3, établir les égalités matricielles suivantes:

c) En déduire que le polynôme caractéristique χ_A de la matrice A est un polynôme annulateur de A.

Soit A ∈ M_n(ℂ), λ_1, λ_2, …, λ_n ses valeurs propres dans ℂ non nécessairement distinctes. On introduit les matrices suivantes:

II. 1 a) Montrer que A commute avec chaque matrice C_k.
b) Montrer que (A − λ_r I_r)C_r = 0.
II. 2 On rappelle que le problème de Cauchy

admet une unique solution Y : ℝ ⟶ M_(n, 1)(ℂ), s ⟼ Y(s). On notera (y_i(s))_(1 ⩽ i ⩽ n) les composantes de Y(s).

On considère alors le nouveau problème de Cauchy suivant :

où la fonction inconnue E est une application dérivable de ℝ dans M_n(ℂ).
a) Soit E_A : ℝ ⟶ M_n(ℂ), s ⟼ ∑_(k = 1)^n y_k(s)C_k. Montrer que :

En déduire que E_A est solution du problème (1).
b) Montrer que E_A est aussi solution du problème (2) ci-dessous :

c) Soit φ : ℝ ⟶ M_n(ℂ), s ⟼ E_A(s)E_A(− s). Montrer que la fonction φ est constante égale à I_n. En déduire que pour tout s ∈ ℝ, E_A(s) est inversible et donner son inverse.
d) Soit F une solution du problème (1) et ψ la fonction de ℝ dans M_n(ℂ) définie pour tout s réel par ψ(s) = E_A(− s)F(s). Montrer que la fonction ψ est constante et en déduire que le problème (1) admet E_A pour unique solution.
e) Montrer que E_A est aussi l'unique solution du problème (2).

Désormais, on note pour tout s réel : E_A(s) = e^(sA). La matrice E_A(1) = e^A est appelée exponentielle de la matrice A. Cette notation et cette définition seront justifiées par les diverses propriétés étudiées dans la suite du problème.
II. 3 A l'aide de l'algorithme décrit dans les questions précédentes, déterminer explicitement les coefficients de e^(sM), où M est la matrice donnée à la question I.1.
II. 4 Soit le problème de Cauchy dans M_(r, 1)(ℂ) donné par :

Montrer que sa solution est donnée par Z(s) = e^(sA)Z_0.

III. 1 Montrer que pour tout s réel, la matrice e^(sA^) est un polynôme en A.
III. 2 Soit A et B deux matrices de M_n(ℂ) telles que AB = BA.
a) Montrer que pour tout s réel, A et e^(sB) commutent.
b) Montrer que pour tout s réel, e^(sA) et e^(sB) commutent.
c) Montrer que les fonctions

vérifient une même équation différentielle et en déduire e^(A + B) = e^A × e^B.
III. 3 On considère les matrices A = (1, 1; 0, 0) et B = (1, − 1; 0, 0).

Calculer e^A, e^B, e^(A + B) et e^A e^B. Quelle conclusion en tirez-vous?
III. 4 Soit A dans M_n(ℂ).
a) Montrer que si P est une matrice inversible de M_n(ℂ), on a pour tout s réel :

b) Montrer que pour tout s réel : e^(s(^(A)) = ^t(e^(sA)).

On se place désormais dans l'espace vectoriel euclidien orienté ℝ^3 muni de son produit scalaire canonique. B = (e_1, e_2, e_3) est la base canonique de ℝ^3 et u = (a, b, c) est un vecteur unitaire de ℝ^3. Soit x_0 un vecteur de ℝ^3 et x l'application de ℝ dans ℝ^3 solution du problème de Cauchy :

IV. 1 Si X(s) et X_0 sont les matrices colonnes respectives des coordonnées de x(s) et x_0 dans la base B, montrer que le problème (3) s'écrit encore:

où A est une matrice que l'on précisera.
IV. 2 Déterminer le polynôme caractéristique de A et montrer que A^3 = − A.
IV. 3 Montrer que e^(sA) = I_3 + (sins)A + (1 − coss)A^2 et donner l'expression de la solution du problème (4).
IV. 4 On note f et g respectivement les endomorphismes de ℝ^3 canoniquement associés aux matrices A et e^(sA).
a) Montrer qu'il existe une base orthonormale B_0 telle que la matrice de f dans cette base soit :

b) Déterminer l'image par g de la base B_0, puis caractériser géométriquement l'endomorphisme g.
c) Calculer e^(sB).