Centrale Mathématiques 1 PC 2000Sujet, corrigé et rapport du jury

Soit E l'espace vectoriel réel des fonctions continues à valeurs réelles définies sur l'intervalle [0, π], que l'on munit du produit scalaire

et des normes

Pour tout n ∈ ℕ, on note c_n (respectivement s_n ) la fonction définie sur [ 0, π ] par la formule c_n(t) = cos(nt) (respectivement s_n(t) = sin(nt) ).
Pour tout f ∈ E, on note f^ la fonction définie sur ℝ, 2π-périodique, paire, coïncidant avec f sur l'intervalle [0, π] et f~ la fonction définie sur ℝ, 2π-périodique, impaire, coïncidant avec f sur l'intervalle ]0, π[ et vérifiant la condition suivante : en tout point x de IR

I.A.1) On considère la fonction f définie sur [0, π] par la formule

Représenter graphiquement les fonctions f^ et f~.
I.A.2) Soit f un élément de E. Montrer (soigneusement) que la fonction f^ est définie et continue, et que la fonction f~ est définie et continue par morceaux. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction f~ soit continue.

I.B.1) Soit f un élément de E.

Montrer que sur l'intervalle [0, π], le problème aux limites

admet une solution et une seule notée Tf.
Indication : si on désigne par

la primitive de f sur [0, π] s'annulant en 0 , on pourra exprimer Tf à l'aide d'intégrales comportant F_0.
L'objet du problème est d'étudier l'application T.
I.B.2) Déterminer précisément Tf lorsque f est la fonction définie au I.A.1) et en donner une représentation graphique.

II.A - Montrer que l'application T : f → Tf est un endomorphisme de E. Déterminer son noyau et son image.
II.B - Pour tout entier naturel n, calculer Tc_n.
II.C - Vérifier que, pour tout couple ( f_1, f_2 ) d'éléments de E,

Que peut-on dire de ( f_1|f_2 ) lorsque f_1 et f_2 sont des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes ?
II.D - Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de T.
II.E - On note S = (s_n)_(n ∈ ℕ∗).
II.E.1) Montrer que S est une famille orthonormale.
II.E.2) Soit f un élément de E. Pour tout N ∈ ℕ^∗, on pose

Que représente f_N pour la fonction 2π-périodique f~ ?
En conclure que: lim_(N → + ∞)‖f − f_N‖_2 = 0.
Déduire de là que, si f est orthogonal à S, la fonction f est nulle.
II.F - On note C l'ensemble des c_n lorsque n décrit ℕ.
II.F.1) La famille C est-elle orthonormale ?
II.F.2) Pour tout N ∈ ℕ^∗, on pose

Que peut-on dire si f est orthogonal à C ?

III.A - Soit f un élément de E. En écrivant la formule de TAYLOR avec reste intégrale à l'ordre 1 entre 0 et x puis entre 0 et π, montrer que, pour tout x ∈ [0, π],

III.B - Montrer que k est l'unique fonction définie sur le carré [0, π] × [0, π] séparément continue en x et en t satisfaisant à la condition

III.C.1) Démontrer que la fonction k admet un maximum M atteint en un point unique A de [0, π] × [0, π] et déterminer M et A (pour x fixé dans [0, π], on pourra commencer par étudier la fonction t → k(x, t) sur [0, π] ).
III.C.2) En déduire que, pour tout f ∈ E,

III.C.3) En considérant la suite (f_n)_(n ≥ 1) où

et en calculant Tf_n π/2 et ‖f_n‖_1 montrer que l'inégalité (1) ne peut être améliorée.
III.D -
III.D.1) Prouver que, pour tout f ∈ E et tout x ∈ [0, π],

Conclure que

III.D.2) Soient f un élément de E et (φ_n)_(n ≥ 1) une suite d'éléments de E telle que

Prouver que la suite (Tφ_n)_(n ≥ 1) converge uniformément sur [ 0, Π ] vers la fonction Tf.
III.D.3) Application : prouver que, pour tout f ∈ E,

et que la série du second membre converge normalement sur [0, π].
En déduire que pour tout couple (x, t) de points de [0, π],

III.D.4) Déduire de la question précédente que pour tout f ∈ E, ‖Tf‖_2 ≤ ‖f‖_2 et préciser les fonctions pour lesquelles il y a égalité.

III.E.1) A l'aide du II.F donner une nouvelle expression de Tf comme somme d'une série de fonctions.
III.E.2) En déduire une nouvelle écriture de k comme somme d'une série de fonctions, en utilisant la famille ( c_n ).

On définit la suite (T^n)_(n ≥ 1) par la condition initiale T^1 = T et la relation de récurrence

IV.A - On pose, pour tout f ∈ E et tout n ≥ 1,

IV.A.1) Démontrer que la série du second membre converge normalement sur l'intervalle [0, π].
IV.A.2) Prouver que T^n f = T_n f, pour tout f ∈ E et tout n ∈ ℕ^∗.
IV.B - Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de T^n.

IV.C.1) Soit f un élément de E. Montrer que la suite de fonctions (T^n f)_n ≥ 1 converge uniformément sur [0, π] vers une fonction que l'on déterminera ; (il pourra être utile d'étudier le comportement de la suite

IV.C.2) Donner l'expression explicite de la limite de ( T^n f ) lorsque f est la fonction définie au I.A.1).