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Polytechnique Mathématiques 1 PC 2001Sujet et corrigé

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Polynômes de Legendre, fonctions associées et harmoniques sphériques
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Le sujet construit les polynômes de Legendre par dérivation itérée de (x²-1)^n et étudie leur orthogonalité dans un espace préhilbertien de fonctions continues. Il en déduit des fonctions associées f_{n,m}, une équation différentielle vérifiée par ces fonctions, puis relie polynômes homogènes harmoniques sur R³ et harmoniques sphériques sur la sphère unité via le laplacien en coordonnées sphériques.

  1. 1Première partieÉtude des polynômes de Legendre P_n : degré, parité, valeurs en 1 et -1, orthogonalité dans l'espace préhilbertien des fonctions continues sur [-1,1], et équation différentielle vérifiée par P_n.
  2. 2Deuxième partieÉtude des fonctions f_{n,m} construites à partir des dérivées successives de P_n, de leur parité et de leur orthogonalité.
  3. 3Troisième partieÉtude des polynômes homogènes sur R³ et des polynômes homogènes harmoniques, avec calcul de la dimension de ces espaces à l'aide du laplacien.
  4. 4Quatrième partiePassage aux coordonnées sphériques, expression du laplacien sur la sphère et construction des harmoniques sphériques Y_{n,m} à partir des fonctions f_{n,m}, puis lien avec les polynômes homogènes harmoniques de la troisième partie.

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PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Les polynômes de Legendre, fonctions de Legendre et harmoniques sphériques étudiés dans ce problème ont des applications à la détermination des équilibres de température et des distributions de charges électriques, ainsi qu'à la mécanique quantique.
Les fonctions considérées sont à valeurs dans R. On identifie une fonction polynomiale avec le polynôme associé.

Première partie

Pour tout n ∈ N, on considère la fonction polynomiale P_n, définie par
P_n(x) = 1/(2^n n!)(d^n)/(dx^n)((x^2 − 1)^n)
pour x ∈ R. Il résulte des conventions habituelles que P_0(x) = 1 pour x ∈ R.
1.a) Montrer que le polynôme P_n est de degré n. Quel est le coefficient du terme de degré n dans P_n ?
b) Pour quelles valeurs de n la fonction P_n est-elle paire? impaire?
c) Calculer P_n(1) et P_n(− 1).
2. Soit n ⩾ 1. Montrer que pour tout m ∈ N tel que 0 ⩽ m ⩽ n − 1,
∫_(− 1)^1 P_n(x)x^m dx = 0
  1. On désigne par E l'espace préhilbertien réel des fonctions continues sur [ − 1, 1] muni du produit scalaire
(u|v) = ∫_(− 1)^1 u(x)v(x)dx
pour u, v ∈ E.
a) La famille (P_n)_(n ∈ N) est-elle une famille orthogonale dans E ?
b) Calculer (P_n|P_n) pour chaque n ∈ N.
4.a) Soit n ⩾ 1. Montrer que d/(dx)((x^2 − 1)(dP_n)/(dx)(x)) est orthogonal à x^m pour tout m ∈ N tel que 0 ⩽ m ⩽ n − 1.
b) Montrer que, pour tout n ∈ N, P_n est solution de l'équation différentielle
(x^2 − 1)y^(′′) + 2xy^′ − n(n + 1)y = 0

Deuxième partie

  1. Soit n ∈ N et soit m ∈ N tel que 0 ⩽ m ⩽ n. On pose
f_(n, m)(x) = (1 − x^2)^(m/2)(d^m P_n)/(dx^m)(x)
pour x ∈ [ − 1, 1].
a) Etudier la parité des fonctions f_(n, m) suivant les valeurs de n et m.
b) Montrer que f_(n, m) ∈ E et que, si n^′ ∈ N, n^′ ≠ n et 0 ⩽ m ⩽ n^′, alors f_(n, m) et f_(n^′, m) sont orthogonales dans E.
Dans la quatrième partie, on utilisera la propriété suivante, que l'on admettra : sur l'intervalle ] − 1, 1[, la fonction f_(n, m) est de classe C^2 et est solution de l'équation différentielle
(1 − x^2)y^(′′) − 2xy^′ + (n(n + 1) − (m^2)/(1 − x^2))y = 0

Troisième partie

On désigne par x_1, x_2, x_3 les coordonnées canoniques de R^3. Par définition une fonction polynomiale (ou polynôme) homogène sur R^3 de degré N, où N ∈ N, est une combinaison linéaire à coefficients réels de monômes (x_1)^(i_1)(x_2)^(i_2)(x_3)^(i_3), où i_1, i_2, i_3 ∈ N et i_1 + i_2 + i_3 = N. On convient que la fonction nulle est un polynôme homogène de degré N pour tout N ∈ N.
6.a) Soit f une fonction de classe C^1 sur R^3, nulle en 0 , dont les dérivées partielles (∂f)/(∂x_1), (∂f)/(∂x_2), (∂f)/(∂x_3) sont des fonctions polynomiales homogènes sur R^3 de degré N. Montrer que f est une fonction polynomiale homogène de degré N + 1.
b) Soit f une fonction de classe C^N sur R^3 qui vérifie
f(λx_1, λx_2, λx_3) = λ^N f(x_1, x_2, x_3)
pour tous x_1, x_2, x_3 ∈ R, λ ∈ R. Montrer que f est une fonction polynomiale homogène sur R^3 de degré N.
7. Montrer que, si f est une fonction polynomiale homogène sur R^3 de degré N,
x_1(∂f)/(∂x_1) + x_2(∂f)/(∂x_2) + x_3(∂f)/(∂x_3) = Nf.
  1. On désigne par F_N l'espace vectoriel des polynômes homogènes sur R^3 de degré N. Trouver la dimension de F_N.
  2. Soit Δ = (∂^2)/(∂x_1^2) + (∂^2)/(∂x_2^2) + (∂^2)/(∂x_3^2) le laplacien sur les fonctions sur R^3. Une fonction f de classe C^2 sur R^3 telle que Δf = 0 est appelée harmonique. Soit
H_N = {f ∈ F_N|Δf = 0}
l'espace vectoriel réel des polynômes homogènes harmoniques sur R^3 de degré N. On se propose de déterminer la dimension de H_N, dimH_N.
a) Montrer que, pour N ⩾ 2, Δ(F_N) ⊂ F_(N − 2). En déduire que
dimH_N ⩾ 2N + 1.
b) On pose r^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2. Soit k ∈ N, 0 ⩽ 2k ⩽ N, et soit g ∈ F_(N − 2k). Calculer Δ(r^(2k)g) en fonction de g, Δg, r, N, k.
10. Soit f ∈ H_N, N ⩾ 2. On suppose qu'il existe g ∈ F_(N − 2) tel que f = r^2 g.
a) Montrer qu'il existe une fonction h de classe C^2 sur R^3 telle que f = r^(2K)h, où K est la partie entière de (N + 2)/2.
b) Montrer que f = 0.
11.a) Montrer que, si N ⩾ 2, dimH_N ⩽ dimF_N − dimF_(N − 2).
b) Quelle est la valeur de dimH_N ?

Quatrième partie

On conserve les notations de la troisième partie. On introduit les coordonnées sphériques ( r, θ, φ ) sur R^3 définies par
{x_1 = rsinθcosφ; x_2 = rsinθsinφ; x_3 = rcosθ
pour r ∈ ]0, + ∞[, θ ∈ ]0, π[, φ ∈ ]0, 2π[. On négligera le fait que ces coordonnées ne sont pas définies pour les points d'un demi-plan de R^3. On écrira
f(x_1, x_2, x_3) = f~(r, θ, φ)
(expression de f en coordonnées sphériques). Soit
S = {(x_1, x_2, x_3) ∈ R^3|x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1}
la sphère de centre 0 et de rayon 1 . On pose
Δ_S = (∂^2)/(∂θ^2) + cotanθ∂/(∂θ) + 1/(sin^2 θ)(∂^2)/(∂φ^2)
et l'on admettra que
Δ˜ = (∂^2)/(∂r^2) + 2/r∂/(∂r) + 1/(r^2)Δ_S
est l'expression du laplacien en coordonnées sphériques, c'est-à-dire que
Δ(f)˜ = Δ˜(f˜)
Soit n ∈ N et m ∈ N. On considère les fonctions sur S définies par
{0 ⩽ m ⩽ n,, Y_(n, m)(θ, φ) = cos(mφ)f_(n, m)(cosθ); 0 < m ⩽ n,, Y_(n, − m)(θ, φ) = sin(mφ)f_(n, m)(cosθ)
où les f_(n, m) sont les fonctions étudiées dans la deuxième partie.
12. Montrer que pour tout n ∈ N et m ∈ Z tel que − n ⩽ m ⩽ n,
Δ_S Y_(n, m) = − n(n + 1)Y_(n, m)
  1. Soit n ∈ N et m ∈ Z tel que − n ⩽ m ⩽ n. Soit H_(n, m) la fonction sur R^3 telle que
H˜_(n, m)(r, θ, φ) = r^n Y_(n, m)(θ, φ)
a) Montrer que Δ˜H˜_(n, m) = 0.
b) Montrer, en regroupant dans H˜_(n, m) les termes en rsinθcosφ, rsinθsinφ et rcosθ, que H_(n, m) est un polynôme homogène harmonique sur R^3 de degré n.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet X maths 1 PC 2001 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet X maths 1 PC 2001 ?

Il porte sur les espaces préhilbertiens réels et l'orthogonalité, les équations différentielles linéaires, les fonctions de plusieurs variables (dérivées partielles, laplacien) et les polynômes homogènes.

Quelles parties du sujet X maths 1 PC 2001 sont indépendantes ?

La troisième partie, sur les polynômes homogènes sur R³, peut être abordée indépendamment des deux premières ; la quatrième partie réutilise des résultats des deuxième et troisième parties.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Il faut maîtriser le produit scalaire sur les fonctions continues, l'orthogonalité de familles de fonctions, la résolution et l'utilisation d'équations différentielles linéaires du second ordre, ainsi que le calcul de dérivées partielles et du laplacien.

Le sujet X maths 1 PC 2001 utilise-t-il les coordonnées sphériques ?

Oui, la quatrième partie introduit les coordonnées sphériques pour exprimer le laplacien sur la sphère unité et définir les harmoniques sphériques.

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