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Boule circonscrite à une partie de l'espace et prolongement des applications lipschitziennes
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Le sujet établit d'abord des propriétés de l'enveloppe convexe et de l'intersection décroissante de familles de boules dans l'espace euclidien de dimension 3, pour démontrer l'existence et l'unicité de la boule circonscrite à une partie compacte, avec une majoration de son diamètre. Il utilise ensuite ces outils pour démontrer, dans une dernière partie indépendante, qu'une application lipschitzienne de rapport 1 définie sur une partie finie de l'espace se prolonge en une application lipschitzienne de même rapport sur l'espace entier.

  1. 1I. PréliminairesÉtude de l'enveloppe convexe co(F) d'une partie de R^3, avec la démonstration qu'elle est obtenue à partir de barycentres d'au plus quatre points, et un résultat de séparation d'un point extérieur à un compact convexe.
  2. 2II. Un lemme techniqueÉtude de l'intersection Y_t d'une famille de boules dilatées par un paramètre t, de sa compacité et de la convergence vers un unique point limite lorsque t décroît vers sa valeur critique c.
  3. 3III. Application : la boule circonscriteDémonstration de l'existence et de l'unicité de la boule de rayon minimal contenant une partie compacte donnée, avec une majoration de son diamètre en fonction du diamètre de la partie.
  4. 4IV. Prolongement des applications lipschitziennesDémonstration, à l'aide d'une relation d'ordre et des résultats des parties précédentes, qu'une application 1-lipschitzienne définie sur une partie finie de l'espace se prolonge en une application 1-lipschitzienne sur l'espace tout entier.

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Filière PC

MATHÉMATIQUES

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Durée : 4 heures

L'usage de calculatrices électroniques de poche n'est pas autorisé.

Avertissement. On attachera la plus grande importance à la clarté et à la précision des démonstrations, ainsi qu'à la présentation des copies. La partie IV est indépendente de la partie III.

Notations.

Les ensembles des entiers naturels et des nombres réels sont notés respectivement ℕ et ℝ. Les nombres réels positifs ou nul forment l'ensemble ℝ^+. La norme et le produit scalaire de l'espace Euclidien usuel ℝ^3 sont notés respectivement ‖ ⋅ ‖ et ⟨ ⋅, ⋅ ⟩. Pour a ∈ ℝ^3 et r ≥ 0, la boule fermée de centre a et de rayon r est notée B(a; r) :
B(a; r) = {y ∈ ℝ^3; ‖y − a‖ ≤ r}.
Si j ∈ {1, 2, 3}, on note π_j : ℝ^3 → ℝ l'application qui à x associe sa j-ième coordonnée x_j. On l'appelle la projection sur le j-ième axe de coordonnées.
Si F est une partie de ℝ^3, le diamètre de F est défini par
diam(F) = sup{‖y − x‖; x ∈ F, y ∈ F}
Si p ∈ ℕ^∗, on définit aussi co_p(F) comme l'ensemble des barycentres de p points quelconques de F à coefficients positifs : x appartient à co_p(F) si et seulement si il existe x^1, …, x^p ∈ F et λ_1, …, λ_p ∈ ℝ^+tels que
∑_(j = 1)^p λ_j = 1, ∑_(j = 1)^p λ_j x^j = x
En particulier, co_1(F) = F.

I. Préliminaires

  1. Soit F ⊂ ℝ^3 et 1 ≤ j ≤ 3. On suppose que co_2(F) = F. Montrer que l'image de F par π_j est un intervalle, qu'on notera π_j(F).
  2. Si F ⊂ ℝ^3 et 1 ≤ p ≤ q, montrer que
co_p(F) ⊂ co_q(F)
  1. La réunion des co_p(F) lorsque p parcourt ℕ^∗ est notée co(F). Montrer que
co(co(F)) = co(F)
  1. (a) Soit λ_1, …, λ_p ∈ ℝ^+et μ_1, …, μ_p des nombres réels non tous nuls. On suppose que
∑_(j = 0)^p μ_j = 0
Montrer qu'il existe un nombre réel t tel que tous les λ_j + tμ_j sont positifs ou nuls, l'un au moins d'entre eux étant nul.
(b) En déduire que, si F ⊂ ℝ^3, on a co_5(F) = co_4(F) (on admettra que 5 points x^1, …, x^5 de ℝ^3 sont toujours affinement dépendants, ce qui signifie qu'il existe des nombres réels α_1, …α_5, non tous nuls, tels que
∑_(i = 1)^5 α_i = 0, ∑_(i = 1)^5 α_i x^i = 0)
(c) Montrer alors que co(F) = co_4(F).
5. (a) Soit K une partie compacte de ℝ^3 et a ∈ ℝ^3 un point n'appartenant pas à K. Montrer qu'il existe un point a^ de K tel que ‖a^ − a‖ ≤ ‖v − a‖ pour tout v ∈ K.
(b) On suppose de plus que co_2(K) = K. Si y ∈ K, montrer que
⟨y − a^, a^ − a⟩ ≥ 0
(il est utile de s'aider d'un dessin, mais celui-ci ne constitue pas une démonstration).
(c) En déduire qu'il existe un vecteur unitaire u ∈ ℝ^3 tel que
⟨u, a⟩ < inf{⟨u, y⟩; y ∈ K}.

II. Un lemme technique

Dans cette partie, P est une partie compacte non vide de ℝ^4, incluse dans ℝ^3 × ]0, + ∞[. Ses éléments sont des couples ( a, r ) où a ∈ ℝ^3 et r > 0. Pour tout nombre réel positif t, on note
Y_t = ⋂_((a, r) ∈ P)B(a; rt)
  1. Montrer que la famille (Y_t)_(t ≥ 0) est croissante, c'est-à-dire que
(s < t) ⟹ (Y_s ⊂ Y_t).
  1. Montrer que chaque Y_t est compact.
  2. Montrer que co_2(Y_t) = Y_t, puis que π_j(Y_t) est un intervalle compact.
  3. Montrer qu'il existe T tel que Y_T soit non vide.
  4. Soit t ≥ 0 et y, z ∈ Y_t. Montrer que, pour tout (a, r) ∈ P,
‖(y + z)/2 − a‖^2 + ‖(y − z)/2‖^2 ≤ r^2 t^2
A partir de maintenant, on note c la borne inférieure des nombres t ≥ 0 pour lesquels Y_t n'est pas vide.
6. Si t > c, montrer que
diam(Y_t) ≤ 2r_+√(t^2 − c^2)
où r_+est le maximum de r parmi les couples (a, r) ∈ P.
7. Pour j ∈ {1, 2, 3}, montrer que l'intersection des π_j(Y_t) parmi les t > c est un intervalle, réduit à un point, qu'on désignera par x_j.
8. Pour tout t > c, on choisit un élément y_t de Y_t. Montrer que y_t converge, lorsque t → c, vers le vecteur x de coordonnées (x_1, x_2, x_3). En déduire que Y_c n'est pas vide. Montrer qu'il ne contient qu'un seul élément.
Dans la question ci-dessous, on note b l'unique élément de Y_c.
9. Soit u un vecteur unitaire de ℝ^3.
(a) Pour tout ε ≠ 0, montrer qu'il existe (a_ε, r_ε) ∈ P tel que
‖b − a_ε‖ ≤ r_ε c < ‖ − εu + b − a_ε‖
(b) On suppose ici que P est fini. Déduire de ce qui précède qu'il existe (a, r) ∈ P tel que
⟨u, b − a⟩ ≤ 0, ‖b − a‖ = rc
(c) On définit l'ensemble, noté Q, des a ∈ ℝ^3 pour lesquels il existe r tel que (a, r) ∈ P et ‖b − a‖ = rc.
Montrer que b appartient à co(Q). Indication: on utilisera la question I.5.

III. Application : la boule circonscrite

Soit S une partie compacte non vide de ℝ^3.
  1. Montrer qu'il existe une unique boule de rayon minimal contenant S. On pourra choisir P = S × {1} et appliquer les résultats du II. Cette boule est appelée la boule circonscrite à S.
  2. On se donne un nombre c ∈ ℝ^+et quatre points x^0, …, x^3 de ℝ^3 tels que ‖x^i‖ = c pour tout i. Puis on choisit R ∈ ℝ^+tel que ‖x^i − x^j‖ ≤ R pour tout i, j.
    Soit λ_0, …, λ_3 ∈ ℝ^+. On suppose que
∑_(j = 0)^3 λ_j = 1, ∑_(j = 0)^3 λ_j x^j = 0
Montrer que, pour tout k ∈ {0, 1, 2, 3},
2c^2 ≤ (1 − λ_k)R^2
et en déduire que
c^2 ≤ 3/8R^2
  1. On suppose que S est fini. Montrer que le diamètre de la boule circonscrite à S est majoré par
√(3/2)diam(S)
Indication : utiliser ce qui précède, ainsi que les questions I.4c et II.9.
4. Sur un exemple, montrer que le diamètre de la boule circonscrite à S peut être égal à cette valeur.

IV. Prolongement des applications lipschitziennes

Soit m, n ≥ 1 deux nombres entiers. Etant donnée une partie S de ℝ^3 et une fonction f : S → ℝ^3, on dit que ( f, S ) est de classe L si
∀x, y ∈ ℝ^3, (x ∈ S, y ∈ S) ⟹ (‖f(y) − f(x)‖ ≤ ‖y − x‖),
autrement dit, f est Lipschitzienne de rapport k = 1 sur S. Si ( f, S ) et ( g, T ) sont de classe L, on note (f, S)≺(g, T) si S ⊂ T et la restriction de g à S est égale à f.
  1. Montrer que ≺ est une relation d'ordre sur l'ensemble des couples ( f, S ) de classe L.
  2. Soit ( f_k, S_k ) une suite croissante de couples de classe L. Montrer que, parmi les couples ( g, T ) de classe L, vérifiant
(f_k, S_k)≺(g, T) pour tout k,
il existe un couple minimal pour la relation ≺.
3. On se donne un couple (g, F) de classe L. On suppose que F est fini. Enfin, on se donne un point ξ de ℝ^3 n'appartenant pas à F. On définit un ensemble P ⊂ ℝ^3 × ]0, + ∞[ par
P = {(g(x), ‖x − ξ‖); x ∈ F}.
Dans la suite de cette question, on utilise le nombre c de la partie II, associé à l'ensemble P ci-dessus, et on note b l'unique élément de Y_c.
(a) Montrer qu'il existe des points x^1, …, x^4 de F et des nombres λ_1, …, λ_4 ∈ ℝ^+, vérifiant
∀1 ≤ i ≤ 4, ‖b − g(x^i)‖ = c‖x^i − ξ‖,
ainsi que
∑_(i = 1)^4 λ_i = 1, ∑_(i = 1)^4 λ_i g(x^i) = b.
(b) En déduire que
2∑_(i = 1)^4 λ_i‖b − g(x^i)‖^2 = ∑_(i, j = 1)^4 λ_i λ_j‖g(x^i) − g(x^j)‖^2.
(c) Montrer l'inégalité
2c^2‖∑_(i = 1)^4 λ_i(x^i − ξ)‖^2 + c^2∑_(i, j = 1)^4 λ_i λ_j‖x^i − x^j‖^2 ≤ ∑_(i, j = 1)^4 λ_i λ_j‖x^i − x^j‖^2.
(on pourra utiliser l'identité précédente, ainsi que 2⟨u, v⟩ = ‖u‖^2 + ‖v‖^2 − ‖u − v‖^2 ).
(d) En déduire que c ≤ 1, puis que
⋂_(x ∈ F)B(g(x); ‖x − ξ‖) ≠ ∅
  1. Soit (f, S) de classe L, avec S fini.
    (a) Montrer qu'il existe (g, T) de classe L, avec (f, S)≺(g, T) et S ≠ T.
    (b) Finalement, montrer qu'il existe h : ℝ^3 → ℝ^3, Lipschitzienne de rapport un, dont la restriction à S est égale à f.

FIN D ©PREUVE

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths ENS PC 2010 (boule circonscrite) ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths ENS PC 2010 (boule circonscrite) ?

Il porte sur la convexité et l'enveloppe convexe dans l'espace euclidien de dimension 3, la compacité, la géométrie euclidienne des boules, ainsi que les relations d'ordre et les applications lipschitziennes.

Les parties du sujet ENS maths PC 2010 sont-elles indépendantes ?

L'énoncé précise que la partie IV est indépendante de la partie III, mais elle réutilise directement les résultats des parties I et II établis pour l'étude de la boule circonscrite.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Il faut maîtriser la notion de compacité en dimension finie, la convexité et les barycentres, le produit scalaire euclidien, ainsi que la notion d'application lipschitzienne et de relation d'ordre.

Ce sujet démontre-t-il un théorème de prolongement d'applications lipschitziennes ?

Oui, la partie IV démontre, dans le cas de l'espace de dimension 3, un résultat analogue au théorème de Kirszbraun : toute application 1-lipschitzienne sur une partie de l'espace se prolonge en une application 1-lipschitzienne sur l'espace entier.

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