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Exponentielle de matrice, décomposition polaire et groupes polaires
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Ce problème commun aux ENS Ulm, Lyon et Cachan construit progressivement la notion d'exponentielle d'une matrice diagonalisable, l'applique aux matrices symétriques définies positives pour définir leur racine carrée et la décomposition polaire, puis étudie une famille de sous-groupes de matrices dits polaires, stables par transposition et par racine carrée, avant d'en donner deux exemples concrets liés aux groupes orthogonaux par blocs.

  1. 1Fonctions de matricesDéfinit un calcul fonctionnel sur les matrices diagonalisables via un polynôme interpolateur, puis construit l'exponentielle d'une matrice et étudie sa dérivabilité.
  2. 2Matrices symétriques définies positivesÉtudie les matrices symétriques définies positives, définit leur racine carrée par calcul fonctionnel et établit la décomposition polaire d'une matrice inversible.
  3. 3Structure des groupes polairesDéfinit les sous-groupes polaires de GL_n(R), stables par transposition et par racine carrée, et montre qu'ils sont paramétrés par un sous-groupe orthogonal et l'exponentielle d'un sous-espace de matrices symétriques.
  4. 4Exemple 1 et Exemple 2Applique la théorie précédente à deux choix explicites de la matrice J, faisant apparaître respectivement le produit O(p) x O(q) et un groupe de matrices par blocs de type symplectique.

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SESSION 2000

Filière Physique - Chimie

MATHÉMATIQUES

(Épreuve commune aux ENS: Ulm, Lyon et Cachan)
Durée : 4 heures
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Avertissement: Les labels Qn, avec 0 ≤ n ≤ 13 indiquent les questions, certaines d'entre elles étant découpées en sous-questions numérotées de 1 à j, avec j ≤ 5. Le problème s'achève avec l'étude de deux exemples.

Notations

Le problème concerne l'étude des matrices carrées à coefficients réels, dont l'ensemble est noté M_n(ℝ). La matrice nulle est notée 0_n et la matrice identité est I_n. L'ensemble GL_n(ℝ) des matrices inversibles forme un groupe (dit groupe linéaire) pour la multiplication des matrices. Ses éléments sont les matrices de déterminant non nul.
On notera O(n) le groupe orthogonal et S(n) l'ensemble des matrices symétriques réelles à n lignes. On a donc O(n) ⊂ GL_n(ℝ) ⊂ M_n(ℝ) et S(n) ⊂ M_n(ℝ). Rappelons que O(n) est l'ensemble des matrices M de M_n(ℝ) qui satisfont ^t MM = I_n ou, ce qui revient au même, M^t M = I_n.
On identifie canoniquement les vecteurs de ℝ^n aux matrices colonnes à n lignes. En particulier, M_1(ℝ) est identifié à ℝ.
On admettra l'énoncé suivant (interpolation polynomiale) : si d_1 < … < d_n et a_1, …, a_n sont des nombres réels, il existe un polynôme p ∈ ℝ[X] tel que p(d_j) = a_j pour tout j = 1, …, n.

Fonctions de matrices

Q0 Soit M ∈ M_n(ℝ) et P ∈ GL_n(ℝ). Montrer que q(PMP^(− 1)) = Pq(M)P^(− 1) pour tout q ∈ ℝ[X].
Q1 Soit M ∈ M_n(ℝ) et p, q deux polynômes à coefficients réels. On suppose que p(λ) = q(λ) pour chaque valeur propre (réelle ou complexe) de M et que M est diagonalisable. Montrer que p(M) = q(M).
Q2 Si M ∈ M_n(ℝ) est diagonalisable et si p est un polynôme tel que p(λ) = expλ pour toute valeur propre de M, on note expM (l'exponentielle de M ) la matrice p(M). Montrer que cette définition n'est pas ambigue.
Q3 Soit D ∈ M_n(ℝ) une matrice diagonale et t ∈ ℝ. Expliciter la matrice exp(tD). Montrer que la fonction à valeurs vectorielles h : t ↦ exp(tD) est de classe C^1.
Q4 l. Soit g : ℝ → M_n(ℝ) et h : ℝ → M_n(ℝ) deux fonctions continûment dérivables. Montrer que l'application f : ℝ → M_n(ℝ), définie par f(t) = g(t)h(t) est de classe C^1 et que f^′(t) = g(t)h^′(t) + g^′(t)h(t).
2. En déduire que, si M ∈ M_n(ℝ) est diagonalisable, alors la fonction h : t ↦ exp(tM) est dérivable et que h^′(t) = Mh(t) = h(t)M.

Matrices symétriques définies positives

Q5 1. Si M ∈ M_n(ℝ) et X ∈ ℝ^n, vérifier que ^t XMX est un nombre. Exprimer ce nombre au moyen des coefficients de X et M. Que reconnaissez vous lorsque M = I_n ?
Si M ∈ M_n(ℝ), on définit une application f_M : ℝ^n → ℝ par f_M(X) = ^t XMX. On pourra remarquer que f_(t_M) = f_M.
2. Si M ∈ GL_n(ℝ), exprimer f_(M^(− 1))(X) sous la forme f_M(Y) pour un vecteur Y convenable.
3. Soit M ∈ S(n). On dit que M est définie positive si X ≠ 0 implique f_M(X) > 0. On désigne par S^+(n) l'ensemble des matrices symétriques définies positives. Montrer que M ∈ S^+(n) entraine que M est inversible et que M^(− 1) ∈ S^+(n).
4. Soit M ∈ S^+(n) et P ∈ GL_n(ℝ). Montrer que ^t PMP ∈ S^+(n).
5. Soit N ∈ S(n). Montrer que expN ∈ S^+(n).
Q6 Soit M ∈ S^+(n).
  1. Montrer qu'il existe P ∈ O(n) et une matrice diagonale D, réelle avec d_(ii) > 0 pour tout i, telles que M = PDP^(− 1).
  2. Soit p un polynôme réel tel que p(λ) = √λ pour toute valeur propre λ de M. Montrer que la matrice N = p(M) ne dépend pas du choix de p et satisfait N^2 = M.
    On appelle N la racine carrée de M et on note N = √M.
  3. Montrer que √M ∈ S^+(n). En déduire que N ↦ N^2 est une bijection de S^+(n) dans lui-même.
  4. Montrer que √(M^(− 1)) = √M^(− 1).
Q7 Par une méthode analogue, montrer que exp : S(n) → S^+(n) est une bijection (on pourra d'abord construire l'application réciproque).
Q8 Soit A ∈ GL_n(ℝ). On définit M = ^t AA.
  1. Montrer que M ∈ S^+(n).
  2. Soit N = √M, puis P = AN^(− 1). Montrer que P ∈ O(n).
L'égalité A = PN, avec P ∈ O(n) et N ∈ S^+(n), est appelée décomposition polaire de A.
3. Montrer que la décomposition polaire de A est unique.

Structure des groupes polaires

Si G est un sous-groupe de GL_n(ℝ), nous dirons que G est polaire s'il vérifie les deux propriétés suivantes
  • G est stable par transposition : A ∈ G implique ^t A ∈ G,
  • si M ∈ G ∩ S^+(n), alors √M ∈ G.
Q9 Soit G un sous-groupe polaire de GL_n(ℝ). Montrer que G est stable par la décomposition polaire : si A = PM avec A ∈ G, P ∈ O(n) et M ∈ S^+(n), alors P, M ∈ G. Montrer que G ∩ O(n) est un sous-groupe multiplicatif.

Tournez la page S.V.P.

Q10 Dans cette question et jusqu'à la fin du problème, J ∈ M_n(ℝ) est une matrice vérifiant ^t J = εJ et J^2 = αI_n, où ε, α ∈ { − 1, + 1}. On définit l'ensemble
G = {A ∈ M_n(ℝ); ^t AJA = J}.
  1. Montrer que G est un sous-groupe de GL_n(ℝ) et que detA = ± 1 pour tout A ∈ G.
  2. Montrer que G est stable par transposition.
  3. Soit M ∈ S^+(n). Notant U l'ensemble formé par les valeurs propres λ_j de M et leurs inverses 1/λ_j, montrer qu'il existe un polynôme p ∈ ℝ[X] tel que p(λ) = √λ pour tout λ ∈ U. En déduire que p(M) = √M et p(M^(− 1)) = √M^(− 1).
  4. Soit M ∈ G ∩ S^+(n). Montrer que q(M^(− 1))J = Jq(M) pour tout polynôme q ∈ ℝ[X] (on pourra commencer par le cas des monômes).
  5. En déduire que G est un groupe polaire.
Q11 1. On définit l'ensemble
G^ = {N ∈ M_n(ℝ); ^t NJ + JN = 0_n}.
Montrer que G^ est un sous-espace vectoriel de M_n(ℝ) et que N ∈ G^ implique ^t N ∈ G^.
2. Soit N ∈ G^ une matrice diagonalisable, t ∈ ℝ et soit M(t) = exp(tN). Calculer
d/(dt)^t M(t)JM(t)
et en déduire que M(t) ∈ G.
3. Réciproquement, soit N ∈ M_n(ℝ) une matrice diagonalisable telle que exp(tN) ∈ G pour tout t ∈ ℝ. Montrer que N ∈ G^.
Q12 Soit M ∈ G ∩ S^+(n).
  1. Soit N la matrice symétique réelle telle que expN = M. Si t ∈ ℝ, montrer qu'il existe un polynôme r ∈ ℝ[X] tel que r(M) = exp(tN) et r(M^(− 1)) = exp(− tN).
  2. En déduire que exp(tN) ∈ G pour tout t ∈ ℝ.
  3. Conclure que exp : G^ ∩ S(n) → G ∩ S^+(n) est une bijection.
Q13 Vérifier que (P, N) ↦ PexpN réalise une bijection de H × V dans G, où H est un sous-groupe de O(n) et V est un sous-espace vectoriel de S(n).
Exemple 1: Si n = p + q, avec p, q ≥ 1, on choisit J de la façon suivante (décomposition par blocs):
J = (I_p, 0_(p × q); 0_(q × p), − I_q)
  1. Calculer la dimension de V.
  2. Montrer que l'application
(A, B) ↦ (A, 0_(p × q); 0_(q × p), B)
est une bijection de O(p) × O(q) dans H.
Exemple 2: De même, si n = 2m, avec m ∈ ℕ^∗, on choisit J sous la forme
J = (0_m, I_m; − I_m, 0_m)
  1. Calculer la dimension de V.
  2. Montrer que H est l'ensemble des matrices de la forme
(A, B; − B, A)
où ^t AA + ^t BB = I_m et ^t AB = ^t BA.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques ENS PC 2000 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques ENS PC 2000 ?

Il porte sur la réduction des endomorphismes, le calcul fonctionnel sur les matrices diagonalisables (exponentielle, racine carrée), les matrices symétriques définies positives et la structure des sous-groupes de matrices dits polaires.

Quelles parties de ce sujet ENS PC 2000 sont indépendantes ?

Le problème est progressif : les fonctions de matrices de la première partie servent à construire la racine carrée et la décomposition polaire de la deuxième partie, elles-mêmes utilisées pour étudier les groupes polaires puis les deux exemples finaux.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet de mathématiques ENS PC 2000 ?

Il faut maîtriser la diagonalisation des matrices, les polynômes d'interpolation, les matrices symétriques réelles et les formes quadratiques associées, ainsi que la structure de groupe du groupe orthogonal.

Ce sujet ENS PC 2000 sur les groupes polaires est-il faisable en première année de prépa ?

Non, il mobilise des notions de deuxième année comme la diagonalisation, le calcul fonctionnel sur les matrices et la structure de groupe des matrices orthogonales.

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