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Polytechnique Mathématiques 1 PC 2002Sujet

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Mathématiques 1, X-ESPCI PC 2002 : équations différentielles à commande et contrôle optimal
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Le sujet étudie des systèmes linéaires régis par une équation différentielle dépendant d'une fonction de commande, dans le but de trouver la commande qui minimise un coût donné. Après des préliminaires sur l'exponentielle de matrice, la première partie établit l'existence et l'unicité de la solution du système commandé, puis caractérise la commande optimale non contrainte à l'aide d'une fonction adjointe. La deuxième partie restreint la commande à un intervalle borné et applique ces résultats à un problème concret de freinage optimal d'un mobile.

  1. 1Préliminaires : exponentielle de matriceOn établit la convergence, la continuité et les propriétés algébriques de l'exponentielle de matrice, utilisée pour résoudre les équations différentielles linéaires du problème.
  2. 2Première partie : système commandé et coût optimalOn établit l'existence et l'unicité de la solution du système linéaire commandé, on introduit une fonction de coût quadratique et une fonction adjointe qui caractérise la commande minimisant ce coût.
  3. 3Deuxième partie : commande contrainte et applicationOn restreint les commandes à un intervalle borné, on caractérise la commande optimale par une inégalité variationnelle, puis on applique ces résultats à un problème de freinage optimal d'un mobile en dimension 2.

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
L'objet de ce problème est l'étude de systèmes régis par une équation différentielle dépendant d'une donnée appelée « commande » et la recherche de «commandes optimales ».
Pour tout p ∈ N^∗, on note ‖ ⋅ ‖ la norme euclidienne sur R^p et (⋅ | ⋅) le produit scalaire euclidien. La transposée d'une matrice réelle M est notée M^∗. On identifie un élément de R^p avec une matrice à p lignes et une colonne.
Dans ce problème, on appelle fonction bien continue par morceaux sur un intervalle [0, T] de R toute fonction φ continue par morceaux, continue à gauche sur [0, T] et continue à droite en 0 , c'est-à-dire telle qu'il existe un nombre fini de points, t_0 = 0 < t_1 < … < t_(k − 1) < t_k = T tels que φ est continue sur [0, t_1], ]t_1, t_2], …, ]t_(k − 2), t_(k − 1)], ]t_(k − 1), T] et que lim_(t → t_ℓ; t > t_ℓ)φ(t) existe pour
ℓ = 1, 2, …, k − 1.

Préliminaires

Soit M_p l'espace vectoriel des matrices carrées réelles à p lignes. Pour M ∈ M_p, on pose
‖|M‖| = sup_(X ∈ R^p; X ≠ 0)(‖MX‖)/(‖X‖)
1.a) Vérifier que M ∈ M_p ⟼ ‖|M‖| ∈ R est une norme sur M_p.
b) Montrer que, pour toutes matrices M, N ∈ M_p,
‖|MN‖| ⩽ ‖|M‖|‖|N‖|.
2.a) Pour n ∈ N, on pose S_n(M) = ∑_(k = 0)^n 1/(k!)M^k. Montrer que la suite (S_n(M))_(n ∈ N) est convergente dans l'espace vectoriel M_p muni de la norme ‖‖ ⋅ ‖.
On pose
e^M = lim_(n → + ∞)S_n(M) = ∑_(k = 0)^∞1/(k!)M^k
b) Montrer que la fonction t ∈ R ↦ e^(tM) ∈ M_p est continue, dérivable et que
d/(dt)e^(tM) = Me^(tM)
c) Calculer d/(dt)(e^(tM)e^(− tM)) et, pour s ∈ R, d/(dt)(e^((s + t)M)e^(− tM)). En déduire que
e^((s + t)M) = e^(sM)e^(tM)

Première partie

Soit T un réel > 0 et soit A ∈ M_p. Soit B une fonction bien continue par morceaux sur [0, T] à valeurs dans R^p, et soit X_0 ∈ R^p. On pose, pour tout t ∈ [0, T],
X(t) = e^(tA)X_0 + ∫_0^t e^((t − s)A)B(s)ds
3.a) On suppose que B est continue. Montrer que t ↦ X(t) est l'unique fonction de classe C^1 sur [0, T] à valeurs dans R^p telle que X(0) = X_0 et, pour tout t ∈ [0, T],
d/(dt)X(t) = AX(t) + B(t).
On suppose maintenant et dans toute la suite du problème que B est seulement bien continue par morceaux.
b) Montrer que t ↦ X(t) est l'unique fonction continue, dérivable en tout point où B est continue, et de classe C^1 par morceaux sur [0, T] telle que X(0) = X_0 et que la condition (1) soit satisfaite en tout point où X est dérivable. Par convention, on dira encore que X est solution de l'équation différentielle (1) sur [0, T].
Soit q ∈ N^∗ tel que q ⩽ p et soit K une matrice réelle à p lignes et q colonnes. On désigne par U l'espace vectoriel des fonctions bien continues par morceaux sur [0, T] à valeurs dans R^q. A toute fonction U ∈ U, on associe l'équation différentielle sur [0, T]
d/(dt)X(t) = AX(t) + KU(t),
et l'on dit que U est la commande du système décrit par l'équation (2). On fixe X_0 ∈ R^p. On désigne par X_U l'unique solution de (2) telle que X_U(0) = X_0.
4. Montrer que, pour tout V ∈ U, il existe Y_V tel que, pour tout U ∈ U et tout λ ∈ R, on ait X_(U + λV) − X_U = λY_V. Préciser l'équation différentielle et la condition initiale satisfaites par Y_V.
Soient α, β, γ des réels ⩾ 0. On considère la fonction C : U → R définie par
C(U) = ∫_0^T(α‖X_U(t)‖^2 + β‖U(t)‖^2)dt + γ‖X_U(T)‖^2
modélisant un coût que l'on cherche à rendre minimal. Soient U, V ∈ U et λ ∈ R.
5. Montrer que C(U + λV) − C(U) est un polynôme du second degré en λ et donner des expressions des coefficients de ce polynôme. Que peut-on dire du signe du coefficient de λ^2 ?
6.a) Montrer qu'il existe une unique fonction Z_U : [0, T] → R^p, de classe C^1, telle que Z_U(T) = 2γX_U(T) et
d/(dt)Z_U(t) = − A^∗ Z_U(t) − 2αX_U(t)
b) Exprimer (Z_U(T)|Y_V(T)) + 2α∫_0^T(X_U(t)|Y_V(t))dt par une intégrale de 0 à T faisant intervenir K, V et Z_U. [On rappelle que pour des fonctions Z et Y à valeurs vectorielles, d/(dt)(Z(t)|Y(t)) = ((dZ)/(dt)(t)| Y(t)) + (Z(t)| (dY)/(dt)(t)).]
7.a) Déduire des questions précédentes que
d/(dλ)|_(λ = 0)C(U + λV) = ∫_0^T(K^∗ Z_U(t) + 2βU(t)|V(t))dt
b) Montrer que U_0 ∈ U vérifie la condition C(U_0) = inf_(U ∈ U)C(U), si et seulement si, ∀t ∈ [0, T], K^∗ Z_(U_0)(t) + 2βU_0(t) = 0.

Deuxième partie

On conserve les notations de la première partie.
Soit J un intervalle fermé et borné de R, non réduit à un point, et soit J^q le cube qu'il définit dans R^q. On considère l'ensemble Uˆ des commandes U ∈ U telles que ∀t ∈ [0, T], U(t) ∈ J^q.
8.a) L'ensemble Uˆ est-il un sous-espace vectoriel de U ?
b) Montrer que si U, V ∈ Uˆ, λ ∈ [0, 1], alors U + λ(V − U) ∈ Uˆ.
9. Montrer que U_0 ∈ Uˆ vérifie la condition
C(U_0) = inf_(U ∈ Uˆ)C(U)
si et seulement si, ∀t ∈ [0, T], ∀V ∈ Uˆ,
(K^∗ Z_(U_0)(t) + 2βU_0(t)|V(t) − U_0(t)) ⩾ 0
Dans l'application qui suit, on prend p = 2 et q = 1. On choisit J = [ − a, a], où a > 0. Soit k une constante réelle, k > 0.
Si t ↦ x(t) est une fonction deux fois dérivable, on pose
x˙ = (dx)/(dt), x¨ = (d^2 x)/(dt^2).
Pour toute fonction u ∈ Uˆ, on étudie les fonctions t ↦ x(t) de [0, T] dans R, de classe C^1, et de classe C^2 par morceaux telles que x¨(t) = − ku(t) en tout point t ∈ [0, T] où x¨ est définie.
10.a) Écrire ce problème sous la forme (2) avec des matrices A et K que l'on déterminera. Soient x_0 et v_0 des nombres réels. Montrer qu'il existe une unique fonction x_u solution de ce problème telle que x_u(0) = x_0 et x˙_u(0) = v_0.
b) Trouver α, β, γ pour que C(u) = (x_u(T))^2 + (x˙_u(T))^2. Ces valeurs de α, β, γ sont choisies dans toute la suite du problème.
c) Montrer que Z_u est une fonction affine de t à valeurs dans R^2.
11.a) Soit u_0 ∈ Uˆ tel que x_(u_0)(T) = 0 et x˙_(u_0)(T) = 0. Montrer que C(u_0) = inf_(u ∈ Uˆ)C(u).
b) Soit u_0 ∈ Uˆ tel que
(i) x_(u_0)(T) et x˙_(u_0)(T) ne sont pas tous deux nuls;
(ii) C(u_0) = inf_(u ∈ Uˆ)C(u).
Montrer que la fonction u_0 est constante par morceaux.
12. On suppose que x_0 = 1 + (T^2)/2(1 + (ka)/2), v_0 = − T/2.
a) On considère u_0(t) telle que :
u_0(t) = a si 0 ⩽ t ⩽ T/2, u_0(t) = − a si T/2 < t ⩽ T.
Calculer x_(u_0)(T) et x˙_(u_0)(T).
b) Montrer que C(u_0) = inf_(u ∈ Uˆ)C(u).
c) On considère le cas où ka = 1/4 et T = 4. La fonction u_0 est-elle alors l'unique fonction de Uˆ telle que C(u_0) = inf_(u ∈ Uˆ)C(u) ?

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 X-ESPCI PC 2002 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 X-ESPCI PC 2002 ?

Il porte sur l'exponentielle de matrice, les équations différentielles linéaires, les normes d'espaces vectoriels et des notions d'optimisation appliquées au contrôle de systèmes.

Les deux parties sont-elles indépendantes ?

Non, la deuxième partie sur les commandes contraintes réutilise les résultats de la première partie sur l'existence de la solution et la fonction adjointe.

Qu'est-ce qu'une commande optimale dans ce sujet ?

C'est la fonction de commande qui minimise un coût quadratique dépendant de la trajectoire du système et de l'énergie de la commande, caractérisée à l'aide d'une fonction adjointe.

Ce sujet est-il faisable en première année ?

Non, il mobilise l'exponentielle de matrice et des notions d'optimisation de deuxième année, appliquées à des équations différentielles linéaires à second membre.

Pas de description pour le moment