CCINP Mathématiques 2 PC 2001Sujet et corrigé

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée.

Pour tout nombre entier relatif n ∈ ℤ, on définit la fonction J_n de la variable réelle x par :

(on ne cherchera pas à calculer cette intégrale)

I. 1 Montrer que J_n est définie sur ℝ, paire si n est pair et impaire si n est impair.
I. 2 Exprimer J_(− n)(x) en fonction de J_n(x).

On supposera dorénavant que n est un nombre entier positif ou nul.
I. 3 Montrer que J_n est de classe C^∞ sur ℝ.
I. 4 Montrer que l'on a J_n^′(x) = 1/π∫_0^π cost.[(n − xcost)cos(nt − xsint)]dt.

En déduire que J_n est solution de l'équation différentielle linéaire homogène :

II. 1 Montrer que pour tout p ∈ ℕ et tout x ∈ ℝ on a :

II. 2 Montrer que pour tout n ∈ ℕ, J_n est développable en série entière de x sur ℝ tout entier (on utilisera les développements en série entière des fonctions cosinus ou sinus, selon la parité de n ).
II. 3 Soit p un nombre entier naturel.
II.3.1 Calculer l'intégrale ∫_0^π cos2pt ⋅ sin^(2k)tdt pour tout nombre entier k supérieur ou égal à p (on pourra exprimer sin^(2k)t comme combinaison linéaire des cos2qt, avec q ∈ ℕ et q ≤ k). Lorsque p > 0, montrer que cette intégrale est nulle pour tout nombre entier k tel que 0 ≤ k < p.
En déduire les coefficients α_(2k)(p) du développement en série entière J_(2p)(x) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)α_(2k)(p)x^(2k) de J_(2p) sur ℝ.
II.3.2 Calculer l'intégrale ∫_0^π sin(2p + 1)t ⋅ sin^(2k + 1)tdt pour tout nombre entier k supérieur ou égal à p (on pourra exprimer sin^(2k + 1)t comme combinaison linéaire des sin(2q + 1)t, avec q ∈ ℕ et q ≤ k ). Lorsque p > 0, montrer que cette intégrale est nulle pour tout nombre entier k tel que 0 ≤ k < p.
En déduire les coefficients α_(2k + 1)(p) du développement en série entière J_(2p + 1)(x) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)α_(2k + 1)(p)x^(2k + 1) de J_(2p + 1) sur ℝ.
II.3.3 A. On fixe x ∈ ℝ. Exprimer en fonction des valeurs des J_n(x) les coefficients de Fourier des fonctions cos(xsint) et sin(xsint) de la variable t. Ces deux fonctions sont-elles égales à la somme de leurs séries de Fourier?
B. En déduire la valeur des sommes J_0(x) + 2∑_(p = 1)^(+ ∞)(− 1)^p J_(2p)(x), J_0(x) + 2∑_(p = 1)^(+ ∞)J_(2p)(x), ∑_(p = 1)^(+ ∞)(− 1)^p J_(2p + 1)(x) et J_0(x)^2 + 2∑_(n = 1)^(+ ∞)J_n(x)^2.

On considère l'équation différentielle linéaire homogène :

où λ est un nombre réel donné.

III.1.1 Montrer que, pour que x^λ z(x) soit solution de (B_λ) sur ]0, + ∞[, il faut et il suffit que z soit solution de l'équation :

III.1.2 Dans le cas où λ = − 1/2, déterminer la solution générale de ( B_λ^′ ) sur ]0, + ∞[, et en déduire la solution générale de ( B_λ ) sur ]0, + ∞[.
III.1.3 En déduire la solution générale de ( B_λ^′ ) sur ]0, + ∞[ lorsque λ = 1/2.

On se propose à présent de chercher les solutions de ( B_λ ) sur ]0, + ∞[ de la forme y(x) = x^λ z(x), où z(x) est la somme d'une série entière.
III. 2 On cherche les solutions de (B_λ^′) sur ]0, + ∞[ de la forme z(x) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)a_k x^k.
III.2.1 Etablir la relation qui doit exister pour tout k ≥ 1 entre a_(k + 1) et a_(k − 1) pour que z soit solution de (B_λ^′).

On suppose dorénavant que λ n'est pas un entier strictement négatif.
III.2.2 Montrer qu'il existe une unique solution z_λ de (B_λ^′) de la forme z_λ(x) = ∑_(p = 0)^(+ ∞)a_(2p)(λ)x^(2p), et telle que a_0(λ) = 1. Calculer a_(2p)(λ) pour tout p ∈ ℕ. Quel est le rayon de convergence de la série entière ∑a_(2p)(λ)x^(2p) ?
III. 3 On définit sur ]0, + ∞[ la fonction j_λ parj_λ(x) = x^λ z_λ(x).
III.3.1 On suppose que λ n'est pas un nombre entier.

Montrer que les fonctions j_λ et j_(− λ) sont linéairement indépendantes.
En déduire la solution générale de ( B_λ ) sur ]0, + ∞[.
III.3.2 Soit n un nombre entier strictement positif.

Comparer j_n à la fonction J_n, définie au début du problème.
Vérifier que la fonction z_(− n), définie par z_(− n)(x) = x^(2n)z_n(x) est solution de l'équation ( B_(− n)^′ ).