CCINP Mathématiques 2 PC 2002Sujet et corrigé

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené a prendre.

Pour tout n ∈ ℕ, on note P_n la fonction polynôme de la variable réelle x définie par:

I. 1 Donner une expression explicite des fonctions polynômes P_0, P_1, P_2, P_3.
I. 2 Exprimer P_n(− x) en fonction de P_n(x).
I. 3 Calculer P_n(0) et P_n^′(0).
I. 4 En effectuant de deux façons différentes le calcul de (d^(n + 2))/(dx^(n + 2))[(x^2 − 1)^(n + 1)], montrer que l'on a :

I. 5 Soit k un nombre entier compris au sens large entre 0 et n − 1. Préciser l'ordre de multiplicité de +1 et -1 en tant que racines de la dérivée d'ordre k de (x^2 − 1)^n.

En appliquant le théorème de Rolle aux dérivées successives de (x^2 − 1)^n, montrer que P_n admet n racines réelles distinctes, toutes comprises strictement entre -1 et +1 .

Soit f la fonction de deux variables réelles x, y définie par:

II. 1 Représenter graphiquement l'ensemble 𝒟_f des couples (x, y) ∈ ℝ^2 en lesquels f(x, y) est définie.

Soit 𝔈 l'ensemble des couples (x, y) ∈ ℝ^2 tels que 2|x|.|y| + |x|^2 < 1.
On admettra que l'on a sur ξ un développement en série de f de la forme :

où les fonctions A_n sont de classe C^∞, et que les dérivées partielles de f à tous les ordres, par rapport à l'ensemble des deux variables x et y, peuvent se calculer en dérivant terme à terme le deuxième membre de l'égalité (E).
II. 2 Représenter graphiquement l'ensemble 𝔈.
II. 3 Calculer A_n(0) et A_n^′(0) pour tout n ∈ ℕ.

II.4.1 Calculer x(∂f)/(∂x)(x, y) + (x − y)(∂f)/(∂y)(x, y).

En déduire que l'on a yA_0^′(y) = 0, et pour tout n ≥ 1, yA_n^′(y) − A_(n − 1)^′(y) = nA_n(y)
II.4.2 Calculer (1 − 2xy + x^2)(∂f)/(∂x)(x, y) + (x − y)f(x, y).

En déduire que l'on a A_1(y) − yA_0(y) = 0, et pour tout n ≥ 2 :

II.4.3 En dérivant les relations obtenues à la question précédente, montrer que l'on a, pour tout n ≥ 1, la relation A_n^′(y) − yA_(n − 1)^′(y) = nA_(n − 1)(y)
II.4.4 Déduire de ce qui précède que l'on a pour tout n ∈ ℕ :

Exprimer A_n(y) en fonction de P_n(y) pour tout y ∈ ] − 1, + 1[.

On considère les fonctions F, C et S des deux variables réelles x et θ définies pour |x| < 1 et θ quelconque par :

III. 1 Pour x fixé tel que |x| < 1, déterminer les développements en séries de Fourier ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n(x)cosnθ de C(x, θ) et ∑_(n = 0)^(+ ∞)b_n(x)sinnθ de S(x, θ) considérées comme fonctions de la variable θ. On montrera que C(x, θ) + iS(x, θ) = 1/(1 − xe^(iθ)).

A-t-on les égalités C(x, θ) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n(x)cosnθ et S(x, θ) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)b_n(x)sinnθ pour tout couple (x, θ) appartenant à ] − 1, + 1[ × ℝ ?
III. 2 Déduire de la question précédente le développement en série de Fourier F(x, θ) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)u_n(x)cosnθ de F(x, θ) considérée comme fonction de la variable θ, ainsi que le développement en série entière F(x, θ) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)v_n(θ)x^n de F(x, θ) considérée comme fonction de la variable x.
III. 3 Montrer que pour tout θ ∈ ℝ on a ∑_(k = 0)^n P_k(cosθ)P_(n − k)(cosθ) = (sin(n + 1)θ)/(sinθ), cette dernière fonction de θ étant supposée prolongée par continuité lorsque θ est multiple entier de π.

Soit λ un nombre réel non entier relatif. On considère l'équation différentielle linéaire en la fonction inconnue z de la variable réelle x, à valeurs réelles :

On se propose de déterminer les solutions de (L_2) développables en série entière au voisinage de 0 .
IV. 1 Soit z(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)α_n x^n la somme d'une série entière de rayon de convergence non nul. Déterminer la relation qui doit lier α_(n + 2) et α_n pour que z soit solution de (L_λ).
IV. 2 En déduire l'expression de α_n pour tout n ∈ ℕ.
IV. 3 Quel est le rayon de convergence des séries entières ainsi obtenues ?