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Mathématiques PC, épreuve commune ENS Paris/Lyon/Cachan 2005 : inégalités de Weyl et continuité des valeurs propres

Le sujet démontre les inégalités de Weyl, qui encadrent les valeurs propres d'une somme de matrices par celles de chaque matrice. La partie préliminaire introduit une norme d'opérateur sur les matrices. La partie II établit ces inégalités dans le cas des matrices symétriques réelles, à l'aide de sous-espaces adaptés. La partie III démontre la continuité des valeurs propres pour des sous-espaces de matrices à valeurs propres réelles et simples. La partie IV généralise les inégalités de Weyl à ce cadre plus général, à l'aide d'une étude de fonctions réelles associées aux valeurs propres.

1Partie I : préliminaires sur une norme d'opérateurOn montre que l'application qui à une matrice associe la norme de l'application linéaire associée est une norme, et que toute valeur propre réelle est majorée par cette norme.
2Partie II : inégalités de Weyl pour les matrices symétriquesOn démontre, à l'aide de sous-espaces vectoriels adaptés et de la forme quadratique associée, des inégalités encadrant les valeurs propres d'une somme de deux matrices symétriques.
3Partie III : continuité des valeurs propresOn démontre, pour un sous-espace de matrices à valeurs propres réelles et simples, que les valeurs propres et les vecteurs propres associés dépendent continûment de la matrice.
4Partie IV : généralisation des inégalités de WeylOn étudie les fonctions réelles t vers valeur propre de A + tB et on généralise les inégalités de Weyl démontrées en partie II au cadre plus général introduit en partie III.

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SESSION 2005

Filière PC

MATHÉMATIQUES PC

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Durée : 4 heures

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Avertissement. On attachera la plus grande importance à la clarté et à la précision des démonstrations, ainsi qu'à la présentation des copies. La partie III est indépendante de la partie II. Il est possible d'aborder la quatrième partie en admettant le résultat du III.7.

Notations.

Les ensembles des entiers naturels et des nombres réels sont notés respectivement

ℕ

ℝ

. La norme et le produit scalaire de l'espace Euclidien usuel

ℝ^n

(

n \geq 1

entier) sont notés respectivement

‖ \cdot ‖

⟨ \cdot, \cdot ⟩

. Un vecteur

x \in ℝ^n

est unitaire si

‖x‖ = 1

. La sphère unité de

ℝ^n

est notée

S^(n - 1)

Soit

E

un espace vectoriel réel. Une fonction

f : E \to ℝ

est positivement homogène s'il existe un nombre

α \in ℝ

(le degré d'homogénéité de

f

) tel que, pour tout

x \in E

et tout nombre

ρ \geq 0

, on a

f(ρx) = ρ^α f(x)

. Par exemple, une norme
quelconque est positivement homogène de degré un.
Dans l'algèbre

M_n(ℝ)

des matrices

n \times n

à coefficients réels, la matrice nulle et la matrice identité sont notées

0_n

I_n

. Un vecteur

x \in ℝ^n

est identifié à la matrice colonne

n \times 1

de ses coordonnées. La transposée d'une matrice

M

est

^t M

. En particulier, le transposé d'un vecteur colonne est un vecteur ligne

1 \times n

. On note

Sym_n

le sous-espace vectoriel de

M_n(ℝ)

, formé des matrices symétriques, c'est-àdire telles que

^t M = M

. On rappelle que si

M \in Sym_n

, alors les valeurs propres de

M

sont réelles, et

M

est diagonalisable dans une base orthonormée. Dans ce cas, on note

λ_1(M), \dots, λ_n(M)

ses valeurs propres, comptées avec leurs ordres de multiplicités, et rangées dans l'ordre croissant :

λ_1(M) \leq λ_2(M) \leq \dots \leq λ_n(M).

I. Préliminaires

M \in M_n(ℝ)

, on définit

|M|:=sup{‖Mx‖; x ∈ S^(n − 1)}.

Montrer que $M \mapsto |M|$ est une norme sur $M_n(ℝ)$ .
Soit $λ$ une valeur propre réelle d'une matrice $M \in M_n(ℝ)$ . Montrer que $|λ| \leq |M|$ .

II. Cas des matrices symétriques

On démontre ici certaines des inégalités de Weyl pour les matrices symétriques réelles.

Montrer que les fonctions $λ_j$ sont positivement homogènes sur $Sym_n$ . Sontelles impaires ? Sinon, que peut-on dire de $λ_j(- M)$ ?
Soit $A \in Sym_n$ et $j$ un entier entre 1 et $n$ .
(a) Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel $X_j \subset ℝ^n$ de dimension $j$ , tel que $^t xAx \leq λ_j(A)‖x‖^2$ pour tout $x$ dans $X_j$ .
(b) En déduire qu'il existe un sous-espace vectoriel $Z_j$ , de dimension $j$ , tel que $^t zAz \geq λ_(n - j + 1)(A)‖z‖^2$ pour tout $z$ dans $Z_j$ .
(c) Soit $X$ un sous-espace vectoriel de dimension $j$ . En considérant l'intersection de $X$ et $Z_(n - j + 1)$ , montrer le complément suivant à la question (a) : il existe $x \in X$ tel que $λ_j(A)‖x‖^2 \leq ^t xAx$ . Quel énoncé obtient-on pour $j = 1$ ?
On se donne $A, B \in Sym_n$ .
(a) Montrer que, pour $1 \leq j \leq n$ ,

λ_j(A + B) \geq λ_j(A) + λ_1(B).

(b) En déduire, pour

1 \leq k \leq n

λ_k(A + B) \leq λ_k(A) + λ_n(B).

j + 1 \geq i + k

, on a

λ_j(A + B) \geq λ_i(A) + λ_k(B).

III. Cas général ; continuité des valeurs propres

On considère un sous-espace vectoriel

E

M_n(ℝ)

, avec la propriété (D) suivante : toute matrice

M

E

, non nulle, est à valeurs propres réelles et simples. A nouveau, ces valeurs propres sont notées

λ_1(M), \dots, λ_n(M)

et rangées dans l'ordre croissant :

λ_1(M) \leq λ_2(M) \leq \dots \leq λ_n(M),

les inégalités étant strictes si

M \neq 0_n

.
Jusqu'à la question 6 , on se donne une suite

(A_m)_(m \geq 0)

dans

E

, qui converge vers

A \in M_n(ℝ)

. On note (

x^(m, 1), \dots, x^(m, n)

) une base de vecteurs propres unitaires de

A_m

, le vecteur

x^(m, j)

étant associé à

λ_j(A_m)

Montrer que $A \in E$ . Par la suite, on notera ( $x^1, \dots, x^n$ ) une base de vecteurs propres unitaires de $A$ , avec $Ax^j = λ_j(A)x^j$ .
Montrer qu'il existe une fonction $φ : IN \to N$ strictement croissante, pour laquelle les suites $(λ_j(A_(φ(k))))_(k \geq 0)$ et les suites $(x^(φ(k), j))_(k \geq 0)$ sont convergentes. On note $α_j \in ℝ$ et $w^j \in ℝ^n$ les limites correspondantes. Montrer en outre que les $w^j$ sont unitaires.
(suite) Montrer que pour tout $j, Aw^j = α_j w^j$ .
(suite) On suppose $A \neq 0_n$ et $α_j = α_(j + 1)$ . Soit ( $x^(m, j), y^(m, j)$ ) une base orthonormée du plan engendré par $x^(m, j)$ et $x^(m, j + 1)$ .
(a) Montrer que $w_(j + 1) = \pm w_j$ .
(b) Montrer que, quitte à extraire de nouveau une sous-suite, on peut supposer qu'en outre, la suite $(y^(φ(k), j))_(k \geq 0)$ est convergente. On note $y$ sa limite. Que peut-on dire de la famille $(w^j, y)$ ?
(c) Montrer que $Ay - α_j y$ est parallèle à $w^j$ .
(d) Soit $P$ un plan vectoriel invariant par $A$ contenant $w^j$ . Montrer que la restriction de $A$ à $P$ doit être diagonalisable.
(e) Etablir une contradiction avec la construction de (a), (b). Qu'en concluezvous?
Montrer alors que $α_j = λ_j(A)$ .
Montrer qu'en fait, c'est toute la suite $(λ_j(A_m))_(m \geq 0)$ qui converge vers $λ_j(A)$ .
En déduire que les fonctions $A \mapsto λ_j(A)$ sont continues sur $E$ .

IV. Cas général ; deux inégalités de Weyl

Soit

E

un sous-espace de

M_n(ℝ)

avec la propriété (D) ci-dessus. On choisit deux matrices

A, B \in E

, linéairement indépendantes, et on pose

ρ_j(t):=λ_j(A + tB)

Trouver les limites de $t^(- 1)ρ_j(t)$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ .
On suppose que $λ_1(B) > 0$ .
(a) Soit $ρ$ un nombre réel. Quel est le degré du polynôme $P(X):=det(ρI_n - A - XB)?$
(b) Montrer que l'équation $ρ_j(t) = ρ$ possède au moins une solution.
(c) En déduire que chaque équation $ρ_j(t) = ρ$ possède exactement une solution, notée $t_j$ , et qu'en particulier chaque $ρ_j$ est une fonction strictement croissante. Indication : compter soigneusement les racines de $P$ .
On ne suppose plus rien sur le signe de $λ_1(B)$ .
(a) Montrer que l'application $t \mapsto λ_j(A + tB) - tλ_1(B)$ est croissante. Indication : appliquer ce qui précède à $B^'$ et $E^'$ bien choisis.
(b) En déduire que

λ_j(A + B) \geq λ_j(A) + λ_1(B)

puis

λ_k(A + B) \leq λ_k(A) + λ_n(B)

Remarque : Peter Lax a montré les deux faits suivants

Les inégalités démontrées ci-dessus sont vraies sous l'hypothèse plus faible que les matrices de $E$ ont toutes leurs valeurs propres réelles, pas forcément simples, les multiplicités pouvant dépendre de $M \in E$ . La preuve est cependant beaucoup plus ardue.
( $n \geq 3$ ) En général, un sous-espace $E$ satisfaisant la propriété ( $D$ ) ne peut pas se ramener à un sous-espace de $Sym_n$ par conjugaison.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths PC ENS 2005 ?

Il porte sur la réduction des matrices symétriques, les normes d'opérateur, la continuité et la compacité, ainsi que les formes quadratiques.

Les parties sont-elles indépendantes ?

L'énoncé précise que la partie III est indépendante de la partie II, et qu'il est possible d'aborder la partie IV en admettant le résultat de la question III.7.

Que sont les inégalités de Weyl démontrées dans ce sujet ?

Ce sont des inégalités qui encadrent les valeurs propres d'une somme de deux matrices A et B par les valeurs propres de A et les valeurs propres extrêmes de B.

Ce sujet est-il faisable en première année ?

Non, il suppose une bonne maîtrise de la réduction des matrices symétriques et des notions de topologie (continuité, compacité, sous-suites) approfondies en deuxième année.

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