WikiPrépaLivrets

Polytechnique Mathématiques PC 2010Sujet, corrigé et rapport du jury

Une méthode de Fredholm pour la résolution de certaines équations intégrales

Pas encore noté
Logo concours X

Explorer les annales

BanqueX-ENSAnnée2010FilièrePCMatièreMathématiques
Annales X-ENS PC MathématiquesX-ENS PC 2010PC MathématiquesMathématiques 2010

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficile
Une méthode de Fredholm pour l'étude de certaines équations intégrales
Afficher ou masquer la section

Le problème étudie des équations intégrales linéaires de la forme φ(x) - z∫N(x,y)φ(y)dy = f(x). Il traite d'abord des exemples explicites, dont un noyau périodique résolu par séries de Fourier, puis les relit en termes d'algèbre linéaire, avant de construire dans le cas général une solution par série entière et par la méthode des déterminants de Fredholm.

  1. 1Première partie : étude de quelques équations intégralesRésolution d'une équation à noyau exponentiel, d'une équation de convolution périodique par coefficients de Fourier et d'une équation se ramenant à une équation différentielle linéaire (questions 1 à 3, environ 8 points).
  2. 2Deuxième partie : quelques considérations d'algèbre linéaireInversibilité de Id - zA pour un projecteur A, valeurs propres d'un opérateur de convolution et condition suffisante d'inversibilité (questions 4 et 5, environ 5 points).
  3. 3Troisième partie : équations intégrales, le cas généralNoyaux itérés et série entière convergeant normalement pour |z| petit, puis déterminants de Fredholm, inégalité de Hadamard et solution valable dès que D(z) est non nul (questions 6 à 12, environ 13 points).

Difficile. Le rapport parle d'un sujet assez difficile, aux notations lourdes, dont les questions 8 à 12 ont été ignorées par plus de 80 % des candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,29 / 20 · écart-type 3,56 · 1 268 copies · où vous situez-vous ?
Afficher ou masquer la section
Moyenne
9,29/ 20
Écart-type
3,56
Copies
1 268
moyenne 9,2905101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Oublier la réciproque · Continuité d'une intégrale à paramètre non justifiée · Rayon de convergence non déduit de la majoration
Afficher ou masquer la section

Le sujet, surtout orienté vers l'analyse malgré une partie d'algèbre linéaire, a peu inspiré les candidats. L'erreur la plus répandue est logique : établir qu'une solution ou une valeur propre a nécessairement une certaine forme sans vérifier ensuite que cette forme convient. Les questions 6 et 7 ont été assez bien traitées, alors que la fin du problème a très peu été abordée.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Oublier la réciproque1b, 2b, 5a

    Montrer qu'une solution éventuelle a une forme donnée ne suffit pas : il faut vérifier qu'elle est bien définie et solution, ou exhiber un vecteur propre pour chaque valeur propre annoncée.

    « Mais le raisonnement ne doit pas s’arrêter là »
  2. 2
    Continuité d'une intégrale à paramètre non justifiée2a, 6a, 6c

    Affirmer que l'intégrale d'une fonction continue est toujours continue est inacceptable : il faut invoquer la convergence dominée ou le théorème du cours sur un segment, ou démontrer la continuité à la main.

  3. 3
    Rayon de convergence non déduit de la majoration6b

    Après avoir majoré les coefficients, beaucoup ne savent pas en tirer une conclusion sur le rayon de convergence.

    « Ce qui est vraiment étonnant et dérangeant. »
  4. 4
    Cas particulier et conditions initiales oubliés3

    Dans la résolution par équation différentielle, le cas z = 1 et les conditions initiales explicites sont souvent négligés.

    « Beaucoup oublient de traiter le cas z = 1. »
  5. 5
    Absence de lien avec les résultats précédents4b

    Peu utilisent la formule de 4a pour retrouver la solution de 1b, et certains obtiennent une solution différente sans s'en étonner.

  6. 6
    Références vagues au cours8, 11

    Invoquer vaguement des théorèmes généraux ou usuels sans préciser lesquels ni leurs hypothèses ne vaut rien ; les interversions doivent être justifiées par Fubini ou la convergence normale.

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 1a et 4a n'ont en général posé aucune difficulté.
  • Les questions 6 et 7 ont été assez bien traitées, la question 7 étant plutôt facilement résolue.
  • Dans la question 6b, tout le monde établit la majoration des coefficients de la série entière.

Conseils du jury

  • Dans un raisonnement par condition nécessaire, toujours vérifier la réciproque.
  • Citer précisément le théorème utilisé et vérifier ses hypothèses.
  • Justifier chaque interversion (série et intégrale, ordre d'intégration) par le théorème adapté.
  • Contrôler la cohérence d'un résultat avec ceux obtenus plus tôt dans le problème.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Une méthode de Fredholm pour l'étude de certaines équations intégrales

Si f est une fonction continue de R dans C, 2π-périodique, on note, pour tout n ∈ Z, son n-ième coefficient de Fourier par
fˆ(n) = 1/(2π)∫_(− π)^π f(t)e^(− int)dt
On note D¯(0, R) le disque fermé du plan complexe de centre 0 et de rayon R.
On pourra se servir du résultat suivant, admis sans démonstration. Si A = (a_(ij))_(i, j = 1, …, n) est une matrice carrée de taille n à coefficients complexes, alors
|detA| ≤ n^(n/2)(sup_(i, j)|a_(ij)|)^n
(inégalité de Hadamard).
Première partie : étude de quelques équations intégrales
  1. Soit f : [0, 1] → C une fonction continue. Considérons l'équation intégrale de paramètre z ∈ C, z ≠ 1, et de fonction inconnue φ_z : [0, 1] → C continue :
(E_z) φ_z(x) − z∫_0^1 e^(x − y)φ_z(y)dy = f(x)
1a. Posons ξ_z = ∫_0^1 e^(− y)φ_z(y)dy. Écrire une relation simple exprimant ξ_z en fonction de z et f.
1b. En déduire que si z ≠ 1, (E_z) possède une et une seule solution que l'on explicitera.
2. Soient f et K deux fonctions de R dans C, 2π-périodiques, f étant de classe C^2 et K de classe C^1. Considérons l'équation intégrale de paramètre z ∈ C et de fonction inconnue φ_z : R → C continue et 2π-périodique :
(F_z) φ_z(x) − z/(2π)∫_(− π)^π K(x − t)φ_z(t)dt = f(x)
2a. Soit g une fonction de R dans C continue, 2π-périodique. Montrer que la fonction h définie sur R par
h(x) = 1/(2π)∫_(− π)^π K(x − t)g(t)dt
est continue, 2π-périodique et que ses coefficients de Fourier hˆ(n) vérifient
hˆ(n) = Kˆ(n)gˆ(n)
2b. Montrer que si z ∈ C est tel que pour tout n ∈ Z, zKˆ(n) ≠ 1, l'équation (F_z) possède une et une seule solution dont on donnera le développement en série de Fourier.
3. Considérons l'équation intégrale de paramètre z ∈ C et de fonction inconnue φ_z : R → C de classe C^1 :
(H_z) φ_z(x) − z∫_0^x φ_z(t)dt = e^x
Montrer que si φ_z est solution de (H_z), φ_z vérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. En déduire les solutions de (H_z).

Deuxième partie : quelques considérations d'algèbre linéaire

4a. Soit A un endomorphisme d'un C-espace vectoriel E vérifiant A^2 = A. On note Id_E l'identité de E. Montrer que lorsque z ≠ 1, l'endomorphisme Id_E − zA de E est inversible et donner son inverse.
4b. On note C([0, 1], C) l'espace des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs complexes. Considérons l'opérateur :
A : {C([0, 1], C), → C([0, 1], C); φ ↦ Aφ,, Aφ(x) = ∫_0^1 e^(x − y)φ(y)dy
Montrer que A est linéaire et vérifie A^2 = A. Montrer que si z ≠ 1, Id − zA est inversible et retrouver le résultat de la question 1b.
5. On note C_(2π)(R, C) l'espace des fonctions continues sur R à valeurs complexes et 2π périodiques. Plaçons-nous sous les hypothèses de la question 2, et considérons l'opérateur :
A : {C_(2π)(R, C) → C_(2π)(R, C); A ↦ Aφ, Aφ(x) = 1/(2π)∫_(− π)^π K(x − t)φ(t)dt
5a. Montrer que A est linéaire et que ses valeurs propres sont les Kˆ(n), n ∈ Z.
5b. Supposons que pour tout n ∈ Z, zKˆ(n) ≠ 1. Proposer une condition suffisante pour que Id − zA soit inversible.

Troisième partie : équations intégrales, le cas général

Dans la suite du problème, on considère un intervalle fermé borné [a, b], une fonction continue f : [a, b] → C, et une fonction continue N : [a, b] × [a, b] → C. On note M = sup_((x, y) ∈ [a, b]^2)|N(x, y)|. On considère l'équation intégrale de paramètre z ∈ C et de fonction inconnue φ_z : [a, b] → C :
(I_z) φ_z(x) − z∫_a^b N(x, y)φ_z(y)dy = f(x)
Posons, pour (x, y) ∈ [a, b]^2,
N_0(x, y) = 1, N_1(x, y) = N(x, y)
et par récurrence, pour tout entier k ≥ 2, N_k(x, y) = ∫_a^b N(x, s)N_(k − 1)(s, y)ds.
Posons pour z ∈ C, x, y ∈ [a, b], A(x, y, z) = ∑_(k = 1)^∞N_k(x, y)z^(k − 1).
6a. Montrer que les fonctions N_k sont bien définies et continues.
6b. Montrer qu'il existe un réel R > 0 tel que la série A(x, y, z) converge normalement sur [a, b]^2 × D¯(0, R). (On pourra majorer |N_k(x, y)| indépendamment de x et y dans [a, b] en fonction de la constante M introduite plus haut.)
6c. Pour tout z ∈ D¯(0, R) et x ∈ [a, b], posons ψ_z(x) = ∫_a^b A(x, t, z)f(t)dt. Montrer que ψ_z est bien définie, continue sur [a, b] et que
z∫_a^b N(x, y)ψ_z(y)dy = ψ_z(x) − ∫_a^b N(x, t)f(t)dt
En déduire que pour tout z de module strictement plus petit que R, φ_z(x) = f(x) + zψ_z(x) est solution de l'équation ( I_z ).
Le but de la fin du problème est de montrer l'existence (sous certaines conditions) d'une solution de (I_z) en dehors du disque {z ∈ C, |z| < R}.
Soit n un entier naturel non nul. Notons pour x_i, y_i, i = 1, …, n dans l'intervalle [a, b],
N((x_1, …, x_n)/(y_1, …, y_n))
le déterminant de la matrice dont le coefficient de la k-ième ligne et l-ième colonne est N(x_k, y_l).
7. Montrer que
N((x, s_1, …, s_n)/(y, s_1, …, s_n)) = N(x, y)N((s_1, …, s_n)/(s_1, …, s_n)) + ∑_(k = 1)^n(− 1)^k N(x, s_k)N((s_1, ………………., s_n)/(y, s_1, …, s_(k − 1), s_(k + 1), …, s_n)), et en déduire que
N((x, s_1, …, s_n)/(y, s_1, …, s_n)) = N(x, y)N((s_1, …, s_n)/(s_1, …, s_n)) − ∑_(k = 1)^n N(x, s_k)N((s_k, s_1, …, s_(k − 1), s_(k + 1), …, s_n)/(y, s_1, …, s_(k − 1), s_(k + 1), …, s_n)).
Définissons C_n^((j)) pour tout entier naturel non nul n, et tout entier j, 1 ≤ j ≤ n, par
C_n^((n))(x, y; s_1, …, s_n) = N((x, s_1, …, s_n)/(y, s_1, …, s_n))
et, pour tout k = 1, …, n − 1,
C_n^((n − k))(x, y; s_1, …, s_(n − k)) = ∫_a^b C_n^((n − k + 1))(x, y; s_1, …, s_(n − k + 1))ds_(n − k + 1).
Posons aussi c_0(x, y) = N(x, y) et si n ≥ 1, c_n(x, y) = ∫_a^b C_n^((1))(x, y; s_1)ds_1, puis a_0 = 1, et si n ≥ 1, a_n = ∫_a^b c_(n − 1)(s, s)ds.
8. Montrer que pour tout n ≥ 1,
c_n(x, y) = N(x, y)a_n − n∫_a^b N(x, s)c_(n − 1)(s, y)ds
(On intégrera chacun des termes de la formule obtenue en 7 par rapport à des variables judicieusement choisies, dans un ordre judicieusement choisi.)
9. Montrer que la série entière D(z) = ∑_(n = 0)^∞(− 1)^n(a_n)/(n!)z^n a un rayon de convergence infini. (On pourra majorer |a_n| en partant de la majoration |N(x, y)| ≤ M et utiliser l'inégalité de Hadamard rappelée dans le préambule).
10. On fixe R > 0. Pour tout entier n, majorer |(c_n(x, y))/(n!)z^n| pour tout (x, y, z) ∈ [a, b] × [a, b] × D¯(0, R) par une constante m_n qui soit le terme général d'une série convergente.
11. Considérons la série entière S_(x, y)(z) = ∑_(n = 0)^∞(− 1)^n(c_n(x, y))/(n!)z^n.
Établir l'égalité S_(x, y)(z) = N(x, y)D(z) + z∫_a^b N(x, s)S_(s, y)(z)ds.
12. En déduire que pour tout z ∈ C tel que D(z) ≠ 0,
φ_z(x) = f(x) + z∫_a^b(S_(x, s)(z))/(D(z))f(s)ds
est l'unique solution de l'équation intégrale ( I_z ).

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de maths X PC 2010 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte l'épreuve de maths X PC 2010 ?

Surtout sur l'analyse : séries de fonctions, séries de Fourier, convergence dominée, continuité d'intégrales à paramètre et séries entières. La deuxième partie fait appel à l'algèbre linéaire et la fin du problème aux déterminants.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths Polytechnique PC 2010 ?

Pour les candidats français, le rapport indique 1268 copies, une moyenne de 9,29 et un écart-type de 3,56.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths X PC 2010 ?

La principale est d'oublier la réciproque après avoir trouvé la forme nécessaire d'une solution ou d'une valeur propre. Le jury dénonce aussi des preuves de continuité d'intégrales à paramètre sans argument et des références vagues aux théorèmes du cours.

Le sujet de maths X PC 2010 est-il difficile ?

Le rapport le juge assez difficile, avec des notations lourdes et des questions demandant une idée. Les questions 8 à 12 ont été ignorées par plus de 80 % des candidats.

Pas de description pour le moment