Mines Physique 1 PC 2015Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Mécanique du point : systèmes ouverts, fusée
Thermodynamique des systèmes ouverts en écoulement
Électromagnétisme dans les plasmas, propagation d'ondes
Mécanique du point : mouvement dans un champ magnétique
Mécanique du point : satellites et énergie mécanique

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BanqueMines Année2015 FilièrePC MatièrePhysique

Annales Mines PC Physique Mines PC 2015 PC Physique Physique 2015

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Aspects de la propulsion spatiale : fusée chimique, moteur plasma micro-ondes et moteur ionique, maintien d'un satellite en orbite basse

Le problème étudie la propulsion des engins spatiaux, de la fusée chimique classique au moteur ionique. Il aborde successivement la dynamique du système fusée plus gaz éjectés, le rendement énergétique de la propulsion, les limites de la propulsion chimique par un bilan thermodynamique dans la tuyère, le principe d'un moteur plasma micro-ondes utilisant le Xénon, puis la poussée du moteur ionique et son application au maintien d'un satellite en orbite basse.

1I. Généralités : aspect cinétique et énergétiqueÉtablissement de l'équation du mouvement de la fusée, relation de Tsiolkovski et rendement propulsif du moteur.
2II. Limites de la propulsion chimiquePremier principe de la thermodynamique appliqué à l'écoulement dans la tuyère pour obtenir la vitesse maximale d'éjection des gaz.
3III. Le moteur plasma micro-ondesIonisation du Xénon, propagation d'une onde électromagnétique dans le plasma, pulsation cyclotron, puis calcul de la poussée du moteur.
4IV. Application au maintien d'un satellite en orbite basseEffet du freinage atmosphérique sur l'énergie mécanique du satellite et capacité du moteur ionique à compenser cette perte.

Difficulté moyenne. Le rapport décrit un sujet de difficulté variable, mêlant des questions simples proches du cours et d'autres plus élaborées, de facture classique et non déstabilisant pour la majorité des candidats.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Système mal défini pour la quantité de mouvement · Réaction de synthèse de l'eau non identifiée · Forces électromagnétiques mal maîtrisées

Le sujet mêlait questions de cours, modélisation et discussions d'ordres de grandeur. Le barème valorisait autant les résultats calculatoires que leur discussion argumentée. Une majorité de candidats n'a pas su traiter l'épreuve dans cet esprit, mais le jury félicite les copies qui ont explicité leur démarche et commenté leurs résultats avec pertinence.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Système mal défini pour la quantité de mouvementQ1
De nombreux candidats évaluent mal la quantité de mouvement à t+dt car ils ne définissent pas soigneusement le système étudié, en plus d'erreurs de signe.
2
Réaction de synthèse de l'eau non identifiéeQ14
Peu d'étudiants ont reconnu que la réaction en jeu était la synthèse de l'eau, ce qui a faussé le calcul de la masse molaire et l'application numérique.
3
Forces électromagnétiques mal maîtriséesQ15
Les forces électromagnétiques sont bien souvent peu ou mal connues des candidats.
4
Divergence du champ électrique non exploitéeQ17
La nullité de la densité volumique de charge est rarement établie correctement, les candidats cherchant à réutiliser l'équation de conservation de la charge sans remarquer que la divergence du champ électrique est nulle.
5
Résultats non discutés avec esprit critiqueQ28
Certains candidats obtiennent une énergie potentielle de pesanteur pour un satellite ou affirment que l'énergie mécanique est constante tout en évoquant des frottements, sans esprit critique sur leurs résultats.

Ce qui a été bien réussi

Le jury félicite un certain nombre d'excellentes copies qui ont su expliciter avec soin leur démarche et commenter leurs résultats avec pertinence.

Conseils du jury

Toujours soumettre un résultat littéral à une analyse dimensionnelle avant de passer à l'application numérique.
Ne pas négliger les applications numériques, qui pèsent lourd dans le barème et permettent la discussion des résultats.
Donner les résultats chiffrés avec un nombre de chiffres significatifs cohérent avec les données de l'énoncé.
Comparer systématiquement une valeur numérique à une autre grandeur du problème plutôt que de la qualifier vaguement de petite ou grande.
Ne pas chercher à retrouver à tout prix un résultat donné par l'énoncé au prix d'un raisonnement malhonnête ; mieux vaut discuter l'écart obtenu.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2015
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC

(Durée de l'épreuve: 3 heures)L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I - PC.
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre.
Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

ASPECTS DE LA PROPULSION SPATIALE

Pour les applications numériques on utilisera 3 chiffres significatifs. Les vecteurs sont surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires

uˆ_x

ou d'une flèche dans le cas général

v⃗

. A l'exception de

i

tel que

i^2 = - 1

, les grandeurs complexes sont soulignées :

z_- \in ℂ

Données valables dans tout le problème

Masse de l'électron, $m_e = 9, 11 \cdot 10^(- 31) kg$ ;
Charge élémentaire, $e = 1, 60 \cdot 10^(- 19)C$ ;
Constante de Newton de la gravitation universelle, $G = 6, 67 \cdot 10^(- 11) m^3 \cdot kg^(- 1) \cdot s^2$ ;
Permitivité diélectrique du vide, $ε_0 = 8, 85 \cdot 10^(- 12) F \cdot m^(- 1)$ ;
Constante d'Avogadro, $N_A = 6, 02 \cdot 10^(23) mol^(- 1)$ ;
Rayon de la Terre, $R_t = 6, 37 \cdot 10^3 km$ ;
Masse de la Terre, $M_t = 5, 97 \cdot 10^(24) kg$ ;
Intensité du champ de pesanteur à la surface de la Terre, $g = 9, 81 m \cdot s^(- 2)$ ;
Constante de Boltzmann, $k = 1, 38 \cdot 10^(- 23) J \cdot K^(- 1)$ ;
Constante de Planck, $h = 6, 62 \cdot 10^(- 34) J \cdot s$ ;
Constante des gaz parfaits, $R = 8, 31 J \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1)$ ;

Ce problème s'intéresse à la propulsion d'engins spatiaux et plus particulièrement au moteur ionique, dans lequel le carburant n'est pas brûlé mais ionisé. Les ions alors libérés passent par deux grilles fortement chargées électriquement et subissent ainsi une accélération. La force d'accélération des ions cause une force de réaction de sens opposé : c'est la force de propulsion du moteur à ions. Les différentes parties du problème sont très largement indépendantes.

Figure 1 - Fusée

I. -Généralités

I.A. - Aspect cinétique - Lois de vitesse

A l'instant

t = 0

, une fusée de masse totale

m_0

décolle verticalement dans le référentiel terrestre (voir figure 1). On définit le débit de masse

D_m > 0

des gaz brûlés, par

D_m = - (dm)/(dt), m(t)

désignant la masse de la fusée à un instant

t > 0

quelconque. On note

u⃗ = - uuˆ_z

avec

u > 0

, la vitesse d'éjection des gaz par rapport à la fusée. On note

v⃗ = v(t)uˆ_z

la vitesse de la fusée dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On suppose que

D_m

u

restent constants et que le champ de pesanteur

g

reste uniforme lors du lancement.

1 - En prenant pour système la fusée à l'instant $t$ , exprimer sa quantité de mouvement $p⃗_f$ aux instants $t$ et $t + dt$ . Déterminer de même la quantité de mouvement $p⃗_g$ à l'instant $t + dt$ du gaz éjecté pendant $dt$ .
2 - On rappelle que la dérivée temporelle d'un vecteur $w⃗(t)$ est définie par la relation $(dw⃗)/(dt) = lim_(dt \to 0)(w⃗(t + dt) - w⃗(t))/(dt)$ . En utilisant le principe fondamental de la dynamique pour l'ensemble {fusée + gaz}, établir l'équation différentielle

m(dv)/(dt) = D_m u - mg

3 - Identifier, dans le second membre de l'équation (1), l'intensité $F$ de la force de poussée. A quelle condition la fusée décolle-t-elle?
4 - On nomme impulsion spécifique $I_s$ d'un ergol (gaz propulseur) le temps pendant lequel une masse $m$ de cet ergol peut fournir une poussée équivalente au poids ressenti par $m$ à la surface de la terre. Exprimer $I_s$ en fonction de $u$ et $g$ .
$◻5$ - Déterminer l'expression de la vitesse $v(t)$ de la fusée à l'instant $t$ , en fonction de $t$ , $m(t), g, u$ et de la masse de la fusée à l'instant $t = 0$ notée $m_0$ .
$◻6$ - On suppose le vaisseau extrait de l'attraction terrestre (mission interplanétaire), sa masse totale est alors $m_i$ et sa vitesse $v⃗ = v_i uˆ_z$ . On allume à nouveau un moteur pendant une durée $Δt$ conduisant à une variation de masse $Δm = m_i - m_f$ . Adapter l'expression précédente pour obtenir la relation de Tsiolkovski donnant l'accroissement de vitesse correspondant, noté $ΔV = v_f - v_i$ , en fonction de $u, m_i$ et $m_f$ .
L'exemple qui suit a pour objet de montrer l'intérêt des fusées à plusieurs étages. Soit une fusée de masse totale $m_t = 134$ tonnes constituée de deux étages. La masse totale du premier étage est $m_(t_1) = 110$ tonnes dont 100 tonnes d'ergols, et celle du second est $m_(t_2) = 24, 0$ tonnes dont 20,0 tonnes d'ergols.
7 - En considérant que la vitesse d'éjection des gaz $u = 4, 00 km \cdot s^(- 1)$ est la même lors de la poussée de chaque étage, calculer les accroissements de vitesse apportés successivement par chacun des étages de la fusée. Comparer avec le cas d'une fusée ne possédant qu'un seul étage et la même répartition de masses, c'est-à-dire 14,0 tonnes de structure et 120 tonnes d'ergols. Les calculs seront effectués dans l'hypothèse d'une absence de pesanteur.

Une autre manière de minimiser les dépenses en carburant est d'augmenter la vitesse d'éjection, limitée à quelques kilomètres par seconde dans le cas d'une propulsion chimique comme nous le verrons dans la suite de ce problème.

◻8

- Pour une charge utile de masse

m_u = 500 kg

, calculer les masses

m_(c_1)

m_(c_2)

de carburant (la masse initiale du vaisseau est

m_0 = m_u + m_c

) à prévoir pour obtenir une variation de vitesse

ΔV = 5, 00 km \cdot s^(- 1)

, dans le cas d'une propulsion chimique (

u = 4, 00 km \cdot s^(- 1)

) et d'une propulsion ionique (

u = 20, 0 km \cdot s^(- 1)

I.B. - Aspect énergétique - Rendement propulsif du moteur fusée

9 - Le vaisseau se déplace à une vitesse de norme $v$ dans le référentiel d'étude galiléen. Exprimer l'énergie cinétique dans ce référentiel de la masse $dm$ du gaz éjectée pendant $dt$ , en déduire la puissance cinétique $P_(jet)$ contenue dans le jet de gaz issu du moteur. Exprimer de même la puissance reçue par le vaisseau de la part de la force de poussée. On exprimera ces deux termes en fonction de $D_m, u$ et $v$ .
$◻10$ - On définit le rendement propulsif comme le rapport de la puissance cinétique gagnée par le vaisseau sur la puissance totale dépensée. En admettant une conversion parfaite de l'énergie stockée dans le vaisseau en énergie cinétique du jet et du vaisseau, montrer que le rendement propulsif peut se mettre sous la forme

η(x) = (2x)/(1 + x^2)

où l'on précisera l'expression de

x

en fonction des données du problème.
11- Tracer la courbe

η(x)

, pour quelle valeur de

x

le rendement propulsif est-il maximal? Pour quelles valeurs de

x

le rendement est il nul? Montrer que l'on pouvait prévoir ces résultats sans calcul.

En fait, bien que des moteurs à vitesse d'éjection variable soient étudiés et quelquefois exploités, le rendement énergétique de la propulsion est souvent considéré comme secondaire : l'énergie fournie par une pile nucléaire ou des panneaux solaires est presque illimitée, ce qui n'est pas le cas des réserves de gaz propulsif.

FIN DE LA PARTIE I

II. - Limites de la propulsion chimique

Considérons l'écoulement d'une tranche de fluide, comprise entre les sections

S_1

S_2

à l'instant

t

et entre

S_1^'

S_2^'

à l'instant

t + dt

. Durant le laps de temps

dt

cette tranche échange un certain travail

W

et une certaine quantité de chaleur

Q

avec l'extérieur. On note par ailleurs

W^'

le travail échangé sans mettre en jeu les forces de pression.
12- Appliquer le premier principe de la thermodynamique à cette tranche, établir, en régime permanent, la relation entre

W^', Q

et les variations d'énergie massique de la tranche considérée.

On se place dans la tuyère d'un moteur fusée, lorsque l'écoulement est permanent et s'effectue à altitude constante sans travail autre que celui des forces de pression. Le gaz éjecté est considéré comme parfait, de masse molaire

M

, d'indice adiabatique

γ = 1, 4

. Il provient d'une chambre de combustion, où ses température et pression sont notées

T_c

P_c

. Le gaz est initialement au repos,

v_c = 0

. Par ailleurs, on considère que le transit du gaz dans la tuyère est suffisamment rapide et les échanges suffisamment lents pour que l'on puisse négliger les transferts thermiques.
13- Exprimer la vitesse maximale atteinte par le gaz en sortie de la tuyère en fonction de

γ, R, T_c

M

. On négligera la température de sortie devant

T_c

14 - Les ergols utilisés pour la propulsion sont du dihydrogène et du dioxygène, leur réaction stœechiométrique permet d'obtenir une température de combustion de l'ordre de $T_c = 3, 0 \cdot 10^3 K$ . Calculer la vitesse maximale d'éjection des gaz issus de la tuyère et l'impulsion spécifique correspondante.

FIN DE LA PARTIE II

III. - Le moteur plasma micro-ondes

III.A. - Principe de fonctionnement

Pour diminuer la consommation de gaz propulsif, il est nécessaire d'accélérer fortement le gaz éjecté par apport extérieur d'énergie. Cette accélération est rendue possible par l'ionisation de ce gaz (on obtient alors un plasma), les particules chargées pouvant être accélérées par un champ électrique.
Le gaz propulsif utilisé est par exemple du Xénon, il est ionisé par trois types de mécanismes potentiels, on suppose que tous les ions produits sont

Xe^+

. Ces trois mécanismes sont représentés sur la figure 2. La première source potentielle d'ion est la collision entre un atome et un électron produit par un canon à électrons (défini au début de la partie III.B). Il s'agit de la voie

a

. Outre l'ion produit cette voie produit deux électrons lents. L'application d'une onde électromagnétique micro-onde permet d'accélérer ces électrons afin qu'ils puissent également ioniser d'autres atomes de Xénon. Il s'agit de la voie

b

. Enfin, dans certaines conditions, les photons micro-onde sont également susceptibles de photo-ioniser les atomes de Xénon. Il s'agit de la voie

c

.
Une forte densité du plasma est assurée par la présence d'aimants permanents. Les ions

Xe^+

sont finalement accélérés par une différence de potentiel dans une région appelée grille accélératrice. Des canons à électrons assurent une neutralisation du gaz émis. L'ensemble est schématisé sur la figure 2.

Figure 2 - Représentation schématique du moteur ionique : les symboles © sont des atomes de Xénon,

\oplus

des ions

Xe^+

\cdot

des électrons.

On considère le plasma comme un milieu électriquement neutre, de permittivité

ε_0

et de perméabilité magnétique

μ_0

, qui renferme

n

ions par unité de volume et autant d'électrons de masse

m_e

et de charge

- e

. Au sein du plasma, les ions possèdent une vitesse caractéristique bien plus faible que celle des électrons, ils peuvent ainsi être considérés comme immobiles. Les électrons sont dits libres pour les distinguer de ceux qui restent attachés aux ions. Le
plasma étudié ici est non-collisionnel, c'est-à-dire que l'on néglige l'effet des chocs entre ions et électrons ou entre particules de même espèce. On suppose également qu'il est non relativiste ce qui signifie que la vitesse caractéristique des électrons libres est faible devant celle de la lumière

‖v⃗_e‖≪c

. Afin d'assurer une ionisation la plus complète possible, on souhaite finalement que ce plasma soit le siège de la propagation d'un rayonnement micro-onde. L'onde électromagnétique correspondante est associée à un champ électrique dont la représentation complexe s'écrit

E⃗_- = E_0 e^(i(ωt - kx))uˆ_y

◻15

- On suppose la propagation effective. Faire l'inventaire de toutes les forces appliquées à un électron libre et préciser lesquelles sont négligeables.

16 - Déterminer, en régime de propagation établi, la représentation complexe $v⃗_-_e$ de la vitesse des électrons libres et en déduire la conductivité complexe $σ_-$ du plasma définie par $j⃗_- = σ_-E⃗_-$ .
17 - Vérifier que dans ce régime de propagation la densité volumique de charge $ρ$ est bien nulle puis en revenant à la notation réelle établir l'équation de propagation du champ $E⃗(x, t)$ . On rappelle que $rot^(\to-)(rotE⃗) = grad(divE⃗) - ΔE⃗$ , en déduire l'équation de dispersion dans laquelle apparait la pulsation de plasma

ω_p = \sqrt((ne^2)/(ε_0 m_e))

18 - A quelle condition l'onde appliquée au plasma peut-elle s'y propager? Sinon que lui arrive-t-il?

Un intense champ magnétique statique axial

B⃗_0 = B_0 uˆ_z

, supposé uniforme, est appliqué à l'intérieur du plasma par des aimants permanents.

19 - Ecrire l'équation vectorielle qui décrirait le mouvement de l'électron s'il n'était soumis qu'à ce champ magnétique. Montrer que pour une vitesse initiale de l'électron contenue dans le plan perpendiculaire au champ magnétique, son mouvement serait circulaire uniforme dans ce plan, et que sa période de rotation serait indépendante de sa vitesse. Exprimer la pulsation $ω_c$ correspondante, appelée pulsation cyclotron, et calculer sa valeur numérique pour un champ magnétique appliqué d'intensité $B_0 = 0, 20 T$ .
$20$ - Montrer qualitativement que l'application du champ micro-onde ( $E⃗, B⃗_0$ ) avec $ω \approx ω_c$ permet d'accélérer les électrons en augmentant la norme de leur vitesse.
21 - D'après ce qui précède, exprimer et calculer numériquement la densité particulaire maximale que l'on peut espérer pour un champ magnétique appliqué d'intensité $B_0 = 0, 20 T$ .

Un champ magnétique permanent intense permet donc d'obtenir une densité importante de plasma et ainsi d'augmenter le courant ionique engendré par les grilles accélératrices. Il aide par ailleurs à maintenir l'ionisation : les lignes de champ magnétique << piègent >> les électrons en les forçant à décrire des cercles plutôt que de diffuser librement vers les parois ; la probabilité qu'un électron chaud ionise une molécule est accrue en raison de l'augmentation de la longueur de son trajet.

22 - L'énergie de première ionisation du Xénon est de l'ordre de $12, 0eV$ . La configuration précédente permet-elle d'envisager une réelle contribution de la photo-dissociation (voie $c$ ). On justifiera sa réponse par un calcul.

III.B. - Poussée

On néglige la masse

m_e

des électrons devant celle des ions notée

μ

23 - Exprimer la relation entre l'intensité du courant électrique $I$ dû aux ions traversant le moteur, le débit $D_m$ de masse de gaz issu du vaisseau et des caractéristiques des ions.
24 - On suppose que les ions ont une vitesse caractéristique nulle à l'entrée de la grille accélératrice. On note $V_a > 0$ la tension présente entre les deux électrodes de la grille accélératrice. Déterminer la vitesse caractéristique de sortie des ions du moteur. En déduire l'intensité $F$ de la force de poussée du moteur (identifiée à la question 3) en fonction de $I, μ, V_a$ et $e$ .
$◻25$ - La densité volumique de courant dans le moteur est liée à la tension d'accélération par la loi de Child-Langmuir que nous admettrons

j = (4ε_0)/9\sqrt((2e)/μ)(V_a^(3/2))/(d^2)

la distance

d

étant celle séparant les deux électrodes de la grille accélératrice . Exprimer

F

en fonction de

V_a, d, ε_0

et du diamètre

D

du jet de gaz.
On considère un moteur ionique utilisant du Xénon, de masse molaire

M = 131 g \cdot mol^(- 1)

et possédant les caractéristiques suivantes :

tension accélératrice $V_a = 700 V$ ;
distance $d$ entre les deux électrodes de la grille accélératrice : $d = 2, 50 mm$ ;
diamètre de chaque trou dans les électrodes de grille délimitant les jets élémentaires $D = 2, 00 mm$ ;
nombre de trous en vis-à-vis dans chaque électrode : $N = 2, 20 \cdot 10^3$
26 - Calculer les valeurs numériques de la poussée $F$ de ce moteur, de la vitesse de sortie des ions et de la masse de Xénon consommée sur une période de 90 jours de fonctionnement. Évaluer la puissance cinétique totale transmise au jet de gaz propulsé.
$27$ - Justifier sans calcul la nécessité de neutraliser le jet d'ions issu du moteur en lui fournissant des électrons.

IV. - Application du moteur ionique au maintien d'un satellite en orbite basse

On considère un satellite terrestre de masse

m_s = 250 kg

en orbite circulaire basse à l'altitude

h = 300 km

. Cette altitude est telle que les hautes couches de l'atmosphère le freinent.

◻28

- Exprimer l'énergie cinétique

E_c

du satellite en fonction de son énergie mécanique

E_m

; en déduire que, paradoxalement, le freinage entraine une augmentation de la vitesse.

◻29

- Lorsque le moteur est éteint, les forces de frottement font perdre au satellite une altitude

Δh = 20 m

à chaque révolution. Exprimer la variation d'énergie mécanique correspondante, effectuer l'application numérique.

$30$ - Le moteur ionique étudié précédemment permet-il de maintenir l'altitude de ce satellite?

FIN DE LA PARTIE IV

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de physique 1 PC Mines 2015 ?

Le sujet porte sur la propulsion spatiale : mécanique du point pour la fusée, thermodynamique des systèmes ouverts pour la tuyère, électromagnétisme des plasmas pour le moteur ionique, et mécanique des satellites.

Le sujet Mines physique 1 PC 2015 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme un sujet de difficulté variable, de facture classique, mêlant questions simples et questions plus élaborées de modélisation, non déstabilisant pour la majorité des candidats.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Le jury relève des systèmes mal définis, des erreurs de signe, une méconnaissance des forces électromagnétiques et un manque d'esprit critique dans la discussion des résultats numériques.

Faut-il faire les applications numériques sur ce sujet de propulsion spatiale ?

Oui, le rapport insiste sur le fait que les applications numériques pèsent lourd dans le barème et que les copies qui les négligent ont des difficultés à obtenir une note correcte.

Pas de description pour le moment

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