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CCINP Mathématiques 2 PC 2012Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
La fonction polylogarithme : étude comme série entière, prolongement par une intégrale, et cas particulier lié aux séries de Fourier
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Ce problème de mathématiques 2, filière PC, étudie la fonction polylogarithme définie comme série entière, puis prolongée grâce à une représentation intégrale pour un paramètre alpha supérieur à 1. Il se termine par le cas particulier alpha=2, relié au calcul de coefficients de Fourier d'une fonction affine par morceaux et à la formule de Parseval.

  1. 1Partie I : le polylogarithmeÉtude de la fonction polylogarithme comme série entière : rayon de convergence, propriétés de la dérivée, calcul de sommes de séries entières de référence.
  2. 2Partie II : prolongement pour alpha>1Prolongement de la fonction par une intégrale à paramètre : continuité, dérivabilité, comportement en +infini et changement de variable vers le domaine complexe.
  3. 3Partie III : le cas alpha=2Calcul des coefficients de Fourier d'une fonction paire affine par morceaux, application de la formule de Parseval et calcul explicite de valeurs particulières de la fonction.

Difficulté moyenne. Le jury indique que le sujet comportait de nombreuses questions abordables permettant à certains candidats d'aller très loin, et que la progressivité des questions a permis un bon étalement des notes.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Oubli des valeurs absolues · Continuité affirmée sans justification suffisante · Hypothèses des théorèmes d'intégrales à paramètre non vérifiées
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Le jury souligne que ce sujet mobilise de nombreux résultats classiques d'analyse (séries entières, intégrales à paramètre, séries de Fourier) et distingue nettement les candidats selon leur capacité à citer précisément le cours et à en vérifier les hypothèses plutôt qu'à l'appliquer mécaniquement. La rédaction et la rigueur restent des axes de progrès.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Oubli des valeurs absoluesI-1.1

    On note un nombre significatif d'erreurs, et de points perdus, chez des candidats qui omettent de mettre des valeurs absolues dans leurs raisonnements, par exemple dans la règle de D'Alembert.

  2. 2
    Continuité affirmée sans justification suffisanteII-1.1

    La continuité de la somme d'une série de fonctions est souvent conclue par une formule trop lapidaire, sans invoquer la convergence normale ou le théorème radial.

    « un lapidaire « converge donc est continue »
  3. 3
    Hypothèses des théorèmes d'intégrales à paramètre non vérifiéesII-2.3, II-2.4

    Les hypothèses de domination, nécessaires à la continuité, à la dérivation sous le signe intégral ou au calcul de limite d'une intégrale à paramètre, sont rarement vérifiées avec précision.

  4. 4
    Caractère C1 bijectif du changement de variable non vérifiéII-4.2

    Le caractère au moins C1 bijectif du changement de variable utilisé doit être vérifié, ce qui est rarement fait.

  5. 5
    Coefficients de Fourier mal calculésIII-1.1

    Le calcul des coefficients de Fourier d'une fonction paire affine par morceaux, pourtant un exercice simple, donne un résultat correct dans moins d'un cas sur deux en raison d'erreurs de formules ou de calculs.

    « Beaucoup trop de résultats faux. »
  6. 6
    Formule de Parseval mal citéeIII-1.2

    Les hypothèses de la formule de Parseval sont rarement citées ou démontrées clairement, et une confusion entre convergence simple et convergence quadratique est fréquente.

Ce qui a été bien réussi

  • La règle de D'Alembert est globalement assimilée en I-1.1.
  • Les techniques d'intégration par parties ou de changement de variable sont bien utilisées, même si la précision manque parfois.
  • La question II-4.1 n'a échappé à presque personne, grâce aux connaissances accumulées sur le sujet.
  • La quasi-totalité des copies sont bien présentées.

Conseils du jury

  • Toujours citer précisément le théorème utilisé et vérifier une à une ses hypothèses, en particulier pour les théorèmes de domination.
  • Ne pas oublier les valeurs absolues dans les raisonnements de convergence, notamment avec la règle de D'Alembert.
  • Vérifier explicitement le caractère de classe C1 et bijectif d'un changement de variable avant de l'utiliser.
  • S'entraîner sur les calculs classiques (coefficients de Fourier, formule de Parseval) qui doivent être maîtrisés sans erreur.
  • Rédiger avec rigueur : écrire n'importe quoi ne rapporte pas de points, mieux vaut une réponse argumentée et incomplète.
  • Soigner la présentation de la copie, en encadrant les résultats et en citant clairement les théorèmes.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

Les trois parties sont, dans une large mesure, indépendantes.
On s'intéresse ici aux propriétés de la fonction polylogarithme, définie comme série entière et à son prolongement grâce à une représentation intégrale. On établit aussi quelques formules générales et on complète l'étude par celle d'un cas particulier.

Partie I : le polylogarithme

Dans toute cette partie, α est un réel fixé.

I - 1.1.

Déterminer le rayon de convergence de la série entière L_α définie par :
L_α(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(x^n)/(n^α)

I-1.2.

Justifier que l'application L_α est de classe C^∞ sur ] − 1, 1[.

I - 1.3.

Montrer que :
∀x ∈ ] − 1, 1[, L_α(− x) + L_α(x) = 2^(1 − α)L_α(x^2).

I-2.1.

Pour tout x ∈ ] − 1, 1[, établir une relation entre L_(α + 1)^′(x) et L_α(x).
Exprimer L_(α + 1)(x) sous forme de l'intégrale entre 0 et x d'une certaine fonction.

I-2.2.

Pour x ∈ ] − 1, 1[, préciser les valeurs de L_α(x) lorsque α = 0, α = − 1 et α = 1.

I-3.

Dans cette question, on suppose que α ⩽ 1.
Montrer que L_α(x) tend vers + ∞ quand x tend vers 1 par valeurs strictement inférieures. Pour cela, on pourra chercher à minorer L_α(x) pour x ∈ ]0, 1[.

Partie II : prolongement pour α > 1

Dans toute cette partie, α est un réel strictement supérieur à 1 .

II - 1.1.

Montrer que la fonction L_α définie en I -1.1 est continue sur [ − 1, 1].

II - 1.2.

Déterminer lim_(x → 1; x < 1)L_2^′(x) et préciser si la fonction L_2 est dérivable en 1 .

II - 2.1.

Montrer que l'application φ : u ↦ (u^(α − 1))/(e^u − 1) est intégrable sur ]0, + ∞[.

II - 2.2.

Pour tout réel x ⩽ 1, justifier l'existence de K_α(x) = ∫_0^(+ ∞)(u^(α − 1))/(e^u − x) du.

II - 2.3.

Montrer que l'application K_α ainsi définie est continue sur l'intervalle ] − ∞, 1 ].

II - 2.4.

Dans cette question, on suppose que α > 2.
Montrer que la fonction K_α est de classe C^1 sur l'intervalle ] − ∞, 1 ].

II - 2.5.

On revient au cas général où α > 1.
Montrer que la fonction K_α est de classe C^1 sur tout segment [a, b] avec a < b < 1, puis sur l'intervalle ] − ∞, 1[.

II - 3.1.

Prouver l'existence de G_α = ∫_0^(+ ∞)t^(α − 1)e^(− t) dt et justifier que G_α > 0.

II - 3.2.

Montrer que pour tout x ∈ [ − 1, 1] et pour tout u > 0, on a :
1/(e^u − x) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)x^k e^(− (k + 1)u)

II - 3.3.

En déduire que pour tout x ∈ [ − 1, 1], en utilisant L_α(x) défini dans I - 1.1 et K_α(x) défini dans II - 2.2, on a la relation :
xK_α(x) = G_α L_α(x).
On précisera avec soin le théorème d'intégration terme à terme utilisé.

II - 4.1.

Pour tout x ∈ ] − ∞, 1], on prolonge la définition de L_α(x) en posant :
L_α(x) = x/(G_α)∫_0^(+ ∞)(u^(α − 1))/(e^u − x) du.
Montrer que l'application L_α ainsi définie est continue sur ] − ∞, 1 ] et de classe C^1 sur ] − ∞, 1[.

II-4.2.

Montrer que pour tout réel x ⩽ 1, on a :
L_α(x) = x/(G_α)∫_0^1((− ln(t))^(α − 1))/(1 − xt) dt

II - 4.3.

Justifier que l'on peut prolonger la fonction L_α sur ℂ∖]1, + ∞[ par la définition :
∀z ∈ ℂ∖]1, + ∞[, L_α(z) = z/(G_α)∫_0^(+ ∞)(u^(α − 1))/(e^u − z) du.
Montrer alors que pour tout z ∈ ℂ, tel que z^2 ∉ ]1, + ∞[, on a encore la relation :
L_α(z) + L_α(− z) = 2^(1 − α)L_α(z^2).

Partie III : le cas α = 2

On s'intéresse ici, pour tout x ∈ [ − 1, 1], à : L_2(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(x^n)/(n^2).

III - 1.1.

Soit f : ℝ → ℝ, 2π-périodique et impaire, telle que :
∀x ∈ ]0, π], f(x) = (π − x)/2.
Calculer les coefficients de Fourier « b_n(f) » pour n ∈ ℕ^∗.

III - 1.2.

Grâce à l'égalité de Parseval que l'on précisera, appliquée à f, en déduire la valeur de L_2(1). Calculer aussi L_2(− 1).

III - 2.1.

Montrer que la fonction Φ définie par :
∀x ∈ ]0, 1[, Φ(x) = L_2(x) + L_2(1 − x) + ln(x)ln(1 − x)
est de classe C^1 sur ]0, 1[.

III - 2.2.

Montrer que la fonction Φ est constante sur ]0, 1[ et vaut L_2(1).

III - 2.3.

En déduire la valeur de L_2(1/2).

III - 2.4.

Prouver aussi que :
∀x ∈ [ − 1, 1/2], L_2(x) + L_2(x/(x − 1)) = − 1/2(ln(1 − x))^2.

III - 3.

Grâce à II - 3, calculer K_2(1) = ∫_0^(+ ∞)u/(e^u − 1) du.

III - 4.

Désormais, on s'intéresse au prolongement de L_2 considéré en II - 4 , vérifiant en particulier la relation vue en II-4.2 dont on partira pour traiter les questions suivantes, c'est-à-dire :
∀x < 0, L_2(x) = − x/(G_2)∫_0^1(ln(s))/(1 − xs) ds.

III - 4.1.

Montrer alors que pour tout x < 0, on a aussi les égalités :
L_2(x) = − ∫_x^0(ln(t/x))/(1 − t) dt = ∫_x^0(ln(1 − t))/t dt
On pourra effectuer un changement de variable et une intégration par parties.

III-4.2.

Pour tout x < 0, calculer g(x) = ∫_x^0(ln(1 − t))/(t − 1) dt.

III - 4.3.

Justifier l'existence de l'intégrale A = ∫_(− ∞)^0(ln(1 − t))/(t(t − 1))dt.

III - 4.4.

Préciser lim_(x → − ∞)g(x) et lim_(x → − ∞)(L_2(x) − g(x)). En déduire un équivalent simple de L_2(x) quand x tend vers − ∞, cet équivalent dépendant de ln(− x).

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 CCINP PC 2012 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 CCINP PC 2012 ?

Elle porte sur la fonction polylogarithme étudiée comme série entière puis prolongée par une intégrale à paramètre, avec un cas particulier lié au calcul de coefficients de Fourier et à la formule de Parseval.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de maths 2 CCINP PC ?

Le jury signale des oublis de valeurs absolues, une continuité affirmée sans justification suffisante, des hypothèses de domination non vérifiées, et un calcul des coefficients de Fourier souvent faux.

Ce sujet de mathématiques 2 CCINP PC 2012 sur le polylogarithme est-il difficile ?

Le jury le décrit comme comportant de nombreuses questions abordables, avec une progressivité qui a permis un bon étalement des notes, certains candidats allant très loin dans le sujet.

Faut-il bien maîtriser les séries de Fourier pour cette épreuve du CCINP ?

Oui, la dernière partie du sujet repose sur le calcul de coefficients de Fourier et l'application de la formule de Parseval, des points que le jury juge souvent mal maîtrisés.

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