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Polytechnique Mathématiques PC 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

Polynômes à coefficients 1 ou -1

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Présentation du sujet

Difficile
Polynômes à coefficients 1 ou -1 : paires complémentaires et polynômes de Rudin-Shapiro
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Le problème étudie les polynômes à coefficients 1 ou -1 associés à des séquences, et la notion de paire complémentaire de séquences définie par des conditions de corrélation nulles. La première partie explore les propriétés de l'ensemble des longueurs possibles de telles paires, à l'aide d'arithmétique modulo 4. La seconde partie étudie les paires de polynômes de Rudin-Shapiro, définies par récurrence, et la localisation de leurs racines complexes ainsi qu'une série entière associée.

  1. 1Partie I : l'ensemble des longueurs de paires complémentairesÉtude des polynômes séquentiels, de la parité et de la décomposition en somme de deux carrés, et de l'arithmétique modulo 4.
  2. 2Partie II : paires de polynômes de Rudin-ShapiroSuites de polynômes définies par récurrence, majoration des racines complexes et série entière associée.

Difficile. La moyenne des candidats français est de 7,63/20 (écart-type 3,19 sur 1287 copies), et le rapport indique que le sujet était pratiquement impossible à terminer dans le temps imparti, avec un petit nombre de questions très difficiles.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,63 / 20 · écart-type 3,19 · 1 287 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
7,63/ 20
Écart-type
3,19
Copies
1 287
moyenne 7,6305101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Précipitation sur la question 1 · Arithmétique modulo 4 mal maîtrisée · Décomposition en somme de deux carrés ratée
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Le sujet exigeait une rigueur soutenue dans l'écriture des coefficients et des indices, avec de nombreuses questions élémentaires mais un petit nombre de questions très difficiles qui ont fortement sélectionné les candidats. Les questions d'analyse complexe reléguées en fin de sujet ont été très peu abordées, en partie à cause de la gestion du temps.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Précipitation sur la question 1Q1

    De nombreux candidats ne maîtrisent pas la logique nécessaire pour répondre simplement à une question d'appartenance à un ensemble, et se contentent d'une suite de calculs sans argument logique clair.

    « Il ne faut jamais se précipiter sur la première question d’un problème. »
  2. 2
    Arithmétique modulo 4 mal maîtriséeQ2c

    Peu de candidats sont à l'aise avec le raisonnement simple consistant à remarquer qu'une somme de carrés d'entiers n'est jamais égale à 3 modulo 4.

    « Cette question n’a pas eu beaucoup de succès. »
  3. 3
    Décomposition en somme de deux carrés ratéeQ2b

    La décomposition en somme de carrés a été massivement ratée par les candidats, alors qu'elle découlait directement de l'égalité liant les valeurs des polynômes séquentiels en 1.

  4. 4
    Méthode matricielle inadaptée à la récurrenceQ6b

    Les candidats ayant essayé une résolution matricielle de la récurrence se sont perdus dans des calculs longs et n'ont presque jamais abouti, contrairement à ceux qui ont calculé les premiers termes pour deviner la formule générale.

  5. 5
    Question 9.a très rarement résolueQ9a

    Cette question, parmi les plus dures du sujet, n'a été résolue que par une poignée de candidats, faute d'expérience sur ce type de méthode.

    « Une des question les plus dures. »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 3.a) est probablement celle qui a été le mieux résolue par les candidats.
  • La plupart des candidats ont bien abordé la question 6.a), jugée facile.
  • La question 5.a) a souvent été réussie en utilisant l'équivalence établie à la question précédente.
  • La question 10.a) a été résolue par une partie relativement importante des candidats.

Conseils du jury

  • Ne jamais se précipiter sur la première question, même simple : la rigueur logique de la réponse compte autant que le résultat.
  • Gérer son temps avec soin, le sujet étant pratiquement impossible à terminer, la rapidité sur les questions faciles étant déterminante pour la note.
  • Ne pas négliger la deuxième partie du sujet, parfois plus accessible que la première.
  • Manipuler les indices et les coefficients avec rigueur, en particulier dans les récurrences, en vérifiant les cas extrêmes.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2006
filière PC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Polynômes à coefficients 1 ou -1

Les polynômes étudiés dans ce problème ont été introduits lors de recherches sur la spectroscopie multi-fentes. Ils ont donné lieu à des développements mathématiques en combinatoire, théorie des codes, analyse harmonique, et à de très nombreuses applications en optique, télécommunications, théorie des radars et acoustique.
Toute affirmation devra être soigneusement justifiée. La précision, la clarté et la concision des raisonnements seront particulièrement appréciées.
Soit ℓ un entier au moins égal à 1 . Dans ce problème, un vecteur a_– de R^ℓ sera appelé séquence de longueur ℓ si chacune de ses ℓ coordonnées vaut 1 ou -1 . Les coordonnées d'une séquence a_– de longueur ℓ seront numérotées de 0 à ℓ − 1, a_– = (a_0, a_1, …, a_(ℓ − 1)). On notera S_ℓ l'ensemble des séquences de longueur ℓ. On appellera simplement séquence, tout vecteur qui est une séquence de longueur ℓ, pour un certain entier ℓ ⩾ 1.
On dira que des séquences a_– et b_– forment une paire complémentaire si elles ont même longueur ℓ (qui sera appelée dorénavant longueur de la paire) et si elles vérifient, dans le cas où ℓ > 1, pour tout entier j tel que 1 ⩽ j ⩽ ℓ − 1, la j-ième condition de corrélation :
∑_(i = 0)^(ℓ − 1 − j)(a_i a_(i + j) + b_i b_(i + j)) = 0.
Par convention, tout couple de séquences de longueur 1 est une paire complémentaire. Ainsi, pour tout entier ℓ ⩾ 1, la complémentarité d'une paire de longueur ℓ implique ℓ − 1 conditions de corrélation.

Première partie

On désigne par L l'ensemble des entiers ℓ pour lesquels il existe au moins une paire complémentaire de longueur ℓ. Autrement dit, L est l'ensemble des longueurs de paires complémentaires. Dans cette partie, on se propose d'étudier certaines propriétés de l'ensemble L.
  1. Montrer que 2 appartient à L et que 3 n'appartient pas à L.
Soit ℓ un entier au moins égal à 1 . Pour toute séquence, a_– = (a_0, a_1, …, a_(ℓ − 1)), de longueur ℓ, on définit le polynôme P_(a_–) par la formule
P_(a_–)(X) = ∑_(i = 0)^(ℓ − 1)a_i X^i
Un tel polynôme est appelé polynôme séquentiel.
2.a) Soient a_– et b_– des séquences. On considère la fonction définie pour x réel, x ≠ 0, par
x ↦ P_(a_–)(x)P_(a_–)(x^(− 1)) + P_(b_–)(x)P_(b_–)(x^(− 1)).
Montrer que si a_– et b_– ne sont pas deux séquences de même longueur, cette fonction n'est pas bornée sur ]0, + ∞[.
Montrer que deux séquences a_– et b_– de même longueur forment une paire complémentaire si et seulement si cette fonction est constante. Exprimer cette constante en fonction de la longueur ℓ de la paire complémentaire a_–, b_–.
2.b) Montrer que si a_– et b_– sont des séquences de même longueur, P_(a_–)(1) et P_(b_–)(1) sont des entiers de même parité. En déduire que tout élément de L peut s'écrire comme la somme de deux carrés d'entiers.
2.c) Montrer que le complémentaire de L dans N est un ensemble infini [on pourra étudier le reste de la division par 4 d'un carré d'entier].
3.a) Soient a_– et b_– des séquences de même longueur. On pose U = 1/2(P_(a_–) + P_(b_–)) et V = 1/2(P_(a_–) − P_(b_–)). Montrer que a_– et b_– forment une paire complémentaire si et seulement si la fonction
x ↦ U(x)U(x^(− 1)) + V(x)V(x^(− 1))
est constante sur son domaine de définition.
3.b) Les séquences, de longueur 10,
a_– = (1, 1, − 1, 1, − 1, 1, − 1, − 1, 1, 1)
et
b_– = (1, 1, − 1, 1, 1, 1, 1, 1, − 1, − 1)
forment-elles une paire complémentaire?
4. Démontrer, pour toute séquence v_– de longueur paire 2m(m ∈ N, non nul), l'équivalence des assertions suivantes :
(i) 4 divise la somme v_0 + v_1 + ⋯ + v_(2m − 1),
(ii) le nombre de coordonnées de v_– égales à -1 a la même parité que m,
(iii) v_0 v_1⋯v_(2m − 1) = (− 1)^m.
5. Soit ℓ ∈ L, ℓ ⩾ 2, et soient a_– et b_– des séquences qui forment une paire complémentaire de longueur ℓ. Pour tout entier i, 0 ⩽ i ⩽ ℓ − 1, on pose x_i = a_i b_i.
5.a) Montrer que, pour tout entier j, 1 ⩽ j ⩽ ℓ − 1,
∏_(k = 0)^(ℓ − 1 − j)x_k x_(k + j) = (− 1)^(ℓ − j)
[considérer la somme des coordonnées de la séquence (a_0 a_j, …, a_(ℓ − 1 − j)a_(ℓ − 1), b_0 b_j, …, b_(ℓ − 1 − j)b_(ℓ − 1))].
5.b) En déduire que, pour tout entier j, 0 ⩽ j ⩽ ℓ − 1,
x_j x_(ℓ − 1 − j) = − 1
5.c) Montrer que tout élément ℓ de L, ℓ ⩾ 2, est pair.

Deuxième partie

Si deux polynômes séquentiels sont associés à des séquences qui forment une paire complémentaire, on dit qu'ils forment une paire complémentaire de polynômes. Cette partie est consacrée à l'étude de certaines paires complémentaires de polynômes, dites paires de Rudin-Shapiro.
On définit deux suites de polynômes (P_n)_(n ∈ N) et (Q_n)_(n ∈ N) par les conditions initiales
P_0(X) = Q_0(X) = 1
et les relations de récurrence
P_(n + 1)(X) = P_n(X) + X^(2^n)Q_n(X); Q_(n + 1)(X) = P_n(X) − X^(2^n)Q_n(X)
6.a) Calculer P_1 et Q_1, puis P_2 et Q_2.
6.b) Calculer les valeurs respectives de P_n(1), Q_n(1), P_n(− 1) et Q_n(− 1) en fonction de l'entier n.
7. Démontrer que, pour tout entier positif n, les polynômes P_n et Q_n sont des polynômes séquentiels et qu'ils forment une paire complémentaire. Qu'en déduire vis-à-vis de l'appartenance des entiers de la forme 2^k, pour k entier positif ou nul, à l'ensemble L ?
8. Démontrer, pour tout entier positif ou nul n et tout nombre complexe non nul z ∈ C, l'égalité
Q_n(z) = (− 1)^n z^(2^n − 1)P_n(− z^(− 1))
9.a) Soit T un polynôme quelconque de C[X], de degré exactement d, d ⩾ 1, qu'on écrit T(X) = t_0 + t_1 X + ⋯ + t_d X^d (avec t_d non nul). Montrer que les racines de T sont toutes majorées en module par la quantité 1 + sup_(0 ⩽ i ⩽ d − 1)|t_i/t_d|.
9.b) Démontrer, pour toute valeur de l'entier n, que toute racine (complexe) z du polynôme P_n Q_n vérifie
1/2 ⩽ |z| ⩽ 2
Peut-on remplacer chacune de ces deux inégalités larges par une inégalité stricte?
10.a) Montrer qu'il existe une série entière, S(z) = ∑_(p = 0)^∞u_p z^p, dont les P_n sont des sommes partielles. Identifier son rayon de convergence.
10.b) La somme de la série S a-t-elle des zéros dans le disque ouvert de rayon 1/2 centré à l'origine?
L'ensemble L étudié dans ce problème est encore actuellement l'objet de recherches.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques PC de l'X 2006 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques PC de l'X 2006 ?

Il porte sur les polynômes à coefficients 1 ou -1 associés à des séquences, avec de l'arithmétique modulo 4, des suites de polynômes définies par récurrence (Rudin-Shapiro) et l'étude de leurs racines complexes.

Le sujet de maths PC Polytechnique 2006 est-il difficile ?

Oui : la moyenne des candidats français est de 7,63/20 avec un écart-type de 3,19, et le rapport indique que le sujet était pratiquement impossible à terminer dans le temps imparti.

Quelles questions du sujet X maths PC 2006 ont été les plus mal réussies ?

Les questions 8, 9.a et 10.b, jugées parmi les plus difficiles, n'ont été résolues que par une poignée de candidats ; les questions d'analyse complexe en fin de sujet ont aussi été très peu abordées.

Faut-il traiter toutes les parties du sujet X maths PC 2006 dans l'ordre ?

Le rapport déconseille de s'attarder trop longtemps sur la première partie : plusieurs candidats pressés par le temps n'ont pas abordé la deuxième partie, pourtant parfois plus facile.

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