WikiPrépaLivrets

Mines Mathématiques 2 PC 2015Sujet et corrigé

Pas encore noté
Faisable en Sup
Logo concours Mines

Explorer les annales

BanqueMinesAnnée2015FilièrePCMatièreMathématiques
Annales Mines PC MathématiquesMines PC 2015PC MathématiquesMathématiques 2015

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Corrigé 2
Lire en ligneLaTeXWord
  • Rapport du jury : non disponible

Présentation du sujet

Suites de Fibonacci et de Lucas généralisées via les puissances d'une matrice R(λ), formule de Moivre matricielle et construction d'une loi de probabilité
Afficher ou masquer la section

Le problème introduit des suites de Fibonacci et de Lucas généralisées, définies à l'aide d'un paramètre réel λ, et une formule de Moivre matricielle admise qui exprime les puissances d'une matrice R(λ) en fonction de ces suites. Il démontre cette formule à l'aide d'une division euclidienne de polynômes, en tire des identités remarquables sur les suites, puis utilise ces résultats pour construire une loi de probabilité à partir de suites de Lucas particulières.

  1. 1I - PréliminairesCalcule les premiers termes des suites généralisées et montre l'existence de matrices J non multiples de l'identité vérifiant J^2=(5/4)I.
  2. 2II - Formule de Moivre généraliséeÉtablit, par division euclidienne de polynômes, l'équation vérifiée par R(λ), son inversibilité et la validité de la formule de Moivre pour les entiers négatifs.
  3. 3III - Quelques identités remarquablesDémontre que la suite Δ_k, construite à partir de déterminants de suites de Lucas consécutives, est géométrique, et en déduit des relations sur les suites de Fibonacci et Lucas classiques.
  4. 4IV - Une touche de probabilitésUtilise les identités précédentes pour montrer qu'une suite construite à partir de suites de Lucas définit une loi de probabilité.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF
ÉCOLES DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
CONCOURS D'ADMISSION 2015
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TÉLÉCOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC.
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Suites de Lucas

Résultats admis

Dans tout ce qui suit, C = {λ ∈ R, λ^2 + λ − 1 ≠ 0} et l'on suppose que λ appartient à C. Pour simplifier la rédaction, le candidat pourra utiliser la notation
λ~ = λ^2 + λ − 1.
Les suites de Fibonacci ( F_n, n ∈ Z ) et de Lucas ( L_n, n ∈ Z ) généralisées sont définies respectivement par
F_0(λ), = 0, F_1(λ) = 1,; F_(n + 1)(λ), = (1 + 2λ)F_n(λ) + (1 − λ − λ^2)F_(n − 1)(λ), pour tout n ≥ 1,; L_0(λ), = 2, L_1(λ) = 1 + 2λ,; L_(n + 1)(λ), = (1 + 2λ)L_n(λ) + (1 − λ − λ^2)L_(n − 1)(λ), pour tout n ≥ 1.
Pour tout entier naturel n ≥ 1,
F_(− n)(λ) = (− F_n(λ))/((λ^2 + λ − 1)^n) et; L_(− n)(λ) = (L_n(λ))/((λ^2 + λ − 1)^n)
Elles vérifient les propriétés admises suivantes pour tout entier n :
F_(n + 1)(λ) + (1 − λ − λ^2)F_(n − 1)(λ) = L_n(λ); L_(n + 1)(λ) + (1 − λ − λ^2)L_(n − 1)(λ) = 5F_n(λ)
a) I représente la matrice identité dans R^2,
b) 𝔐_2(R) est l'ensemble des matrices carrées 2 × 2 à coefficients réels,
c) J ∈ 𝔐_2(R) représente une matrice non multiple de I et vérifiant J^2 = 5/4I,
d) On note R(λ) la matrice définie par R(λ) = J + (λ + 1/2) I.
Comme d'habitude, R(λ)^n représente la puissance n-ième de la matrice R(λ). A tout moment, le candidat peut utiliser la formule admise suivante, dite «formule de Moivre », valable pour tout entier naturel n :
R(λ)^n = F_n(λ)J + 1/2L_n(λ)I
L'objectif de ce problème est d'utiliser les propriétés des matrices R(λ) pour en déduire des propriétés des suites de Fibonacci et Lucas.

I Préliminaires

  1. Calculer F_2(λ), L_2(λ).
  2. Exhiber une infinité de matrices J qui satisfassent c ).
  3. Montrer que les matrices I et J sont linéairement indépendantes sur 𝔐_2(R).
Dans tout ce qui suit, J désigne une matrice quelconque vérifiant J^2 = 5/4I.

II Formule de Moivre généralisée

  1. Trouver deux polynômes Q et T de R[X] tels que
(X + λ + 1/2)^2 = (X^2 − 5/4)Q(X) + T(X).
  1. En déduire que R(λ) vérifie l'équation suivante :
R(λ)^2 = (1 + 2λ)R(λ) + (1 − λ − λ^2)I
  1. Montrer que R(λ) est inversible et montrer que
R(λ)^(− 1) = − 1/((λ^2 + λ − 1))J + 1/2(1 + 2λ)/((λ^2 + λ − 1))I.
  1. En utilisant la formule de Moivre, établir que pour n ≥ 1,
2F_(n + 1)(λ) = L_n(λ)F_1(λ) + L_1(λ)F_n(λ); 2L_(n + 1)(λ) = 5F_n(λ)F_1(λ) + L_n(λ)L_1(λ)
  1. Montrer que la formule de Moivre reste valable pour tout entier négatif.

III Quelques identités remarquables

  1. Montrer l'identité suivante :
R(λ)^2 + (1 − λ − λ^2)I = 2JR(λ)
  1. Soit W(λ) = (λ^2 + λ − 1)R(λ)^(− 2). Montrer que
I − W(λ) = 2JR(λ)^(− 1) et (I − W(λ))^(− 1) = 2/5JR(λ)
  1. Montrer alors que pour tout entier n ≥ 0,
∑_(k = 0)^n(λ^2 + λ − 1)^k R(λ)^(n − 2k) = F_(n + 1)(λ)I
  1. En déduire, pour n ≥ 0, les valeurs de
∑_(k = 0)^n(λ^2 + λ − 1)^k F_(n − 2k)(λ) et ∑_(k = 0)^n(λ^2 + λ − 1)^k L_(n − 2k)(λ)
Pour k ≥ 1, on introduit
Δ_k(λ) = det(L_(k − 1)(λ), L_k(λ); L_k(λ), L_(k + 1)(λ))
On définit le polynôme P de R[X] par
P(X) = (1 − λ − λ^2)X^2 + (1 + 2λ)X − 1
  1. Montrer que (Δ_k(λ), k ≥ 1) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Indication : on pourra utiliser la linéarité du déterminant par rapport à ses colonnes.
14. En déduire, pour k ≥ 1, la valeur de
L_k(λ)^2 P((L_(k − 1)(λ))/(L_k(λ)))
On pose, pour tout n ∈ Z,
F_n = F_n(0) et L_n = L_n(0)
On a aisément les propriétés admises suivantes :
F_0 = 0, F_1 = 1 et F_(n + 1) = F_n + F_(n − 1); L_0 = 2, L_1 = 1 et L_(n + 1) = L_n + L_(n − 1); F_(n + 1) + F_(n − 1) = L_n, L_(n + 1) + L_(n − 1) = 5F_n
  1. Montrer que, pour tout k ≥ 1,
R((L_(k − 1))/(L_k)) = 2/(L_k)JR(0)^k
  1. Déduire des questions précédentes la propriété suivante : pour tout n ∈ Z, pour tout k ≥ 1,
F_(2n)((L_(k − 1))/(L_k)) = (5^n)/(L_k^(2n))F_(2nk); L_(2n)((L_(k − 1))/(L_k)) = (5^n)/(L_k^(2n))L_(2nk)
Une démarche similaire permet de démontrer les identités suivantes que l'on admettra.
F_(2n + 1)((L_(k − 1))/(L_k)) = (5^n)/(L_k^(2n + 1))L_(k(2n + 1)); L_(2n + 1)((L_(k − 1))/(L_k)) = (5^n)/(L_k^(2n + 1))F_(k(2n + 1))

IV Une touche de probabilités

Soit i un entier impair et n ≥ 0, on pose
p_k = (L_i L_(2i(n − k)))/(2L_(i(2n + 1))) pour k ∈ {0, 1, 2, …, 2n}
  1. Montrer que la suite (p_k, k ∈ {0, 1, 2, …, 2n}) définit une probabilité.
Indication : on pourra chercher à exprimer L_(i(2n + 1)) en utilisant les questions 12, 13 et les identités (14).

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 PC des Mines 2015 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 PC des Mines 2015 ?

Il porte sur les suites de Fibonacci et de Lucas généralisées, étudiées à l'aide des puissances d'une matrice 2x2 et d'une formule de Moivre matricielle.

Quelles parties sont indépendantes dans le sujet de mathématiques 2 PC des Mines 2015 ?

Les parties s'enchaînent : la partie I pose les bases, les parties II et III démontrent et exploitent la formule de Moivre, et la partie IV utilise ces résultats pour les probabilités.

Ce sujet de mathématiques 2 PC des Mines 2015 porte-t-il sur les probabilités ?

Oui, la dernière partie construit une loi de probabilité discrète à partir des suites de Lucas étudiées dans les parties précédentes.

Le sujet de mathématiques 2 PC des Mines 2015 autorise-t-il l'ordinateur ou la calculatrice ?

Non, l'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit pour cette épreuve.

Pas de description pour le moment