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SESSION 2004

Filière PC

MATHÉMATIQUES

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan
Durée : 4 heures
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Avertissement. On attachera la plus grande importance à la clarté et à la précision des démonstrations, ainsi qu'à la présentation des copies.
Dans ce problème, ℝ désigne le corps des nombres réels et ℚ celui des nombres rationnels. L'ensemble des nombres entiers positifs est IN. La partie entière d'un nombre réel positif x est l'entier naturel [ x ] ayant la propriété [x] ≤ x < [x] + 1.
Le problème décrit la représentation d'un nombre réel en fraction continuée, qu'on appelle aussi "fraction continue". Pour cela, on introduit une notation : si a_0, a_1, …, a_N sont des nombres réels strictement positifs, et si 0 ≤ n ≤ N, on note
F[a_0, a_1, …, a_n] = a_0 + 1/(a_1 + 1/(⋱ + 1/(a_(n − 1) + 1/(a_n)))).
C'est un nombre réel positif. Par exemple,
F[a_0, a_1] = a_0 + 1/(a_1), F[a_0, a_1, a_2] = a_0 + 1/(a_1 + 1/(a_2)).
Q1. Vérifiez les formules suivantes, pour 1 ≤ m ≤ n ≤ N :
F[a_0, a_1, …, a_(n − 1), a_n] = F[a_0, a_1, …, a_(n − 2), a_(n − 1) + 1/(a_n)], F[a_0, a_1, …, a_n] = F[a_0, F[a_1, …, a_n]]
et
F[a_0, a_1, …, a_n] = F[a_0, a_1, …, a_(m − 1), F[a_m, a_(m + 1), …, a_n]].

Convergentes d'une fraction continue

Définissons les nombres p_n et q_n par récurrence (finie pour l'instant):
p_0 = a_0, p_1 = a_1 a_0 + 1, p_n = a_n p_(n − 1) + p_(n − 2)
et
q_0 = 1, q_1 = a_1, q_n = a_n q_(n − 1) + q_(n − 2)
Les "convergentes" de la fraction continue F[a_0, a_1, …, a_N] sont les fractions p_n/q_n pour 0 ≤ n ≤ N.
Q2. Montrer, au moyen d'une récurrence, l'identité
F[a_0, a_1, …, a_n] = (p_n)/(q_n)
On pourra appliquer l'hypothèse de récurrence aux nombres
a_0, a_1, …, a_(n − 2), a_(n − 1) + 1/(a_n).
Q3. Montrer que
p_n q_(n − 1) − p_(n − 1)q_n = (− 1)^(n − 1)
Q4. De même, calculer
p_n q_(n − 2) − p_(n − 2)q_n
Q5. En déduire que les convergentes d'indices pairs p_(2k)/q_(2k) forment une suite (finie pour l'instant) strictement croissante, et qu'elles sont strictement inférieures aux convergentes d'indices impairs p_(2l + 1)/q_(2l + 1) qui, elles, forment une suite strictement décroissante.

Fraction continue simple

On dit que la fraction continue F[a_0, a_1, …, a_N] est "simple" si les nombres a_0, …, a_N sont entiers (donc a_j ≥ 1 ).
Q6. Pour une fraction continue simple, montrer que q_n > q_(n − 1) si n ≥ 2, et que q_n > n pour n ≥ 4.
Q7. Montrer que les convergentes d'une fraction continue simple sont déjà des fractions irréductibles.
Q8. Calculer F[2, 2, 3] et F[2, 2, 2, 1]. Plus généralement, montrer que si N est pair (respectivement impair), et si F[a_0, a_1, …, a_N] est une fraction continue simple, il existe une fraction continue simple F[b_0, b_1, …, b_M] avec M impair (respectivement pair) telle que
F[a_0, a_1, …, a_N] = F[b_0, b_1, …, b_M]
Q9. Dans une fraction continue simple x = F[a_0, a_1, …, a_N], notons a_n^′ = F[a_n, a_(n + 1), …, a_N]. Montrer que
x = (a_n^′ p_(n − 1) + p_(n − 2))/(a_n^′ q_(n − 1) + q_(n − 2)), 2 ≤ n ≤ N,
et trouver les formules correspondantes pour n = 0 et n = 1.
Q10. Démontrer que a_n = [a_n^′], sauf dans le cas où n = N − 1 avec a_N = 1. Dans ce dernier cas, vérifier que a_(N − 1) = [a_(N − 1)^′] − 1.
Q11. En déduire que, si deux fractions continues simples sont égales:
F[a_0, a_1, …, a_N] = F[b_0, b_1, …, b_M]
avec a_N > 1 et b_M > 1 (hypothèse justifiée par la question Q8 ), alors M = N et les deux suites sont identiques.

L'algorithme d'Euclide

Etant donné un nombre réel x > 0, on lui associe une suite a_0, a_1, … définie de la façon suivante : on commence par a_0 = [x], puis on pose y_0 = x − a_0. Si y_0 est nul, on s'arrête là. Sinon, on pose a_1^′ = 1/y_0, a_1 = [a_1^′] et y_1 = a_1^′ − a_1. Plus généralement, si y_(n − 1) > 0, on pose a_n^′ = 1/y_(n − 1), a_n = [a_n^′] et y_n = a_n^′ − a_n. On obtient ainsi une suite, qui est finie si et seulement si il advient qu'un y_n est nul.

Q12.

  1. Si x est rationnel, montrer que chaque nombre a_n^′ est de la forme k_n/k_(n − 1), où les entiers k_n forment une suite strictement décroissante.
  2. En déduire que tout nombre rationnel x > 0 est représentable sous la forme d'une fraction continue simple. Combien ce nombre a-t-il de telles représentations?
Q13. On suppose que x est irrationnel.
  1. Montrer que la suite (a_n)_(n ≥ 0) est infinie. On parle alors d'une fraction continue simple "infinie".
  2. Montrer que les convergentes x_n = p_n/q_n admettent une limite x¯ quand n → + ∞. Indication : on pourra commencer par prouver que x_(2n) − x_(2n − 1) tend vers zéro.
  3. Calculant la suite b_0, b_1, … associée à x¯ (c'est-à-dire b_0 = [x¯], z_0 = x¯ − b_0, b_1^′ = 1/z_0, … ), montrer que x¯ = x.
    On dit que x admet une représentation en fraction continue simple infinie, et on note
x = F[a_0, a_1, …]
Avec cette notation, on a
a_n^′ = F[a_n, a_(n + 1), …].
  1. Montrer que
|x − (p_n)/(q_n)| ≤ 1/(q_n q_(n + 1)) ≤ 1/(q_n^2)
Q14. Calculer a_n quand n ≤ 4, pour le nombre π = 3, 1415926535… (écriture décimale). Calculer aussi les convergentes pour n ≤ 3. Quel encadrement de π obtenez-vous ?

Nombres quadratiques

On dit qu'une fraction continue simple est "périodique" si elle est infinie, et s'il existe K tel que a_(n + K) = a_n à partir d'un certain rang.
Q15. Soit x > 0 un nombre réel. On suppose que la fraction continue simple qui le représente est périodique.
  1. Exprimer a_n^′ en fonction de a_(n + K)^′ et de a_n, …, a_(n + K − 1). Justifiant a_n^′ = a_(n + K)^′ pour n assez grand, montrer que a_n^′ est racine d'une équation du second degré non triviale (c'est-à-dire αγ ≠ 0)αt^2 + βt + γ = 0, à coefficients entiers positifs.
  2. En déduire que x est solution d'une équation du second degré non triviale at^2 + bt + c = 0, à coefficients entiers positifs.
Q16. Exemples : calculer les nombres x et y dont les représentations en fractions continues sont
F[1, 1, …, 1, …], F[2, 1, 2, 1, …, 2, 1, …].

Propriété de meilleure approximation

Dans cette section, on considère la représentation en fraction continue simple infinie d'un nombre irrationnel x > 0.
Q17. Pour n > 1, montrer que |p_n − q_n x| < |p − q_n x| pour tout entier p ≠ p_n.
Q18. Soit p/q une fraction rationnelle, avec q_(n − 1) < q < q_n.
  1. Montrer qu'il existe des nombres entiers μ et ν tels que
p = μp_n + νp_(n − 1), q = μq_n + νq_(n − 1)
Vérifier que μ et ν sont de signes opposés.
2. En déduire que
|p − qx| = |μ(p_n − q_n x)| + |v(p_(n − 1) − q_(n − 1)x)|
puis que |p − qx| > |p_n − q_n x|.
3. Finalement, si p/q est une fraction rationnelle avec q ≤ q_n et p/q ≠ p_n/q_n, montrer que |p − qx| > |p_n − q_n x|.
Q19. En utilisant la question précédente, montrer que, parmi deux convergentes consécutives, l'une au moins satisfait
|p/q − x| < 1/(2q^2)

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