CCINP Mathématiques 1 PC 2010Sujet, corrigé et rapport du jury

Racines carrées d'un endomorphisme

Pas encore noté

Explorer les annales

BanqueCCINP Année2010 FilièrePC MatièreMathématiques

Annales CCINP PC Mathématiques CCINP PC 2010 PC Mathématiques Mathématiques 2010

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Notations et objectifs

Dans tout ce problème

n

est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et

E

est un espace vectoriel de dimension finie

n

sur le corps

ℝ

des nombres réels.

L(E)

désigne l'algèbre des endomorphismes de

E

GL(E)

l'ensemble des endomorphismes de

E

qui sont bijectifs.

On note 0 l'endomorphisme nul et id l'application identité.
Pour tout endomorphisme

f

Ker(f)

Im(f)

désigneront respectivement le noyau et l'image de

f

L'ensemble des valeurs propres de

f

sera noté

Sp(f)

et on notera :

R(f) = {h ∈ L(E)|h^2 = f}

ℝ[X]

désigne l'espace des polynômes à coefficients réels.
Étant donné

f \in L(E)

P \in ℝ[X]

donné par

P(X) = \sum_(k = 0)^ℓ a_k X^k,

on définit

P(f) \in L(E)

par :

P(f) = \sum_(k = 0)^ℓ a_k f^k

où

f^0 =

id et pour

k \in ℕ^⋆, f^k = f \circ \dots \circ f_()_(k fois)

.
Si

f_1, \dots, f_q

désignent

q

endomorphismes de

E(q \in ℕ^⋆)

alors

\prod_(1 ⩽ i ⩽ q)f_i

désignera l'endomorphisme

f_1 \circ \dots \circ f_q

Pour tout entier

p

non nul,

M_p(ℝ)

désigne l'espace des matrices carrées à

p

lignes et

p

colonnes à coefficients dans

ℝ

I_p

est la matrice identité de

M_p(ℝ)

.
L'objectif du problème est d'étudier des conditions nécessaires ou suffisantes à l'existence de racines carrées d'un endomorphisme

f

et de décrire dans certains cas l'ensemble

R(f)

PARTIE I

A) On désigne par

f

l'endomorphisme de

ℝ^3

dont la matrice dans la base canonique est donnée par :

A = (8, 4, - 7; - 8, - 4, 8; 0, 0, 1)

Montrer que $f$ est diagonalisable.
Déterminer une base ( $v_1, v_2, v_3$ ) de $ℝ^3$ formée de vecteurs propres de $f$ et donner la matrice $D$ de $f$ dans cette nouvelle base.
Soit $P$ la matrice de passage de la base canonique à la base ( $v_1, v_2, v_3$ ). Soit un entier $m ⩾ 1$ . Sans calculer l'inverse de $P$ , exprimer $A^m$ en fonction de $D, P$ et $P^(- 1)$ .
Calculer $P^(- 1)$ , puis déterminer la matrice de $f^m$ dans la base canonique.
Déterminer toutes les matrices de $M_3(ℝ)$ qui commutent avec la matrice $D$ trouvée à la question 2).
Montrer que si $H \in M_3(ℝ)$ vérifie $H^2 = D$ , alors $H$ et $D$ commutent.
Déduire de ce qui précède toutes les matrices $H$ de $M_3(ℝ)$ vérifiant $H^2 = D$ , puis déterminer tous les endomorphismes $h$ de $ℝ^3$ vérifiant $h^2 = f$ en donnant leur matrice dans la base canonique.
B) Soient $f$ et $j$ les endomorphismes de $ℝ^3$ dont les matrices respectives $A$ et $J$ dans la base canonique sont données par :

A = (2, 1, 1; 1, 2, 1; 1, 1, 2) et J = (1, 1, 1; 1, 1, 1; 1, 1, 1)

Calculer $J^m$ pour tout entier $m ⩾ 1$ .
En déduire que pour tout $m \in ℕ^⋆, f^m = id + 1/3(4^m - 1)j$ . Cette relation est-elle encore valable pour $m = 0$ ?
Montrer que $f$ admet deux valeurs propres distinctes $λ$ et $μ$ telles que $λ < μ$ .
Montrer qu'il existe un unique couple ( $p, q$ ) d'endomorphismes de $ℝ^3$ tel que pour tout entier $m ⩾ 0, f^m = λ^m p + μ^m q$ et montrer que ces endomorphismes $p$ et $q$ sont linéairement indépendants.
Après avoir calculé $p^2, q^2, p \circ q$ et $q \circ p$ , trouver tous les endomorphismes $h$ , combinaisons linéaires de $p$ et $q$ qui vérifient $h^2 = f$ .
Montrer que $f$ est diagonalisable et trouver une base de vecteurs propres de $f$ . Écrire la matrice $D$ de $f$ , puis la matrice de $p$ et de $q$ dans cette nouvelle base.
Déterminer une matrice $K$ de $M_2(ℝ)$ non diagonale telle que $K^2 = I_2$ , puis une matrice $Y$ de $M_3(ℝ)$ non diagonale telle que $Y^2 = D$ .
En déduire qu'il existe un endomorphisme $h$ de $ℝ^3$ vérifiant $h^2 = f$ qui n'est pas combinaison linéaire de $p$ et $q$ .
Montrer que tous les endomorphismes $h$ de $ℝ^3$ vérifiant $h^2 = f$ sont diagonalisables.

PARTIE II

Soit

f

un endomorphisme de

E

. On suppose qu'il existe

(λ, μ) \in ℝ^2

et deux endomorphismes non nuls

p

q

E

tels que :

λ ≠ μ et {id, =, p + q; f, =, λp + μq; f^2, = λ^2 p + μ^2 q

Calculer $(f - λid) \circ (f - μid)$ . En déduire que $f$ est diagonalisable.
Montrer que $λ$ et $μ$ sont valeurs propres de $f$ et qu'il n'y en a pas d'autres.
Déduire de la relation trouvée dans la question 1) que $p \circ q = q \circ p = 0$ puis montrer que $p^2 = p$ et $q^2 = q$ .
On suppose jusqu'à la fin de cette partie que $λμ \neq 0$ .

Montrer que

f

est un isomorphisme et écrire

f^(- 1)

comme combinaison linéaire de

p

q

.
5) Montrer que pour tout

m \in ℤ

f^m = λ^m p + μ^m q

Soit $F$ le sous-espace de $L(E)$ engendré par $p$ et $q$ . Déterminer la dimension de $F$ .
On suppose dans la suite de cette partie que $λ$ et $μ$ sont strictement positifs. Déterminer $R(f) \cap F$ .
Soit $k$ un entier supérieur ou égal à 2 . Déterminer une matrice $K$ de $M_k(ℝ)$ non diagonale et vérifiant $K^2 = I_k$ .
Montrer que si l'ordre de multiplicité de la valeur propre $λ$ est supérieur ou égal à 2, alors il existe un endomorphisme $p^' \in L(E)∖F$ tel que $p^2 = p$ et $p^' \circ q = q \circ p^' = 0$ .
En déduire que si $dim(E) ⩾ 3$ , alors $R(f)\subset̸F$ .

PARTIE III

Soient

p_1, \dots, p_m, m

endomorphismes non nuls de

E

λ_1, \dots, λ_m, m

nombres réels distincts. Soit

f

un endomorphisme de

E

vérifiant pour tout entier

k \in ℕ

f^k = \sum_(i = 1)^m λ_i^k p_i

Montrer que pour tout $P \in ℝ[X]$ , on a :

P(f) = \sum_(i = 1)^m P(λ_i)p_i

En déduire que $\prod_(i = 1)^m(f - λ_i id) = 0$ , puis que $f$ est diagonalisable.
Pour tout entier $ℓ$ tel que $1 ⩽ ℓ ⩽ m$ , on considère le polynôme :

L_ℓ(X) = \prod_(1 ⩽ i ⩽ m; i \neq ℓ)((X - λ_i))/((λ_ℓ - λ_i))

Montrer que pour tout entier

ℓ

, tel que

1 ⩽ ℓ ⩽ m

, on a

p_ℓ = L_ℓ(f)

. En déduire que

Im(p_ℓ) \subset Ker(f - λ_ℓ id)

, puis que le spectre de

f

est :

Sp(f) = {λ_1, …, λ_m}

Vérifier que pour tout couple d'entiers ( $i, j$ ) tels que $1 ⩽ i, j ⩽ m$ , on a :

p_i ∘ p_j = {0, si i ≠ j; p_i, si i = j

Justifier le fait que la somme $\sum_(i = 1)^m Ker(f - λ_i id)$ est directe et égale à $E$ et que les projecteurs associés à cette décomposition de $E$ sont les $p_i$ .
Soit $F$ le sous-espace vectoriel de $L(E)$ engendré par ${p_1, …, p_m}$ . Déterminer la dimension de $F$ .
Déterminer $R(f) \cap F$ dans le cas où $λ_1, \dots, λ_m$ sont des réels positifs ou nuls.
Dans cette question, on suppose de plus que $m = n$ .
8.1) Préciser alors la dimension des sous-espaces propres de $f$ .
8.2) Montrer que si $h \in R(f)$ , tout vecteur propre de $f$ est également vecteur propre de $h$ .
8.3) En déduire que $R(f) \subset F$ et donner une condition nécessaire et suffisante sur les $λ_i$ pour que $R(f)$ soit non vide.
Montrer que si $m < n$ et si tous les $λ_i$ sont positifs ou nuls, alors $R(f)\subset̸F$ .

PARTIE IV

A) Soit

f

un endomorphisme non nul de

E

tel qu'il existe un entier

p > 1

tel que

f^p = 0

f^(p - 1) \neq 0

Montrer qu'il existe $x \in E$ non nul tel que la famille ( $x, f(x), f^2(x), \dots, f^(p - 1)(x)$ ) est libre. En déduire que $p ⩽ n$ et que $f^n = 0$ .
Montrer que si $R(f) \neq \emptyset$ alors $2p - 1 ⩽ n$ .
Déterminer les réels $a_0, \dots, a_(n - 1)$ tels que $\sqrt(1 + x) = \sum_(k = 0)^(n - 1)a_k x^k + O(x^n)$ au voisinage de 0 . Dans la suite, $P_n$ désigne le polynôme défini par $P_n(X) = \sum_(k = 0)^(n - 1)a_k X^k$ .
Montrer qu'il existe une fonction $η$ bornée au voisinage de 0 telle que l'on ait $P_n^2(x) - x - 1 = x^n η(x)$ . En déduire que $X^n$ divise $P_n^2 - X - 1$ .
Montrer alors que $R(f + id) \neq \emptyset$ . Plus généralement, montrer que pour tout $α$ réel, $R(αf + id) \neq \emptyset$ , puis que pour tout $β$ réel strictement positif, $R(f + βid) \neq \emptyset$ .
B) 1) Soit $T = (a_(ij))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)$ une matrice triangulaire supérieure de $M_n(ℝ)$ dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à un réel $λ$ .

Montrer que

(T - λI_n)^n = 0

.
2) On suppose dans toute la suite que

f

est un endomorphisme de

E

dont le polynôme caractéristique est scindé et qui n'admet qu'une seule valeur propre

λ

. Déduire de la question précédente que

E = Ker(f - λid)^n

.
3) Montrer que si

λ > 0

alors

R(f) \neq \emptyset

Fin de l'énoncé

Pas de description pour le moment

Commentaires• CCINP Mathématiques 1 PC 2010

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...