Centrale Mathématiques 1 PC 2001Sujet, corrigé et rapport du jury

On rappelle qu'une fonction φ de IR dans IR est bornée par un réel K > 0 si la fonction |φ| est majorée par K :

I.A - Soit f une fonction de classe C^1 et de classe C^2 par morceaux de IR dans IR telle que f et f^(′′) soient bornées sur IR respectivement par M_0 et M_2.
I.A.1) En écrivant, pour h > 0, l'inégalité de Taylor-Lagrange entre x et x + h et entre x et x − h, montrer que:

I.A.2) En déduire que f^′ est bornée par √(2M_0 M_2).

I.B.1) Montrer de même que, si f est de classe C^2 et de classe C^3 par morceaux de IR dans IR, telle que f et f^((3)) soient bornées sur IR respectivement par M_0 et M_3, on a :

I.B.2) f^(′′) est-elle également bornée sur IR ?

Dans toute la suite du problème, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .

Soit f une fonction, non constante, de classe C^(n − 1) et de classe C^n par morceaux de IR dans IR telle que f et f^((n)) soient bornées sur IR respectivement par M_0 et M_n.
II.A - En utilisant la question 1) du préliminaire ainsi quel'inégalité de TaylorLagrange à l'ordre n appliquée à la fonction f entre les valeurs x et x + h pour h = 1, 2, …, n − 1, montrer que la fonction f^((n − 1)) est, elle aussi, bornée sur IR.
II.B - En déduire que toutes les dérivées f^((k)) sont bornées pour 0 ≤ k ≤ n. On note alors M_k = sup_(x ∈ ℝ_1)|f^((k))(x)|.

II.C.1) Montrer que pour tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n, on a M_k > 0.
II.C.2) En utilisant la suite finie (u_k)_(1 ≤ k ≤ n) avec u_k = 2^(k − 1)(M_k)/(M_(k − 1)), en déduire que pour tout entier k entre 0 et n, on a:

Est-ce la meilleure majoration possible?

E (respectivement F) désigne l'espace des fonctions continues par morceaux (respectivement continues) de IR dans IR telles que f(x + 1) + f(x) = 0 pour tout réel x. On admettra -c'est évident- que ce sont des sous-espaces vectoriels réels de l'espace de toutes les fonctions bornées de IR dans IR que I'on munit de la norme de la convergence uniforme, notée ici N et définie par

III.A - Démontrer que pour toute fonction f dans E, il existe g unique dans F telle que, en tout point x où f est continue, on a g^′(x) = f(x). On note alors g = T(f) ou g = Tf et l'on définit ainsi une application T de E dans E.
III.B - On considère la fonction φ_0 de E telle que:

On pose T^1 = T et si k ∈ IN^∗, T^k = ToT^(k − 1), puis pour k ≥ 1, φ_k = T^k(φ_0).
III.B.1) Déterminer et représenter graphiquement sur le segement [0;2] les fonctions φ_k pour k = 0, 1, 2, 3, 4. Dans toute la suite, on notera λ_k = N(φ_k).
III.B.2) Montrer que pour tout k ∈ IN et tout x ∈ IR,

III.B.3) Montrer que, pour k ≥ 1,

III.C.1) Soit f ∈ E. Montrer que:

III.C.2) En déduire que, pour tout f ∈ E, on a 2N(Tf) ≤ N(f).
III.D - Déterminer les fonctions f de norme 1 de E telles que:

III.E - Montrer qu'il n'existe pas de fonction f de norme 1 dans F telle que:

III.F - Soit maintenant p un entier naturel non nul et f une fonction de classe C^(n − 1) et declasse C^n par morceaux de IR dans IR telle que f(x + 2p) = f(x) pour tout réel x.
III.F.1)
a) Montrer que si f a q zéros distincts sur [ 0; 2p[, alors f^′ a au moins q zéros distincts sur [0; 2p[.
b) Montrer quesi f et f^′ ont exactement q zéros distincts sur [ 0; 2p[,alors elles n'ont aucun zéro commun.
III.F.2) Pour tout réel ν tel que 0 < ν < 1 et tout réel ρ, on définit la fonction I: xa φ_n(x) − νf(x + ρ).
a) On suppose que N(f^((n))) ≤ 1. Montrer que I ^((n − 1)) s'annule au plus 2p fois sur [0;2 p[ .
b) On suppose que N(f) ≤ λ_n. Montrer que I s'annule au moins 2p fois sur [0;2 p[ .
c) En déduire que, si N(f) ≤ λ_n et N(f^((n))) ≤ 1, les I ^((k)) pour k = 1, 2, …, n − 1 ont exactement 2 p zéros sur l'intervalle [ 0; 2p [ .
III.F.3) On suppose f non constante.
a) Montrer que l'on peut trouver α et β dans [0; 2p[ tels que:

On pose alors h(x) = φ_n(x) − λ_(n − 1)f(x + α − β)/N(f^′).
b) Ici on suppose n ≥ 3. Vérifier que h^′(β) = h^(′′)(β) = 0.
c) En déduire que:

d) Montrer que cette dernière implication est encore vraie pour n = 2.
III.G - Montrer qu'il existe une fonction ω declasse C^n de IR dans [ 0; 1 ] valant 1 sur le segment [ − 1/2; 1/2] et 0 en dehors du segment [ − 1; 1] (on pourra utiliser la fonction xa∫_0^x sin^n(t)dt sur le segment [0; π] ).
III.H - Soit maintenant f une fonction de classe C^(n − 1) et de classe C^n par morceaux de IR dans IR telle que f et f^((n)) soient bornées sur IR et pour laquelle:

Soit α un réel de l'intervalle [ 0; 1 [ . Pour tout entier naturel p non nul, on note f_p la fonction de période 2p telle que:

III.H.1) Montrer que f_p^((n)) est continue par morceaux sur IR et que l'on a, pour p assez grand,

III.H.2) En déduire que l'on a encore N(f^′) ≤ λ_(n − 1).
III.I - Soit f une fonction de classe C^(n − 1) et de classe C^n par morceaux de IR dans IR telle que f et f^((n)) soient bornées sur IR. Montrer que, pour tout entier k compris entre 0 et n, f^((k)) est bornée et que l'on a :

(On pourra utiliser une fonction du type xa af(bx)).

IV.A - On définit, pour p entier supérieur ou égal à 2 , la fonction ψ_p de F, affine sur [0; 1/p], [1/p; 1 − 1/p] et [1 − 1/p; 1] et vérifiant:

En utilisant le III.C, montrer que, pour tout entier naturel n, on a:

IV.B - En déduire que l'inégalité du III .I ne peut être améliorée.