ENS Mathématiques PC 2006Sujet

La lubrification désigne le contrôle de l'usure des matériaux par l'introduction d'un film liquide qui réduit le frottement entre les surfaces en quasi-contact et en mouvement relatif. Plus particulièrement, la lubrification hydrodynamique concerne les mécanismes pour lesquels la forme et la vitesse relative de deux surfaces en regard engendrent la formation d'un film mince lubrifié continu sous une pression suffisamment élevée pour empêcher le contact. Le point de départ de la théorie de la lubrification hydrodynamique est un article de Reynolds publié en 1886. Dans cet article, Reynolds obtient de manière heuristique une équation qui porte maintenant son nom et qui constitue le socle des études sur les écoulements de faible épaisseur en régime laminaire.

Le but de ce problème est d'étudier quelques cas simples d'équations de type Reynolds dans le régime établi, stationnaire (i.e. ne dépendant pas du temps), d'un fluide de viscosité et de densité constante.
N.B. On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

On munit ℝ^2 de la base orthonormée usuelle (i⃗, j⃗). Un point M de ℝ^2 est représenté par ses coordonnées (x, y) dans le repère usuel (O, i⃗, j⃗).

Soit Ω un ouvert de ℝ^2, si f : Ω → ℝ est une application dérivable en un point ( x_0, y_0 ) appartenant à Ω, les dérivées partielles de f au point de coordonnées (x_0, y_0) sont notées classiquement par :

Soit h une application définie sur ℝ à valeurs réelles strictement positives, indéfiniment dérivable. On note h^′(x) sa dérivée en x. Soit Ω l'ouvert de ℝ^2 défini par

On admet que l'écoulement d'un fluide visqueux, confiné entre une paroi inférieure d'équation y = − h(x) et une paroi supérieure d'équation y = 0 , peut, sous certaines hypothèses physiques qui ne font pas l'objet de ce problème, être modélisé mathématiquement de la façon suivante : on recherche u : ℝ^2 → ℝ de classe C^2, v : ℝ^2 → ℝ de classe C^2 et p : ℝ^2 → ℝ de classe C^1 vérifiant, pour tout ( x, y ) appartenant à Ω, les équations

et pour tout x ∈ ℝ

Dans ces équations u(x, y) et v(x, y) sont les composantes au point ( x, y ) suivant i⃗ et j⃗ de la vitesse du fluide notée U = (u/v) et p(x, y) la pression au point ( x, y ) au sein de ce fluide. Enfin le nombre V est la vitesse de la paroi plane qui met le fluide en mouvement.
QA.1) En utilisant (1) et (2), exprimer u au point ( x, y ) en fonction de la constante V, des variables x, y, des applications p et h (et éventuellement de leurs dérivées) au point x.
QA.2) On définit l'application Q : ℝ → ℝ par

Montrer que Q est dérivable et que

QA.3) En déduire l'équation de Reynolds, en dimension 1, suivante

Soient α et β deux constantes strictement positives. On note n_f le vecteur correspondant à la normale extérieure à Ω sur le fond définie par

On remplace les conditions aux bords (4) et (5) par les conditions aux bords suivantes

QA.4) Montrer que l'on a toujours

et expliciter une équation différentielle ordinaire satisfaite par la pression.
Tournez la page S.V.P.

On suppose que les fonctions h et p définies dans la partie précédente sont périodiques de période L. On considère le cas des conditions aux bords (4).
QB.1) Montrer que h atteint ses bornes sur ℝ. On note h_0 = inf{h(x) : x ∈ ℝ} et h_1 = sup{h(x) : x ∈ ℝ}, montrer que h_0 > 0.
QB.2) Montrer que p^′ s'annule en au moins un point sur ]0, L[.
QB.3) Montrer, en utilisant les résultats de la deuxième partie, l'existence d'une constante h_∗ ∈ ℝ telle que

QB.4) Montrer alors que

que h_0 ≤ h_∗ ≤ h_1 et que l'une des égalités h_∗ = h_0 ou h_∗ = h_1 n'est possible que si h est une constante.
QB.5) Soient a et b deux réels tels que a < b et soit f : [a, b] → ℝ une application positive et continue. On pose I_n = ∫_a^b f^n(x)dx pour n ∈ ℕ. Montrer que

En déduire que

où M(f) = (∫_0^L f(x)dx)/L désigne la moyenne de f sur [0, L].
QB.6) Montrer que, pour tout ( x, y ) appartenant à Ω, u(x, y) s'écrit de la façon suivante :

QB.7) En déduire, pour tout (x, y) appartenant à Ω, la valeur de v(x, y).
QB.8) L'hypothèse de dérivabilité de u et v est-elle vérifiée ? A-t-on mieux ? Quelle hypothèse sur h suffit pour que u et v soient de classe C^2 ?

Les hypothèses sont celles de la partie B . On suppose, pour x_0 ∈ ℝ et y_0 ∈ ] - h(x_0), 0 [ donnés, l'existence d'une trajectoire définie par le couple de fonctions t ↦ X(t) et t ↦ Y(t), de classe C^1 définie sur ℝ telle que pour tout t ∈ ℝ

On admet que l'existence de trajectoires fermées implique qu'il existe x appartenant à [0, L] tel que l'application y ↦ u(x, y) change de signe sur ] - h(x), 0 [.
QC.1) Expliquer cette condition par un dessin.
QC.2) Montrer qu'une condition nécessaire pour qu'il existe des trajectoires fermées est que

On suppose ici que h est donnée, pour tout x appartenant à ℝ, par

où c et d sont des réels de ℝ^(+ ∗). Cette partie fait suite à la partie B.
QD.1) Comment faut il choisir c et d pour que h soit définie sur ℝ ? Montrer que h(0) = h_0 et h(L/2) = h_1. Exprimer ( c, d ) en fonction de ( h_0, h_1 ).
QD.2) Calculer h_∗ et calculer M(1/h) en fonction de c et d.
QD.3) Exprimer h_∗/h_1 à l'aide de δ = h_1/h_0. Calculer la limite de h_∗/h_1 pour δ tendant vers + ∞.

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QD.4) Montrer que l'on peut choisir δ pour que h satisfasse la condition nécessaire à l'existence de trajectoires fermées trouvée dans QC2.

Nous considérons maintenant le cas

avec h(x) > 0 pour x appartenant à ]0, 1[ et h(0) = h(1) = 0. Il s'agit alors d'une étendue d'eau fermée où nous ne sommes plus dans le cas de données périodiques. On considère alors l'équation de Reynolds sur p sous la forme

avec comme conditions aux bords

Avec une condition de moyenne nulle sur p, ces conditions aux bords sont les conditions naturelles dans le cas d'une étendue d'eau fermée.

QD.5) On suppose que h(x) = x^(θ_1)|lnx|^(θ_2) où θ_1 et θ_2 sont des constantes strictement positives et que V est une constante non nulle. Déterminer l'ensemble des ( θ_1, θ_2 ) telles que

QD.6) On suppose que V est une constante non nulle. Montrer que l'on obtient toujours (10) avec h(x) = (1 + x)x^(2/3)(1 − x)^(1/3). Donner dans ce cas la valeur de J.
Indication. On fera le changement de variable θ = x^(1/3)/(1 − x)^(1/3) et on cherchera des nombres c_1, c_2, c_3, c_4 et c_5 tels que 1/(x^3 + 1) = c_1/(x + 1) + (c_2 x + c_3)/(x^2 + c_4 x + c_5).
QD.7) On suppose dans cette question que V est une fonction de x de classe C^1 sur [0, 1] avec V(0) = V(1) = 0, V^′(0) ≠ 0 et V^′(1) ≠ 0. Supposons que h(x) = (1 + x)x^(θ_1)(1 − x)^(θ_2), déterminer l'ensemble des (θ_1, θ_2) telles que h^3|p^′|^2 soit intégrable sur [0, 1].

Dans cette partie, nous allons considérer un écoulement tridimensionnel. On munit ℝ^3 de la base orthonormée usuelle ( i⃗, j⃗, k⃗ ). Un point M de ℝ^3 est représenté par ses coordonnées (x, y, z) dans le repère (O, i⃗, j⃗, k⃗).

Soit Ω un ouvert de ℝ^3, si f : Ω → ℝ est une application dérivable en un point ( x_0, y_0, z_0 ) appartenant à Ω les dérivées partielles de f au point de coordonnées (x_0, y_0, z_0) respectivement par rapport à x, y et z sont notées :

Soit v = ((v_1)/(v_2)) une fonction vectorielle avec v_i : Ω → ℝ(i = 1, 2). On note

Si p : Ω → ℝ est une fonction scalaire, on note

Soit g = ((g_1)/(g_2)) une fonction vectorielle, dépendant seulement de ( x, y ), avec g_i : ℝ^2 → ℝ(i = 1, 2). On notera divg = ∂_x g_1 + ∂_y g_2.

On suppose que h est une application définie sur ℝ^2 à valeurs réelles strictement positives, de classe C^∞ et bornée. Le domaine Ω est l'ouvert de ℝ^3 défini par

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Nous allons considérer un écoulement en trois dimensions, en les variables x, y et z, en rotation autour de son axe vertical k⃗. On suppose que le fluide est soumis à une force de traction horizontale f = ((f_1)/(f_2)) en surface où f_1 et f_2 sont des fonctions de ℝ^2 dans ℝ dépendant de ( x, y ) de classe C^∞. Si l'on note u = (v/w) = (v_1; v_2; w) le vecteur vitesse de l'écoulement où v = ((v_1)/(v_2)) désigne les composantes horizontales de la vitesse et w la composante verticale, p sa pression (inconnue scalaire) avec v_1, v_2 et w des fonctions de ℝ^3 dans ℝ de classe C^2 et p une fonction de classe C^1 de ℝ^3 dans ℝ; le système d'équations aux dérivées partielles s'écrit, dans le repère lié à la rotation,

et, pour tout (x, y) ∈ ℝ^2,

On note E le nombre d'Ekman qui permet notamment d'analyser l'effet de la rotation sur l'écoulement.
QE.1) Exprimer la vitesse v(x, y) sous forme complexe (v_1 + iv_2)(x, y) au point ( x, y, z ) en fonction de f(x, y), des variables x, y, z et des fonctions p et h (et éventuellement de leurs dérivées partielles) au point ( x, y ).
QE.2) Montrer que pour tout ( x, y ) dans ℝ^2

QE.3) Calculer ∫_(− h(x, y))^0 v(x, y, z)dz en fonction de p, f et leurs dérivées au point ( x, y ), puis montrer que p satisfait l'équation aux dérivées partielles en ( x, y ) suivante

où les fonctions d_1, d_2, d_3 et d_4, dépendant de ( x, y ), sont données par

où l'on a noté

QE.4) Donner des équivalents de d_1, d_2, d_3, d_4 lorsque h → 0. Ces équivalents dépendent-ils de E ?

Fin.