CCINP Mathématiques 1 PC 2012Sujet et rapport du jury

Pas encore noté

Explorer les annales

BanqueCCINP Année2012 FilièrePC MatièreMathématiques

Annales CCINP PC Mathématiques CCINP PC 2012 PC Mathématiques Mathématiques 2012

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Corrigé : pas encore disponible

Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Diagonalisabilité d'un couple de matrices (A, B)

Le problème définit et étudie la notion de diagonalisabilité d'un couple de matrices (A, B), qui généralise la diagonalisation d'une seule matrice. Cinq parties abordent des cas particuliers de petite dimension, le cas où B est inversible, le cas de matrices symétriques réelles et un critère général de diagonalisabilité.

1Partie I : diagonalisabilité dans un cas particulier (dimension 3)Étudier un exemple explicite de couple de matrices d'ordre 3 dont les vecteurs propres sont donnés.
2Partie II : cas où B est inversibleÉtudier les propriétés du polynôme det(A - λB) et le lien avec les valeurs propres du couple.
3Partie III : couple de matrices symétriques réellesUtiliser le produit scalaire associé à une matrice symétrique définie positive et le théorème spectral.
4Partie IV : critère de diagonalisabilitéÉtablir, sous des hypothèses simplificatrices, une condition liée à l'égalité des multiplicités algébriques et géométriques.
5Partie V : cas particulier en dimension 4Calculer un déterminant explicite sur des matrices de type circulant, en réinvestissant certains résultats précédents.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que les questions étaient très guidées et largement indépendantes, avec une progression raisonnable en difficulté, mais que la fin de la partie III et l'ensemble de la partie IV ont été peu abordés.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées

Justification insuffisante d'une famille génératrice · Calcul matriciel général mal maîtrisé · Confusion sur la nullité de λ

Le sujet évaluait la connaissance du cours, la qualité du raisonnement et l'efficacité des candidats, sans question nécessitant de combiner plusieurs idées originales. Le soin et la présentation des copies étaient bons, mais la qualité de rédaction a régressé par rapport aux années précédentes.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Justification insuffisante d'une famille génératriceI.2.c
Plus de la moitié des candidats prennent des vecteurs au hasard dans un sous-espace propre sans justifier qu'ils forment une famille génératrice ni libre.
2
Calcul matriciel général mal maîtriséIII.1.a
Le calcul matriciel sur des matrices générales pose d'énormes difficultés, avec des formules de produit mal écrites.
3
Confusion sur la nullité de λII.3.b
Plus de la moitié des candidats supposent à tort que le λ annulant le polynôme caractéristique du couple est non nul.
4
Raisonnement par récurrence inutileV.3.b
Beaucoup de candidats traitent par récurrence une question où ce raisonnement était inutile.

Ce qui a été bien réussi

La partie I, très guidée, a été très bien réussie par tous.
La partie V a été largement traitée et un candidat ayant réussi correctement les parties I et V obtenait plus de 6 sur 20.

Conseils du jury

Rédiger de façon juste, concise et synthétique plutôt que de choisir les méthodes de calcul les plus longues.
Bien gérer son temps sur l'ensemble du sujet, la partie V restant accessible même traitée en dernier.
Distinguer clairement les arguments justifiant qu'une matrice est diagonalisable de la construction effective d'une matrice de passage.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Pas encore de corrigé pour ce sujet : voici des sujets proches corrigés.

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Abstract

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

L'objectif du problème est de définir et d'étudier la notion de diagonalisabilité d'un couple de matrices

(A, B)

dans plusieurs situations.

Les parties I et V traitent chacune un cas particulier, respectivement en dimension 3 et 4. La partie II aborde le cas où B est inversible et la partie IV étudie un critère de diagonalisabilité. La partie III se réduit à l'étude du cas d'un couple de matrices symétriques réelles.

La partie I est indépendante des quatre autres parties. Les parties III, IV et V sont, pour une grande part, indépendantes les unes des autres.

Il est demandé, lorsqu'un raisonnement utilise un résultat obtenu précédemment dans le problème, d'indiquer précisément le numéro de la question utilisée.

Notations et définitions

Soient

n

p

deux entiers naturels non nuls,

𝕂

l'ensemble

ℝ

ℂ

H

une partie de

𝕂

.
Notons

M_(n, p)(𝕂)

l'espace vectoriel des matrices à

n

lignes et

p

colonnes à coefficients dans

𝕂

M_n(𝕂)

l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre

n

à coefficients dans

𝕂

S_n(𝕂)

l'espace vectoriel des matrices de

M_n(𝕂)

qui sont symétriques,

D_n(H)

l'ensemble des matrices diagonales de

M_n(𝕂)

à coefficients diagonaux dans

H

GL_n(𝕂)

l'ensemble des matrices de

M_n(𝕂)

qui sont inversibles,

O_n(ℝ)

l'ensemble des matrices de

M_n(ℝ)

qui sont orthogonales,

I_n

la matrice identité d'ordre

n

Définitions 1: Soient

(A, B) \in (M_n(𝕂))^2

λ \in 𝕂

On note $E_λ(A, B)$ l'ensemble des matrices-colonnes $X \in M_(n, 1)(𝕂)$ telles que $AX = λBX$ .
On dit que $λ$ est valeur propre du couple $(A, B)$ si $E_λ(A, B)$ n'est pas réduit à ${0}$ , c'est-à-dire si $A - λB$ n'est pas inversible.
On note $χ_((A, B))$ la fonction définie sur $𝕂parχ_((A, B))(λ) = det(A - λB)$ et $Sp(A, B)$ l'ensemble des valeurs propres du couple ( $A, B$ ), c'est-à-dire l'ensemble des éléments $λ \in 𝕂$ tels que $χ_((A, B))(λ) = 0$ .

Dans le cas particulier où

B = I_n

, on remarquera que ces définitions correspondent aux notions de valeur propre, d'espace propre et de polynôme caractéristique de

A

.
Ainsi,

E_λ(A, I_n)

χ_((A, I_n))

sont notés plus simplement

E_λ(A)

χ_A

Partie I : DIAGONALISABILITÉ DANS UN CAS PARTICULIER

Soit

A = (3, 1, 1; 2, 1, 0; 0, 0, - 1), B = (0, 0, 0; 4, 2, 0; 0, 0, - 2), C = (- 4, - 2, - 2; 12, 6, 4; 0, 0, 2)

D = (0, 0, 0; 0, 2, 0; 0, 0, 2)

On note aussi

F = (u_1, u_2, u_3)

pour

u_1 = (1; - 2; 0), u_2 = (1; 0; - 3)

u_3 = (0; 1; - 1)

I.1.

I.1.a. Montrer que

B

n'est pas inversible.
I.1.b. Montrer que

A

est inversible.
I.1.c. Vérifier que

C = A^(- 1)B

I.2.

I.2.a. Montrer que

χ_((A, B))(λ) = - (2λ - 1)^2

.
I.2.b. En déduire

Sp(A, B)

.
I.2.c. Déterminer une base de

E_(1/2)(A, B)

et en déduire que

dimE_(1/2)(A, B) = 2

I.3.

I.3.a. Calculer

χ_((B, A))(λ)

et en déduire que

Sp(B, A) = {0, 2}

.
I.3.b. Établir les identités suivantes :

E_0(B, A) = Vect(u_1) = E_0(C) et E_2(B, A) = E_(1/2)(A, B) = Vect(u_2, u_3) = E_2(C).

I.3.c. En déduire que

dim(E_0(B, A)) + dim(E_2(B, A)) = 3

I.4.

I.4.a. Montrer que

F

est une base de

M_(3, 1)(ℝ)

formée de vecteurs propres de

C

.
I.4.b. Déterminer explicitement une matrice

R \in GL_3(ℝ)

telle que

C = RDR^(- 1)

.
I.4.c. Montrer que

B = ARDR^(- 1)

.
I.4.d. Justifier qu'il existe

P \in GL_3(ℝ)

Q \in GL_3(ℝ)

telles que

A = PI_3 Q

B = PDQ

Définitions 2: Soit

(A, B, A^', B^') \in (M_n(𝕂))^4

On dit que le couple ( $A, B$ ) est régulier s'il existe $λ \in 𝕂$ tel que $χ_((A, B))(λ) \neq 0$ .
On dit que le couple ( $A, B$ ) est équivalent au couple ( $A^', B^'$ ) et on note ( $A, B$ ) ~ ( $A^', B^'$ ) si :

\existsP \in GL_n(𝕂), \existsQ \in GL_n(𝕂) | A = PA^' Q et B = PB^' Q.

On dit que le couple $(A, B)$ est diagonalisable si :

\existsD \in D_n(𝕂), \existsD^' \in D_n(𝕂) | (A, B) \sim (D, D^').

Partie II : RÉGULARITÉ ET DIAGONALISABILITÉ

II.1. Soit

(A, B) \in (M_n(𝕂))^2

.
II.1.a. On suppose dans cette question que

B

est inversible. Pour

λ \in 𝕂

, exprimer

χ_((A, B))(λ)

en fonction de

χ_(B^(- 1)A)(λ)

et en déduire que

χ_((A, B))

est une fonction polynomiale dont on précisera le degré.
II.1.b. On suppose dans cette question que

n ⩾ 2

. Donner un exemple de couple

(A, B) \in (M_n(𝕂))^2

pour lequel

χ_((A, B))

est la fonction nulle alors que ni

A

B

n'est la matrice nulle.
II.1.c. Montrer que

χ_((A, B))

est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à

n

II.2.

II.2.a. Montrer que :

(A, B) \sim (A^', B^') ⟺ \existsP \in GL_n(𝕂), \existsQ \in GL_n(𝕂)|\forallλ \in 𝕂, A - λB = P(A^' - λB^')Q

.
II.2.b. Établir que si

(A, B)

est équivalent à

(A^', B^')

, alors il existe

α \in 𝕂

, non nul, tel que

χ_((A, B)) = α \cdot χ_((A^', B^'))

, puis que

Sp(A, B) = Sp(A^', B^')

.
II.3. On suppose dans cette question que (

A, B

) est régulier.
II.3.a. Montrer que :

∀λ ∈ 𝕂∖{0}, χ_((A, B))(λ) = (− λ)^n ⋅ χ_((B, A))(1/λ)

II.3.b. Montrer que (

B, A

) est régulier.
II.3.c. On suppose dans cette question que

r

s

sont deux entiers tels que

1 ⩽ r ⩽ s ⩽ n

a_r, a_(r + 1), \dots, a_s

des éléments de

𝕂

tels que

a_r \neq 0

a_s \neq 0

. On suppose également que

χ_((B, A))

s'écrit sous la forme :

\forallλ \in 𝕂, χ_((B, A))(λ) = \sum_(k = r)^s a_k λ^k

Montrer que 0 est racine de

χ_((B, A))

d'ordre de multiplicité

r

et que

χ_((A, B))

est de degré

n - r

.
II.3.d. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
i)

B

est inversible ;
ii)

χ_((A, B))

est de degré

n

;
iii)

0 \notin Sp(B, A)

.
II.4. On suppose dans cette question que

B

est inversible. Montrer que si

B^(- 1)A

est diagonalisable, alors (

A, B

) est diagonalisable.

Définitions 3: Soit

M \in S_n(ℝ)

, c'est-à-dire que

M

est une matrice symétrique réelle. On confondra toute matrice

A = (a)

M_1(ℝ)

avec le réel

a

On dit que $M$ est positive si : $\forallX \in M_(n, 1)(ℝ), ^t XMX ⩾ 0$ .
On dit que $M$ est définie-positive si $M$ est positive et inversible.

Partie III : DIAGONALISABILITÉ DANS LE CAS SYMÉTRIQUE

III.1.

III.1.a. Montrer que pour

M = (m_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) \in M_n(ℝ), X = (x_i)_(1 ⩽ i ⩽ n) \in M_(n, 1)(ℝ)

Y = (y_i)_(1 ⩽ i ⩽ n) \in M_(n, 1)(ℝ)

, alors

^t XMY = \sum_(1 ⩽ i, j ⩽ n)m_(i, j)x_i y_j

.
III.1.b. En déduire que pour

X \in M_(n, 1)(ℝ)

non nul,

^t XX > 0

.
III.1.c. Montrer que, pour

M \in S_n(ℝ)

, les propositions suivantes sont équivalentes :
i)

M

est définie-positive ;
ii)

Sp(M) \subset ℝ_+^*

;
iii) il existe

P \in O_n(ℝ)

D \in D_n(ℝ_+^*)

telles que

M = PD^t P

;
iv) il existe

L \in GL_n(ℝ)

telle que

M = ^t LL

Dans le cas où

M

est définie-positive, on pose:

\forall(X, Y) \in (M_(n, 1)(ℝ))^2, ⟨X, Y⟩_M = ^t XMY

.
III.2. Montrer que si

M

est définie-positive, l'application

(X, Y) \mapsto ⟨X, Y⟩_M

est un produit scalaire sur

M_(n, 1)(ℝ)

.
III.3. On suppose dans cette question que

(A, B) \in (S_n(ℝ))^2

avec

B

définie-positive. On suppose alors que

L

est une matrice de

GL_n(ℝ)

telle que

B = ^t LL

et on définit, par III.2, un produit scalaire sur

M_(n, 1)(ℝ)

, noté

⟨ \cdot, \cdot ⟩_B

.
III.3.a. Trouver une matrice

C \in S_n(ℝ)

telle que, pour tout

λ \in ℝ

X \in M_(n, 1)(ℝ)

ù é AX = λBX ⟺ CZ = λZ où on a posé Z = LX.

III.3.b. Montrer qu'il existe une base

B = (e_1, \dots, e_n)

M_(n, 1)(ℝ)

qui soit orthonormale pour le produit scalaire

⟨ \cdot, \cdot ⟩_(I_n)

et telle que, pour tout

i \in [ [1, n] ]

, il existe

λ_i \in ℝ

vérifiant :

Ce_i = λ_i e_i

.
III.3.c. Montrer qu'il existe une base

B^' = (e_1^', \dots, e_n^')

M_(n, 1)(ℝ)

qui soit orthonormale pour le produit scalaire

⟨ \cdot, \cdot ⟩_B

et telle que, pour tout

i \in [ [1, n] ], Ae_i^' = λ_i Be_i^'

.
III.3.d. En déduire que le couple

(A, B)

est diagonalisable.
III.4. On suppose dans toute la fin de la partie III que le couple (

A, B

) est régulier et que

A

B

sont toutes les deux symétriques réelles positives.
III.4.a. Montrer l'existence de

λ_0 \in ℝ_-^*

tel que

A - λ_0 B

soit une matrice symétrique réelle définie-positive.
III.4.b. En déduire que le couple

(A, B)

est diagonalisable.

Définitions 4: Soit

(A, B) \in (M_n(𝕂))^2

un couple régulier.

Pour $λ \in Sp(A, B)$ , on note $m_λ(A, B)$ l'ordre de multiplicité de $λ$ en tant que racine de $χ_((A, B))$ .
Si $B$ est inversible, on note $Sp_\infty(A, B) = Sp(A, B), m_\infty(A, B) = 0$ et $E_∞(A, B) = {0}$ .
Si $B$ n'est pas inversible, on note $Sp_∞(A, B) = Sp(A, B) ∪ {∞}, m_∞(A, B) = m_0(B, A)$ l'ordre de multiplicité de 0 en tant que racine de $χ_((B, A))$ et $E_\infty(A, B) = E_0(B, A)$ .

On cherche un critère de diagonalisabilité de (

A, B

) faisant intervenir

dim(E_λ(A, B))

On dit que $(A, B)$ vérifie la propriété $H$ si :

\forallλ \in Sp_\infty(A, B), dim(E_λ(A, B)) = m_λ(A, B).

Partie IV : UN CRITÈRE DE DIAGONALISABILITÉ

Dans toute cette partie, on suppose que

𝕂 = ℂ

. Soit

(A, B) \in (M_n(ℂ))^2

un couple régulier. Il existe donc

λ_0 \in ℂ

tel que

A - λ_0 B

soit inversible.

Dans toute la suite de la partie IV, on suppose pour simplifier les notations que

λ_0 = 0

si bien que

A

est inversible.

On note

d

le degré de

χ_((A, B))

C = A^(- 1)B

.
Dans les questions suivantes, on pourra être amené à distinguer le cas où

B

est inversible du cas où

B

n'est pas inversible.

IV.1.

IV.1.a. Montrer que

E_0(C) = E_0(B, A) = E_\infty(A, B)

.
IV.1.b. Montrer que si

λ \in ℂ^*

, alors

E_λ(C) = E_(1/λ)(A, B)

.
IV.1.c. Soient

λ_1, \dots, λ_k

des éléments dinstincts de

ℂ

. Justifier que si

ùéSp(C) = {λ_1, …, λ_k}, alors Sp_∞(A, B) = {1/(λ_1), …, 1/(λ_k)} où on a posé 1/0 = ∞.

IV.2. Vérifier que

m_\infty(A, B) = n - d

, puis que :

\sum_(λ \in Sp_\infty(A, B))m_λ(A, B) = n

.
IV.3. On suppose dans toute la suite de la partie que

(A, B)

vérifie la propriété

H

IV.3.a. Montrer que \sum_(λ \in Sp_\infty(A, B))dim(E_λ(A, B)) = n.

IV.3.b. Montrer que

C

est diagonalisable.
IV.3.c. Établir que le couple

(A, B)

est diagonalisable.

Dans toute la suite du problème, on admettra que si

(A, B)

est régulier et que

𝕂 = ℂ, (A, B)

est diagonalisable si et seulement si

(A, B)

vérifie la propriété

H

Partie V : EXEMPLE DE NON-DIAGONALISABILITÉ

Soit

n \in ℕ^*

et soit

B = (e_1, \dots, e_n)

la base canonique de

ℝ^n

.
On considère l'endomorphisme

f

ℝ^n

tel que :

f(e_1) = 0 et si n ⩾ 2, \foralli \in [ [2, n] ], f(e_i) = e_(i - 1).

On note

A_n

la matrice de

f

dans la base

B

B_n = ^t A_n

.
On note

g

l'endomorphisme de

ℝ^n

dont la matrice dans la base

B

est

B_n

.
Pour

λ \in ℝ, χ_((A_n, B_n))(λ)

sera noté

c_n(λ)

. On définit de plus

c_0(λ) = 1

.
V.1. Donner la forme explicite des matrices

A_n

B_n

.
V.2. Vérifier que la matrice de

f - λg

dans

B

est :

(0, 1; - λ, 0, 1, (0); ⋱, ⋱, ⋱; ⋱, ⋱, ⋱; (0), - λ, 0, 1; - λ, 0)

V.3.

V.3.a. Calculer

c_1(λ), c_2(λ), c_3(λ)

c_4(λ)

.
V.3.b. Montrer que pour

n ⩾ 2, c_n(λ) = λ \cdot c_(n - 2)(λ)

.
V.3.c. En déduire, pour

k \in ℕ

, les expressions de

c_(2k)(λ)

et de

c_(2k + 1)(λ)

.
V.3.d. Donner une condition sur

n \in ℕ

pour que (

A_n, B_n

) soit régulier.

V.4.

V.4.a. Déterminer

dim(E_0(A_4, B_4))

dim(E_\infty(A_4, B_4))

.
V.4.b. Calculer

m_0(A_4, B_4)

m_\infty(A_4, B_4)

.
V.4.c. Le couple (

A_4, B_4

) est-il diagonalisable ?

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 CCINP PC 2012 ?

Le sujet porte sur la réduction des endomorphismes, la diagonalisation de matrices symétriques et le théorème spectral, à travers la notion de diagonalisabilité d'un couple de matrices.

Le sujet de maths 1 CCINP PC 2012 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme progressif, avec des parties I et V accessibles et bien réussies, mais la fin de la partie III et la partie IV nettement moins abordées.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 1 PC 2012 ?

Le jury signale des familles génératrices non justifiées, un calcul matriciel général mal maîtrisé et des confusions sur la nullité de certains paramètres.

Combien de temps faut-il pour traiter le sujet de maths 1 CCINP PC 2012 ?

Le rapport indique qu'environ 10 % des candidats ont traité presque intégralement le sujet, la partie I étant conçue pour être réalisée en une trentaine de minutes.

Pas de description pour le moment

Commentaires• CCINP Mathématiques 1 PC 2012

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...