Polytechnique Mathématiques PC 2008Sujet et rapport du jury

Q: Sur quoi porte le sujet de mathématiques de l'X PC 2008 ?

Le sujet porte sur la répartition modulo 1 de suites de nombres réels, en combinant réduction des endomorphismes, étude de suites, intégrales et séries de Fourier.

Q: Quelle est la moyenne du sujet de mathématiques X PC 2008 ?

Le rapport indique une moyenne de 8,9 avec un écart-type de 3,1 sur 1288 copies.

Q: Ce sujet de maths X PC 2008 est-il difficile ?

Les correcteurs le jugent accessible, voire facile, mais ils sont surpris qu'il ait paru difficile à une majorité de candidats, notamment sur les raisonnements en plusieurs étapes.

Q: Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet X PC 2008 ?

Le jury relève des difficultés à mener un raisonnement logique de plusieurs étapes, des erreurs de calcul et une mauvaise maîtrise de la contraposée et de la définition de limite.

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Répartition modulo 1 de suites de nombres réels

Le problème part de l'étude spectrale d'une matrice 3x3 pour construire une suite liée à sa valeur propre réelle, puis établit des résultats généraux sur des intégrales et sur les coefficients de Fourier d'une fonction périodique en dents de scie. Il conclut en démontrant, à l'aide de ces outils, un résultat d'équirépartition modulo 1 pour la suite des multiples entiers de cette valeur propre.

1Première partieÉtude des valeurs propres d'une matrice 3x3 et construction de suites liées à sa trace, dont on étudie le caractère borné.
2Deuxième partieÉtude de la limite d'une suite d'intégrales dépendant d'un paramètre entier n qui tend vers l'infini.
3Troisième partieCalcul des coefficients de Fourier d'une fonction périodique puis démonstration d'un résultat d'équirépartition modulo 1.

Difficulté moyenne. Les correcteurs jugent le sujet accessible, voire facile, mais la moyenne de 8,9/20 et le fait que seuls 10% des candidats aient traité les questions demandant plus de deux ou trois étapes de raisonnement montrent un écart avec la perception des correcteurs.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,9 / 20 · écart-type 3,1 · 1 288 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 8,9/ 20
Écart-type: 3,1
Copies: 1 288

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Hypothèse mal exploitée en question 6.a · Contraposée mal maîtrisée · Coefficient c0 oublié

Avec une moyenne de 8,9 et un écart-type de 3,1 sur 1288 copies, les correcteurs jugent le sujet bien adapté au niveau de la filière PC, complet et accessible, voire facile, mais restent surpris qu'il ait paru difficile à une majorité de candidats. Ils constatent que beaucoup de candidats peinent à mener un raisonnement logique de plusieurs étapes ou à conduire un calcul standard jusqu'au bout.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Hypothèse mal exploitée en question 6.a6.a
Une question simple portant sur une hypothèse de limite a été complètement ratée : la grande majorité des candidats en a tiré une conclusion fausse.
« Cette question simple a été complètement ratée par les »
2
Contraposée mal maîtrisée6.c
À la question 6.c, presque aucun candidat n'a su prendre correctement la contraposée d'une hypothèse portant sur une limite, ce qui a produit des réponses incohérentes.
« Nous avons vu toutes sortes de réponses incroyables »
3
Coefficient c0 oublié7.a
À la question 7.a, beaucoup de candidats oublient de déterminer le coefficient c0 de la série de Fourier, en plus des nombreuses fautes de calcul.
« beaucoup de candidats ont oublié de déterminer le coefficient c0 »
4
Définition de limite mal comprise12
La question 12 constituait un bon test de compréhension de la définition de limite, que peu de candidats ont réussi à passer.
« Il s’agit d’un très bon test de compréhension de la définition de limite. »
5
Réponses médiocres malgré l'indication9
Malgré une indication fournie dans l'énoncé, les résultats à la question 9 restent bien médiocres et les réponses souvent trop longues.
« Malgré l’indication, les résultats sont bien médiocres »

Ce qui a été bien réussi

La première partie est la seule des trois parties qui ait été traitée correctement par l'ensemble des candidats.
La question 10 est la seule question des deux dernières parties qui a été correctement résolue par un assez grand nombre de candidats.

Conseils du jury

S'entraîner à conduire des raisonnements logiques de plusieurs étapes, pas seulement des applications directes du cours.
Vérifier systématiquement ses calculs, en particulier sur les questions indépendantes où une erreur isolée ne doit pas compromettre toute la copie.
Ne pas hésiter à admettre honnêtement une erreur plutôt que de tenter de démontrer un résultat faux.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

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Répartition modulo 1 de suites de nombres réels

Première partie

On considère la matrice

M = (0, 0, - 1; 0, 1, 1; 1, 1, - 1)

. On désigne par

I

la matrice identité de

M_3(R)

Montrer que $M$ possède une unique valeur propre réelle $λ$ , et que $λ$ est comprise entre 1 et 2 .
Soit $σ$ une valeur propre complexe, non réelle, de $M$ . Calculer $λ|σ|^2$ et comparer les réels $|σ|, 1$ et $1/(\sqrt2)$ .
3.a) Montrer que $I, M$ et $M^2$ sont linéairement indépendants dans l'espace vectoriel $M_3(R)$ .
3.b) Calculer $M^3$ et l'exprimer comme combinaison linéaire à coefficients entiers de $I$ et $M$ .
3.c) En déduire qu'il existe deux entiers $α$ et $β$ tels que, pour tout entier $n ⩾ 0$ , $M^(n + 3) = αM^(n + 1) + βM^n$ . (Par convention $M^0 = I$ et $M^1 = M$ .)

Pour tout entier

n ⩾ 0

, on pose

u_n = Tr(M^n)

v_n = cos(πu_n)

.
4.a) Pour

0 ⩽ n ⩽ 10

, calculer

u_n

v_n

.
4.b) Montrer que la suite

(v_n)_(n \in N)

est périodique, et préciser sa période.
4.c) Montrer que la suite

(w_k)_(k \in N)

définie par

w_k = \sum_(n = 0)^k v_n

n'est pas bornée.
5.a) Exprimer

u_n

en fonction de

λ, σ

n

.
5.b) La suite

(y_k)_(k \in N)

définie par

y_k = \sum_(n = 0)^k cos(πλ^n)

est-elle bornée?

Dans la suite du problème, on note

φ

la fonction périodique de période 1 qui à tout nombre réel

x \in ] - 1/2, 1/2]

associe

|x|

Deuxième partie

Soient $α$ et $β$ deux nombres réels tels que $1 ⩽ α < β$ . Pour $n ⩾ 1$ , on pose $I_n = \int_α^β cos(2πx^n)dx$ .
6.a) On suppose dans cette seule question 6.a) que, pour tout $x$ de l'intervalle $[α, β]$ , on a $lim_(n \to + \infty)(φ(x^n)) = 0$ . Montrer que $lim_(n \to + \infty)I_n = β - α$ .
6.b) À l'aide d'un changement de variable et d'une intégration par parties, déterminer la limite de la suite $(I_n)_(n \in N^*)$ quand $n$ tend vers l'infini.
6.c) Que peut-on déduire des deux questions précédentes?

Troisième partie

7.a) Calculer les coefficients de Fourier

(c_q(φ))_(q \in Z)

de la fonction

φ

.
7.b) En déduire que, pour

q > 0

, on a

|c_q(φ)| ⩽ 1/(2q(q + 1))

On note

S_p(φ)(x) = \sum_(q = - p)^p c_q(φ)e^(2πiqx)

la somme partielle d'indice

p

de la série de Fourier de la fonction

φ

.
8. Montrer que pour tout réel

x

et tout entier

p ⩾ 1

, on a

|φ(x) - S_p(φ)(x)| ⩽ 1/p

Montrer que le réel $λ$ défini dans la question $1$ n'appartient pas à $Q$ . [On pourra utiliser le fait que si $u$ est un nombre rationnel positif non entier, on peut écrire $u$ comme quotient de deux entiers strictement positifs $a$ et $b$ tels qu'aucun facteur premier de $b$ ne divise $a$ .]
Soit $λ$ le réel défini dans la question 1. Montrer que pour tout entier $q \neq 0$ et tout entier $N ⩾ 1$ , on a

|\sum_(n = 1)^N e^(2πiqnλ)| ⩽ 1/(|sin(πqλ)|)

Déduire des questions précédentes que, pour tout entier $p ⩾ 1$ et tout entier $N ⩾ 1$ , on a

|1/N\sum_(n = 1)^N φ(nλ) - 1/4| ⩽ 1/p + 1/Nsup_(1 ⩽ q ⩽ p)1/(|sin(πqλ)|)

Déduire de ce qui précède que la suite $(1/N\sum_(n = 1)^N φ(nλ))_(N \in N^*)$ a une limite que l'on précisera.
Le résultat de la question 12 reste-t-il valable si l'on remplace $λ$ par un nombre irrationnel quelconque?

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de mathématiques de l'X PC 2008 ?

Le sujet porte sur la répartition modulo 1 de suites de nombres réels, en combinant réduction des endomorphismes, étude de suites, intégrales et séries de Fourier.

Quelle est la moyenne du sujet de mathématiques X PC 2008 ?

Le rapport indique une moyenne de 8,9 avec un écart-type de 3,1 sur 1288 copies.

Ce sujet de maths X PC 2008 est-il difficile ?

Les correcteurs le jugent accessible, voire facile, mais ils sont surpris qu'il ait paru difficile à une majorité de candidats, notamment sur les raisonnements en plusieurs étapes.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet X PC 2008 ?

Le jury relève des difficultés à mener un raisonnement logique de plusieurs étapes, des erreurs de calcul et une mauvaise maîtrise de la contraposée et de la définition de limite.

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