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Décomposition en fréquences de Littlewood-Paley pour les fonctions périodiques
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Le problème introduit une méthode d'approximation des fonctions continues 2 pi-périodiques par découpage en fréquences, inspirée de la décomposition de Littlewood-Paley utilisée en équations aux dérivées partielles. Il construit d'abord une fonction plateau de classe C infini, puis étudie la convergence en norme L2 et en norme L infini des approximations obtenues, avec une estimation de vitesse pour les fonctions höldériennes.

  1. 1A- Construction d'une fonction de découpageConstruire, à partir d'une fonction exponentielle tronquée, une fonction de classe C infini à support compact servant au découpage en fréquences.
  2. 2B- Quelques propriétésÉtudier les propriétés de la transformée associée à la fonction de découpage et établir des estimations utiles pour la suite.
  3. 3C- Convergence en norme L2Montrer, à l'aide du produit de convolution et des coefficients de Fourier, que les approximations tronquées d'une fonction convergent vers celle-ci en norme L2.
  4. 4D- Contrôle en norme L infiniÉtablir, pour les fonctions höldériennes, une estimation de la vitesse de convergence uniforme des approximations et en déduire une majoration de la distance à l'espace des polynômes trigonométriques de degré N.

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SESSION 2008

Filière PC

MATHÉMATIQUES

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Durée : 4 heures
L'usage de calculatrices électroniques de poche n'est pas autorisé.

Introduction et notations

Ce problème constitue une introduction très rapide aux bases de la méthode de décomposition en fréquences de Littlewood-Paley. Notons que cette méthode est très fortement utilisée par exemple dans l'étude de la propagation de singularités au sein d'équations aux dérivées partielles variées : équations de Navier-Stokes en mécanique des fluides, équations de Boltzmann dans la dynamique des gaz etc. Nous commencerons par l'introduction des fonctions de découpage en fréquences ψ_n dont nous donnerons quelques propriétés. Nous utiliserons, par la suite, ces fonctions de découpage en fréquences pour présenter des approximations de fonctions continues 2π-périodiques sur ℝ. Nous obtiendrons, entre autres, une estimation d'erreur en norme infinie entre la fonction et sa troncature sur les N premières fonctions de base.
Le symbole ∑_(n ∈ ℤ)u_n représente ∑_(n = 0)^(+ ∞)u_n + ∑_(n = 1)^(+ ∞)u_(− n). La convergence de ∑_(n ∈ ℤ)u_n signifie la convergence de chacune des deux séries. Les notations définies dans une question sont conservées pour les questions suivantes.
N.B. On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Tournez S.V.P.

A- Construction d'une fonction de découpage

Nous allons, dans cette partie, définir une fonction qui nous servira pour le découpage en fréquences des fonctions continues 2π-périodiques sur ℝ.
QA.1) Soit χ la fonction définie sur ℝ par
{χ(x) = exp(− 1/x) si x > 0; χ(x) = 0 sinon.
Montrer que χ est de classe C^∞ sur ℝ.
QA.2) En déduire l'existence d'une fonction θ de classe C^∞ sur ℝ telle que
θ(x) > 0 si x ∈ ]1/2, 2[, θ(x) = 0 sinon.
Indication. Cette fonction θ sera définie par un produit de deux fonctions construites à l'aide de χ.
QA.3) Montrer que l'on peut définir une fonction Φ sur ]0, + ∞[ par
Φ(x) = ∑_(j ∈ ℤ)θ(2^(− j)x)
que Φ est de classe C^∞ sur ]0, + ∞[ et que
∀x > 0 Φ(x) > 0
Indication. Pour x fixé, étudier les propriétés de la suite (θ(2^(− j)x))_(j ∈ ℤ).
QA.4) On définit φ sur ℝ par
{φ(x) = (θ(|x|))/(Φ(|x|)) si x ≠ 0; φ(0) = 0
Montrer que la fonction φ a les propriétés suivantes :
  • φ est de classe C^∞ sur ℝ.
  • φ(x) > 0 si 1/2 < |x| < 2 et φ(x) = 0 sinon.
  • Pour tout x dans ℝ, on a l'inégalité suivante
∑_(j = 0)^(+ ∞)φ(2^(− j)x) ≤ 1
avec égalité pour |x| ≥ 1.

B- Quelques propriétés

On note E l'espace des fonctions continues 2π-périodiques sur ℝ, à valeurs complexes, et, pour f appartenant à E et n appartenant à ℤ, on pose
f^(n) = 1/(2π)∫_0^(2π)f(x)exp(− inx)dx
QB.1) Soit φ la fonction définie dans la partie précédente. On pose, pour tout ξ dans ℝ,
ψ(ξ) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)φ(x)exp(ixξ)dx
Montrer que ψ est continue, que ξ^3 ψ(ξ) est bornée, et que l'intégrale
∫_(− ∞)^(+ ∞)|ξ||ψ(ξ)|dξ
est convergente.
QB.2) Soient N > 0 et t appartenant à ℝ, on définit, pour x appartenant à ℝ,
L(x) = ∑_(k ∈ ℤ)φ(((2π)^(− 1)x + k)/N)exp(i((2π)^(− 1)x + k)t)
  • Montrer que L est une fonction de classe C^∞ et 2π-périodique sur ℝ.
  • Exprimer, pour n dans ℤ, L^(n) au moyen de la fonction ψ.
  • En déduire
∑_(k ∈ ℤ)φ(k/N)exp(ikt) = N∑_(k ∈ ℤ)ψ(N(t + 2kπ))
Pour toute la suite du problème on pose, pour n et t appartenant respectivement à ℕ et à ℝ,
ψ_n(t) = ∑_(k ∈ ℤ)φ(2^(− n)k)exp(ikt)
Tournez S.V.P.
QB.3) Soit h appartenant à E tel qu'il existe α, 0 < α ≤ 1, et M ≥ 0 avec
∀t ∈ ℝ, |h(t)| ≤ M|t|^α.
Montrer que, pour n appartenant à ℕ,
∫_0^(2π)|h(t)||ψ_n(t)|dt ≤ M2^(− αn)∫_(− ∞)^(+ ∞)|ξ|^α|ψ(ξ)|dξ
Indication. Utiliser les propriétés de φ(2^(− n)k) (avec n et k appartenant à ℕ ) pour ramener ψ_n à une somme finie, puis utiliser ensuite les propriétés de ψ établies à la question Q.B1) et la formule de la question précédente pour majorer ensuite l'intégrale et conclure.

C- Convergence en norme L^2

On définit les normes sur E, ‖ ⋅ ‖_2 et ‖ ⋅ ‖_∞ par
‖f‖_2, = (1/(2π)∫_0^(2π)|f(t)|^2 dt)^(1/2); ‖f‖_∞, = sup{|f(x)| : x ∈ [0, 2π]}
Si f, g appartiennent à E, on note pour x appartenant à [0, 2π],
(f⋆g)(x) = 1/(2π)∫_0^(2π)f(t)g(x − t)dt
Soient x appartenant à [0, 2π] et k appartenant à ℤ, on note
e_k(x) = exp(ikx)
Pour N dans ℕ, on désigne par E_N le sous-espace de E engendré par les fonctions e_k avec k appartenant à ℤ et |k| ≤ N.
QC.1) Montrer que si f, g appartiennent à E alors f⋆g = g⋆f.
QC.2) Soient f appartenant à E et n appartenant à ℕ. Exprimer f⋆ψ_n en fonction des coefficients f^(k) et montrer que f⋆ψ_n appartient à E_(2^(n + 1)).
QC.3) Si f et r appartiennent respectivement à E et à ℕ, on pose
f_r = f^(0) + ∑_(n = 0)^r f⋆ψ_n
  • Montrer
∀f ∈ E, ∀k ∈ ℤ, |f^_r(k)| ≤ |f^(k)|.
En déduire
∀f ∈ E ‖f_r‖_2 ≤ ‖f‖_2.
  • Montrer que, si N appartient à ℕ, r appartient à ℕ et 2^r ≥ N alors
∀f ∈ E_N f_r = f.
  • Montrer que, pour tout f de E,
lim_(r → + ∞)‖f_r − f‖_2 = 0
Indication. On pourra faire intervenir les sommes partielles S_N f de la série de Fourier de f.

D- Contrôle en norme L^∞

Pour 0 < α ≤ 1, Λ^α désigne le sous-espace de E constitué des fonctions f Höldériennes d'exposant α, c'est-à-dire pour lesquelles
‖f‖_α = sup{|f(x) − f(y)‖x − y|^(− α) : x, y ∈ ℝ et x ≠ y}
est fini. On suppose dans toute la suite α fixé avec 0 < α ≤ 1.
QD.1) Montrer qu'il existe un réel H > 0 tel que
∀f ∈ Λ^α, ∀n ∈ ℕ, ‖f⋆ψ_n‖_∞ ≤ H‖f‖_α 2^(− αn)
En déduire que, si f appartient à Λ^α, f_r converge uniformément vers f quand r tend vers l'infini.
Indication. Pour montrer la convergence uniforme vers f, on montrera tout d'abord que f_r converge normalement vers une fonction g. On identifiera f et g par une inégalité triangulaire bien choisie et une comparaison des normes L^∞ et L^2.
Tournez S.V.P.
QD.2) Établir que
∀f ∈ Λ^α, ∀r ∈ ℕ, ‖f_r − f‖_∞ ≤ H‖f‖_α(2^(− α(r + 1)))/(1 − 2^(− α))
et en déduire qu'il existe un réel C > 0 tel que
∀f ∈ Λ^α, ∀N ∈ ℕ, d(f, E_N) ≤ C‖f‖_α N^(− α)
où d(f, E_N) désigne inf{‖f − g‖_∞ : g ∈ E_N}.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques ENS PC 2008 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques ENS PC 2008 ?

Il porte sur les séries de Fourier, la construction de fonctions plateau de classe C infini, la convergence en norme L2 et en norme L infini, et les fonctions höldériennes.

Les quatre parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Non, chaque partie s'appuie sur les résultats et les notations des parties précédentes, en particulier sur la fonction de découpage construite dans la partie A.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

Les séries de Fourier et leurs coefficients, la convergence normale et uniforme de séries de fonctions, le produit de convolution et les normes L2 et L infini.

Ce sujet est-il centré sur l'analyse de Fourier ?

Oui, l'ensemble du problème vise à construire et étudier une méthode d'approximation des fonctions périodiques par découpage en fréquences, proche de la décomposition de Littlewood-Paley.

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