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Entrelacement des valeurs propres des matrices symétriques bordées, majorisation et matrices doublement stochastiques
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Le problème étudie comment les valeurs propres d'une matrice symétrique évoluent lorsqu'on lui ajoute une ligne et une colonne (bordure), établissant un théorème d'entrelacement. Il introduit ensuite la relation de majorisation entre suites croissantes pour comparer le spectre et la diagonale d'une matrice symétrique, puis relie cette relation aux matrices doublement stochastiques.

  1. 1Section 1 (Q1 à Q3) : entrelacement des valeurs propresOn étudie comment les valeurs propres d'une matrice diagonale, puis d'une matrice symétrique quelconque, s'entrelacent avec celles de la matrice bordée obtenue en ajoutant une ligne et une colonne.
  2. 2Section 2 (Q4 à Q8) : spectre et diagonale des matrices symétriquesOn introduit la relation de majorisation entre suites croissantes et on démontre que le spectre d'une matrice symétrique est majorisé par sa diagonale, avec une réciproque construisant une matrice symétrique à spectre et diagonale imposés.
  3. 3Section 3 (Q9 à Q13) : matrices doublement stochastiquesOn étudie les propriétés des matrices doublement stochastiques, leur lien avec la relation de majorisation et le théorème de Birkhoff via les matrices orthogonales.

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SESSION 2001

Filière Physique - Chimie

MATHÉMATIQUES

(Épreuve commune aux ENS: Ulm, Lyon et Cachan)

Durée : 4 heures

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans documents d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Avertissement : Les labels Qn, avec 0 ≤ n ≤ 13 indiquent les questions, certaines d'entre elles étant découpées en sous-questions numérotées de 1 à j, avec j ≤ 5.

Notations

On désigne par R le corps des nombres réels. Le problème concerne l'étude des matrices carrées à coefficients réels, dont l'ensemble est noté M_n(R). La matrice identité est notée I_n. On notera O(n) le groupe orthogonal et S(n) l'ensemble des matrices symétriques réelles à n lignes. Rappelons que O(n) est l'ensemble des matrices M de M_n(R) qui satisfont ^t MM = I_n ou, ce qui revient au même, M^t M = I_n. Si M ∈ M_n(R), on note P_M le polynôme caractéristique de M, défini par P_M(X) = det(XI_n − M).
On identifie canoniquement les vecteurs de R^n aux matrices colonnes à n lignes. En particulier, M_1(R) est identifié à R .
On dit que P, appartenant à M_n(R), est une matrice de permutation s'il existe une permutation σ de l'ensemble {1, …, n}, telle que p_(ij) = 1 si i = σ(j), p_(ij) = 0 sinon.
Q1 Soit D ∈ M_n(R) une matrice diagonale, x ∈ R^n un vecteur et a ∈ R un nombre. On forme une matrice N ∈ M_(n + 1)(R) par
N = (x_1; D, ⋮; x_n; x_1⋯x_n, a).
  1. On note d_1, …, d_n les coefficients diagonaux de D. Montrer que
P_N(X) = (X − a − ∑_(j = 1)^n(x_j^2)/(X − d_j))P_D(X).
  1. On suppose que d_1 < d_2 < ⋯ < d_n et que x_j ≠ 0 pour tout j. Etudier les variations de la fonction t ↦ P_N(t)/P_D(t). En déduire que les valeurs propres μ_0, …, μ_n de N sont réelles et que, rangées dans l'ordre croissant, elles satisfont
μ_0 < d_1 < μ_1 < ⋯ < d_n < μ_n
On admettra que, dans le cas général (les x_j pouvant s'annuler, et d_1 ≤ d_2 ≤ ⋯ ≤ d_n ), on a encore
μ_0 ≤ d_1 ≤ μ_1 ≤ ⋯ ≤ d_n ≤ μ_n
Q2 Réciproquement, soit D comme ci-dessus avec d_1 ≤ ⋯ ≤ d_n. On se donne des nombres réels μ_0, …, μ_n, satisfaisant
μ_0 ≤ d_1 ≤ μ_1 ≤ ⋯ ≤ d_n ≤ μ_n
  1. Montrer que la fraction rationnelle
F(X) = (∏_(l = 0)^n(X − μ_l))/(∏_(j = 1)^n(X − d_j))
n'a que des pôles simples, qu'on identifiera.
2. En déduire qu'il existe des nombres c_j ∈ R tels que
F(X) = X − a + ∑_(j = 1)^n(c_j)/(X − d_j), où a = ∑_(l = 0)^n μ_l − ∑_(j = 1)^n d_j.
  1. On commence par le cas simple où d_1 < d_2 < ⋯ < d_n. Montrer que chaque c_j est négatif ou nul.
  2. Dans le cas général, montrer qu'on peut choisir les c_j négatifs ou nuls.
  3. En déduire qu'il existe un vecteur x ∈ R^n tel que les nombres μ_0, …, μ_n soient les valeurs propres de la matrice N définie à la question Q 1 .
Q3 Soit M ∈ S(n) et λ_1, …, λ_n ses valeurs propres, rangées dans l'ordre croissant.
  1. Soit x ∈ R^n un vecteur et a ∈ R un nombre. Soit μ_0, …, μ_n les valeurs propres, rangées dans l'ordre croissant, de
N = (x_1; M, ⋮; x_n; x_1⋯x_n, a).
Montrer que
μ_0 ≤ λ_1 ≤ μ_1 ≤ ⋯ ≤ λ_n ≤ μ_n.
  1. Réciproquement, soit μ_0, …, μ_n des nombres réels satisfaisant
μ_0 ≤ λ_1 ≤ μ_1 ≤ ⋯ ≤ λ_n ≤ μ_n.
Montrer qu'il existe un vecteur x ∈ R^n et un nombre a ∈ R, tels que μ_0, …, μ_n soient les valeurs propres de la matrice N définie au 1.).

Spectre et diagonale des matrices symétriques

Pour n ≥ 1, C(n) désigne l'ensemble des suites croissantes a = (a_1, …, a_n) de n nombres réels. Si a ∈ C(n) et 1 ≤ k ≤ n, on note s_k(a) = a_1 + ⋯ + a_k. Si a, b ∈ C(n), on dit que b majore a, et on note a≺b, si
  • s_k(a) ≤ s_k(b), pour tout k = 1, …, n − 1,
  • s_n(a) = s_n(b).
Q4 Montrer que ≺ est une relation d'ordre sur C(n).
Tournez la page S.V.P.
Q5 Soit a ∈ C(n) et α = 1/ns_n(a). Montrer que a≺b, où b = (α, …, α).
Q6 Si M appartient à S(n), on note diag (M) la liste de ses coefficients diagonaux, rangés dans l'ordre croissant, et spec(M) celle de ses valeurs propres, rangées dans l'ordre croissant.
Montrer que spec(M)≺diag(M). On pourra faire une récurrence sur n.
Q7 Soit n ≥ 2 et a, b ∈ C(n), vérifiant a≺b. Notons Δ le sous-ensemble de C(n − 1) formé des suites d qui vérifient
  • a_1 ≤ d_1 ≤ a_2 ≤ ⋯ ≤ d_(n − 1) ≤ a_n,
  • s_k(d) ≤ s_k(b) pour tout k = 1, …, n − 1.
  1. Montrer que Δ est un compact non vide de R^(n − 1). En déduire qu'il existe un d^∗ dans Δ tel que s_(n − 1)(d^∗) ≥ s_(n − 1)(d) pour tout d ∈ Δ.
  2. On définit un entier r de la façon suivante : si pour tout j compris entre 1 et n − 1, s_j(d^∗) < s_j(b), on pose r = 0. Sinon, r est le plus grand entier entre 1 et n − 1 tel que s_r(d^∗) = s_r(b).
    (a) Montrer que d_j^∗ = a_(j + 1) pour tout j > r.
    (b) En déduire que s_(n − 1)(d^∗) ≥ s_(n − 1)(b).
    (c) Conclure qu'il existe c ∈ C(n − 1) telle que a_1 ≤ c_1 ≤ a_2 ≤ ⋯ ≤ c_(n − 1) ≤ a_n et c≺β, où β = (b_1, …, b_(n − 1)).
Q8 Montrer, par récurrence sur n, que si δ, λ ∈ C(n) satisfont λ≺δ, alors il existe M ∈ S(n) telle que δ = diag(M) et λ = spec(M).

Matrices doublement stochastiques

On dit qu'une matrice M ∈ M_n(R) est doublement stochastique si
  • ses coefficients m_(ij) sont positifs ou nuls,
  • ∑_(j = 1)^n m_(ij) = 1 pour tout i,
  • ∑_(i = 1)^n m_(ij) = 1 pour tout j.
On note e le vecteur de R^n dont toutes les composantes valent un. On désigne par DS_n l'ensemble des matrices doublement stochastiques.
Si x ∈ R^n, on désigne par x^ la suite des coordonnées de x, rangées dans l'ordre croissant ; on a x^ ∈ C(n). Si x, y ∈ R^n, on convient de noter encore x≺y lorsque x^≺y^.
Q9 Soit M ∈ DS_n.
  1. Montrer que e est un vecteur propre de M et de ^t M.
  2. Soit P une matrice de permutation. Montrer que PM et MP appartiennent à DS_n.
Q10 Soit M ∈ M_n(R). On suppose que x≺Mx pour tout x ∈ R^n. Montrer que M ∈ DS_n.
Q11 Soit a, b ∈ C(n), satisfaisant
∑_(j = 1)^n|b_j − t| ≤ ∑_(j = 1)^n|a_j − t|, ∀t ∈ R
  1. Montrer d'abord que s_n(a) = s_n(b).
  2. Choisissant t dans l'intervalle [a_k, a_(k + 1)], montrer alors que s_k(a) ≤ s_k(b).
  3. En déduire que si x, y ∈ R^n satisfont
∑_(j = 1)^n|y_j − t| ≤ ∑_(j = 1)^n|x_j − t|, ∀t ∈ R
alors x≺y.
Q12 On munit R^n de la norme
‖x‖ = ∑_(j = 1)^n|x_j|
Soit M ∈ DS_n.
  1. Montrer que ‖Mx‖ ≤ ‖x‖, pour tout x ∈ R^n.
  2. Appliquer cette inégalité et la question Q 11.3 pour montrer que x≺Mx pour tout x ∈ R.
Q13 1. Soit U ∈ O(n). On définit une matrice A ∈ M_n(R) par a_(ij) = u_(ij)^2. Montrer que A ∈ DS_n.
2. Soit x, y ∈ R^n deux vecteurs tels que x≺y. Utilisant le 1.) et la question Q 8 , montrer qu'il existe une matrice A ∈ DS_n telle que y = Ax.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de maths PC ENS 2001 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de maths PC ENS 2001 ?

Il porte sur l'algèbre linéaire et bilinéaire : matrices symétriques, valeurs propres, polynôme caractéristique, et sur une relation d'ordre entre suites appelée majorisation, reliée aux matrices doublement stochastiques.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

Le sujet est progressif : la première section établit le théorème d'entrelacement utilisé dans la deuxième pour comparer spectre et diagonale, résultat lui-même utilisé dans la troisième section sur les matrices doublement stochastiques.

Qu'est-ce que la relation de majorisation étudiée dans ce sujet ?

C'est une relation d'ordre entre suites croissantes de même somme totale, comparant leurs sommes partielles ; le sujet montre qu'elle relie le spectre et la diagonale d'une matrice symétrique.

Ce sujet est-il accessible sans connaître le théorème de Birkhoff ?

Oui, le sujet construit progressivement tous les outils nécessaires (entrelacement, majorisation, matrices doublement stochastiques) à partir du programme d'algèbre linéaire de la classe préparatoire.

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