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Mines Mathématiques 2 PC 2012Sujet et rapport du jury

Équation de la chaleur

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Résolution de l'équation de la chaleur par séries de Fourier : problème aux valeurs propres, construction et unicité de la solution
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Le problème, classique de la théorie des séries de Fourier, consiste à résoudre l'équation de la chaleur avec conditions au bord. Il comporte quatre parties : un problème aux valeurs propres reposant sur les équations différentielles linéaires d'ordre 2, l'étude de la série de Fourier de la condition initiale, la construction d'une solution, puis l'étude de son unicité.

  1. 1Partie 1 : un problème aux valeurs propresÉtude des solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 et de leurs valeurs propres associées.
  2. 2Partie 2 : la série de Fourier de la condition initialeCalcul des coefficients de Fourier d'une fonction affine par morceaux et étude de leur convergence normale.
  3. 3Partie 3 : construction d'une solutionÉtude théorique et pratique de la convergence normale de séries de fonctions pour construire la solution de l'équation.
  4. 4Partie 4 : unicité de la solutionPartie plus originale portant sur l'unicité de la solution construite.

Difficulté moyenne. Le rapport qualifie le sujet à la fois de classique et d'abordable, ce qui a donné lieu à une grande variation de notes et à des copies très différentes les unes des autres.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Dérivation sans justification préalable · Discontinuités ignorées dans le découpage de l'intégrale · Majoration sans valeur absolue autour du sinus
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Le sujet, équilibré et progressif, a permis de contrôler à la fois la capacité de réflexion et la rigueur mathématique des candidats. Les notes partielles variaient beaucoup au sein d'une même copie, et la dispersion entre copies était très importante. Les connaissances de première année restent globalement mal assimilées.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Dérivation sans justification préalableQ1

    Un très grand nombre de candidats commencent à dériver la relation sans avoir justifié au préalable que cela était possible.

    « ont commencer à dériver sans se soucier de la »
  2. 2
    Discontinuités ignorées dans le découpage de l'intégraleQ6

    La plupart des candidats n'appliquent pas la règle de Chasles en tenant compte des discontinuités avant l'intégration par parties.

    « la plupart de candidats ne se »
  3. 3
    Majoration sans valeur absolue autour du sinusQ8, Q10, Q12

    Cette erreur, très fréquente, invalide la majoration utilisée pour prouver la convergence normale.

    « sans valeur absolue entourant le sinus, cf questions 10, 12 aussi. »
  4. 4
    Sens de la majoration inversé pour la divergenceQ11, Q13

    Majorer le terme d'une série par celui d'une série divergente ne force pas la première à diverger : c'est l'inverse qui fonctionne.

    « majorer le terme d’une série par celui d’une série divergente ne force »
  5. 5
    Caractère local de la dérivabilité mal exploitéQ12

    Le passage de la dérivabilité sur un intervalle restreint à un intervalle plus large aurait pu être justifié simplement par le caractère local de cette notion.

    « il suffisait d’écrire que la dérivabilité est une notion locale. »

Ce qui a été bien réussi

  • La première partie, relevant du cours sur les équations différentielles linéaires d'ordre 2, a été réussie par la quasi-totalité des candidats.
  • La question 7, dont le résultat était suggéré par l'énoncé, a été obtenue par tout le monde.
  • Les élèves maîtrisant le cours ont pu s'en sortir honorablement, et les plus astucieux ont accumulé des points à la dernière partie.

Conseils du jury

  • Toujours justifier qu'une dérivation est licite avant de l'effectuer.
  • Rédiger des réponses succinctes mais complètes, en trouvant l'équilibre entre couvrir un maximum de questions et lever toute ambiguïté.
  • Ne jamais donner une justification que l'on sait erronée ou insuffisante.
  • Lire le sujet en entier avant de commencer à rédiger, pour mieux comprendre les objets étudiés.
  • Se méfier des majorations hasardeuses, en particulier autour de quantités trigonométriques comme le sinus.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2012

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC(Durée de l'épreuve : trois heures)L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Equation de la chaleur

Dans ce texte on note R l'ensemble des nombres réels, N l'ensemble des nombres entiers positifs ou nuls, N^∗ = N∖{0} l'ensemble des nombres entiers strictement positifs et Z l'ensemble des entiers relatifs.
Le problème est consacré à l'équation de la chaleur monodimensionnelle; la fonction inconnue u définie dans le domaine [0, π] × [0, + ∞[ ⊂ R^2 à valeurs réelles est supposée continue, et de plus indéfiniment dérivable par rapport à x sur ]0, π[ et par rapport à t sur ]0, + ∞[. L'inconnue u est solution du système d'équations suivant :
(∂u)/(∂t)(x, t), = (∂^2 u)/(∂x^2)(x, t) sur ]0, π[ × ]0, + ∞[; u(0, t), = u(π, t) = 0∀t ∈ [0, + ∞[ : conditions aux limites; u(x, 0), = f(x)∀x ∈ [0, π] : condition initiale,
où f désigne une fonction définie sur l'intervalle [0, π]. Dans la suite on prendra comme condition initiale la fonction f définie par
f(x) = {x, 0 ≤ x ≤ π/2; π − x, π/2 ≤ x ≤ π.
La variable x est la variable d'espace, t est la variable temporelle.

1 Un problème aux valeurs propres

On cherche ici à déterminer les valeurs de λ (valeurs propres) pour lesquelles il existe une solution non nulle de l'équation différentielle ordinaire
v^(′′) + λv, = 0 sur [0, π]; v(0), = v(π) = 0.
Question 1 Montrer que si v est solution de (5)-(6) alors elle est de classe C^∞ sur ]0, π[ et que
∫_0^π v^(′′)(x)v(x)dx = − ∫_0^π(v^′(x))^2 dx;
en déduire que si v n'est pas identiquement nulle, alors λ ≥ 0.
Question 2 Pour λ ≤ 0, déterminer l'ensemble des solutions de (5). En déduire que le système d'équations (5)-(6) n'a pas d'autre solution que la solution nulle.
Question 3 Montrer que (5)-(6) possède une solution non nulle si et seulement si ∃n ∈ N^∗ tel que λ = n^2. Pour n fixé, déterminer la dimension de l'espace des solutions et en expliciter une base.

2 La série de Fourier de la condition initiale

On note φ la fonction égale à f sur [0, π], impaire et prolongée par 2π-périodicité à R tout entier.
Question 4 Tracer la courbe représentative de φ sur [ − 5π/2, 5π/2] et en préciser le tableau de variation.
On note Φ^′ (dérivée généralisée), la fonction égale à la fonction dérivée φ^′ sur chaque intervalle de la forme ](2k − 1)π/2, (2k + 1)π/2[, k ∈ Z et prolongée par continuité sur chaque intervalle ](2k − 1)π/2, (2k + 1)π/2], k ∈ Z.
Question 5 Dessiner le graphe de la fonction Φ^′.
Soit p une fonction R ⟶ R, continue par morceaux et périodique de période 2π; on pose
c_n(p) = 1/(2π)∫_(− π)^π p(x)e^(− inx) dx, n ∈ Z; b_n(p) = i(c_n(p) − c_(− n)(p)), n ∈ N^∗ et b_0(p) = c_0(p).
Question 6 Démontrer que c_n(Φ^′) = inc _n(φ).
Question 7 Calculer c_n(Φ^′), en déduire que
b_n(φ) = 4/(πn^2)sin(nπ/2), n ∈ N^∗
et donner l'expression de la série de Fourier de φ en fonction des b_n(φ).
Question 8 En déduire que la série de Fourier de φ converge normalement.

3 Construction d'une solution de (1)-(2)-(3)

Pour tout n ∈ N^∗, on définit la fonction u_n sur le domaine [0, π] × [0, + ∞[ par
u_n(x, t) = b_n(φ)sin(nx)e^(− n^2 t), n ∈ N^∗
et on note u la somme de la série de fonctions ∑u_n, c'est-à-dire sous réserve de la convergence,
u(x, t) = ∑_(n ≥ 1)u_n(x, t)
Question 9 Montrer que pour tout n ∈ N^∗, u_n est continue sur [0, π] × [0, + ∞[, indéfiniment dérivable par rapport à x sur ]0, π[ et par rapport à t sur ]0, + ∞[, et vérifie (1).
Question 10 Montrer que la série de fonctions ∑u_n est convergente sur [0, π] × [0, + ∞[ et que la somme u définit une fonction continue sur [0, π] × [0, + ∞[.
Question 11 La série
∑(∂u_n)/(∂t)(π/2, 0)
converge-t-elle?.
Question 12 Soit δ > 0, montrer que la série de fonctions ∑(∂u_n)/(∂t) converge normalement sur [0, π] × [δ, + ∞[. En déduire que la somme u définie selon (10) admet une dérivée partielle par rapport à t sur [0, π] × [δ, + ∞[ et que
(∂u)/(∂t)(x, t) = ∑_(n ∈ N^∗)(∂u_n)/(∂t)(x, t) sur [0, π] × ]0, + ∞[.
Question 13 La série de fonctions ∑(∂u_n)/(∂t) converge-t-elle normalement sur [0, π] × [0, + ∞[ ? Justifiez votre réponse.
On admettra dans la suite (raisonnement analogue) que u admet des dérivées partielles de tous ordres sur [0, π] × ]0, + ∞[ et qu'elles s'obtiennent par dérivation sous le signe somme.
Question 14 Montrer que u est solution de (1)-(2)-(3).

4 Unicité de la solution

Soit h une fonction continue sur [a, b] ⊂ R et indéfiniment dérivable sur ]a, b[.
Question 15 Quel est le signe de h^′(α) et h^(′′)(α) si h atteint son maximum en α ∈ ]a, b[ ? Justifiez votre réponse.
On définit la dérivée à gauche h_g^′(b) de h en b selon la formule
h_g^′(b) = lim_(ε → 0^+)(h(b) − h(b − ε))/ε,
si la limite existe.
Question 16 Quel est le signe de h_g^′(b) si h admet en b une dérivée à gauche et y atteint son maximum?
On choisit T > 0 et on note
D_i, = ]0, π[ × ]0, T[, C = (]0, π[ × {T}), D = [0, π] × [0, T]; F, = ([0, π] × {0}) ∪ ({0} × [0, T]) ∪ ({π} × [0, T])
Figure 1 - Partition du domaine
Soit ε > 0, on définit la fonction v_ε par v_ε(x, t) = u(x, t) + εx^2 où u est une solution de (1)-(2)-(3).
Question 17 Montrer que v_ε ne peut atteindre son maximum sur D en aucun point de D_i ∪ C.
Notons M = max_((x, t) ∈ F)u(x, t).
Question 18 Déduire de ce qui précède que u atteint son maximum sur F.
Question 19 Conclure que la solution de (1)-(2)-(3) est unique.
Si u est une solution de (1)-(2)-(3) on pose
E(t) = 1/2∫_0^π(u(x, t))^2 dx, ∀t ≥ 0
Question 20 Démontrer que E^′(t) ≤ 0, ∀t > 0. En déduire par un autre raisonnement l'unicité de la solution de (1)-(2)-(3).

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de Mathématiques II Mines PC 2012 ?
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Sur quoi porte le sujet de Mathématiques II Mines PC 2012 ?

Le sujet porte sur la résolution de l'équation de la chaleur par séries de Fourier, avec un problème aux valeurs propres, la construction d'une solution et l'étude de son unicité.

Ce sujet de Mathématiques II Mines PC 2012 est-il difficile ?

Le rapport le qualifie de classique et abordable, mais la dispersion des notes reste très importante selon la maîtrise du cours des candidats.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Mines Maths II PC 2012 ?

Le jury relève des dérivations effectuées sans justification préalable, des majorations sans valeur absolue autour du sinus, et une confusion sur le sens de la majoration pour prouver la divergence d'une série.

La première partie du sujet Mines Maths II PC 2012 est-elle accessible ?

Oui, cette partie relève directement du cours sur les équations différentielles linéaires d'ordre 2 et a été réussie par la quasi-totalité des candidats.

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