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Polytechnique Physique A PC 2013Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Électromagnétisme dans les conducteurs (effet de peau, force de Laplace)
  • Ondes électromagnétiques et pression de radiation
  • Mécanique du point : forces centrales et trajectoires képlériennes
  • Théorème du moment cinétique
  • Mécanique dans un référentiel non galiléen et points de Lagrange
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Annales X-ENS PC PhysiqueX-ENS PC 2013PC PhysiquePhysique 2013

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Présentation du sujet

Difficile
La dynamique d'une voile solaire : pression de radiation, trajectoires képlériennes et points de Lagrange
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Le sujet traite de la dynamique d'une voile solaire en trois parties. La première établit l'expression de la pression de radiation du flux électromagnétique solaire sur une plaque conductrice, avec une application numérique liée à la mission IKAROS. La deuxième étudie les trajectoires d'une voile solaire soumise à l'attraction gravitationnelle solaire et à la pression de radiation. La troisième prend en compte l'attraction gravitationnelle terrestre pour déterminer l'effet du vent solaire sur un satellite situé aux points de Lagrange.

  1. 1Partie I : Pression de rayonnementÉtablissement de l'expression de la pression de radiation sur un conducteur parfait, par une approche électromagnétique puis par une approche corpusculaire, avec application numérique à la mission IKAROS.
  2. 2Partie II : Satellite en orbite héliocentriqueÉtude des trajectoires d'un satellite muni d'une voile solaire, soumis conjointement à l'attraction gravitationnelle solaire et à la pression de radiation.
  3. 3Partie III : StatitePrise en compte de l'attraction gravitationnelle terrestre pour déterminer les points de Lagrange et l'effet du vent solaire sur un satellite qui y est placé.

Difficile. La moyenne n'est que de 7,76/20 (écart-type 3,91) sur 1315 copies ; le rapport note un taux de réussite anormalement bas sur les questions numériques élémentaires, et moins d'un candidat sur dix a établi le développement limité demandé en III.1.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,76 / 20 · écart-type 3,91 · 1 315 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
7,76/ 20
Écart-type
3,91
Copies
1 315
moyenne 7,7605101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Applications numériques et ordres de grandeur mal maîtrisés · Développement limité au premier ordre presque toujours manqué · Confusion entre énergie potentielle et énergie mécanique
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Le sujet ne nécessitait pas de développements calculatoires poussés mais faisait plutôt appel au sens physique, en particulier dans les deux premières parties. Le jury rappelle qu'un raisonnement rigoureux et clairement exprimé est requis, pas seulement un résultat final correct. Les calculs numériques et les développements limités ont posé des problèmes à une majorité des candidats, avec un taux de réussite anormalement bas.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Applications numériques et ordres de grandeur mal maîtrisés

    Alors que le sujet demandait surtout des ordres de grandeur, les calculs numériques ont posé des problèmes à une majorité des candidats, y compris sur des questions élémentaires.

    « Les calculs numériques, dont on attendait surtout des ordr es de grandeur, ont posé des problèmes à une majorité des candidats. »
  2. 2
    Développement limité au premier ordre presque toujours manquéIII.1

    Le développement limité à l'ordre 1 des forces de gravité solaire et centrifuge, demandé en III.1, n'a été établi correctement que par une très faible minorité de candidats, beaucoup traitant à tort la force centrifuge comme une force centrale.

    « moins d’un candidat sur dix est parvenu à établir le développement au premier ord re demandé en III.1. »
  3. 3
    Confusion entre énergie potentielle et énergie mécaniqueII.5

    En discutant du type de trajectoire selon le rapport σ/σc, de très nombreux candidats confondent énergie potentielle et énergie mécanique et oublient le terme d'énergie cinétique.

    « De très nombreux candidats ont confondu « énergie potentielle » et « énergie mécanique »
  4. 4
    Force centrifuge traitée à tort comme une force centraleIII.1

    Pour écrire la résultante des forces de gravité solaire et centrifuge, la plupart des candidats considèrent à tort la force centrifuge comme une force centrale, ce qui fausse le développement limité demandé.

    « la plupart des candidats considérant la force centrifuge comme une force centrale. »
  5. 5
    Erreur de facteur de proportionnalité par lecture rapide de l'énoncéI.9

    Beaucoup de candidats confondent champ incident et champ total ou se trompent de facteur de proportionnalité, souvent à cause d'une lecture trop rapide de l'énoncé, erreur qui se répercute sur les questions suivantes.

    « Cette erreur , souvent due à une lecture trop rapide de l’énoncé »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions I.1, I.2 et I.5, de cours ou de raisonnement dimensionnel, ont été bien traitées dans l'ensemble.
  • La question II.1 a été bien traitée dans l'ensemble, avec un raisonnement correct.
  • La question III.5, faisant appel au théorème de Thalès, n'a généralement pas posé de problème aux candidats qui l'ont abordée.

Conseils du jury

  • Ne pas se contenter d'un résultat final correct : accompagner le raisonnement d'une justification rigoureuse et, si besoin, d'un schéma explicatif.
  • Soigner les ordres de grandeur dans les applications numériques, même simples, car leur taux de réussite est jugé anormalement bas.
  • Lire l'énoncé avec attention pour éviter les erreurs de facteur ou de confusion entre grandeurs proches (champ incident et champ total, énergie potentielle et énergie mécanique).
  • Profiter des questions de reprise (comme I.12 relié à I.9) pour vérifier et corriger un résultat antérieur plutôt que de poursuivre sur une erreur.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2013
filière PC

COMPOSITION DE PHYSIQUE - A - (XE)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On se contentera, pour les applications numériques, d'un seul chiffre significatif.

Le rayonnement solaire pour la navigation spatiale

La lumière exerce une pression sur les surfaces qu'elle éclaire. La partie I traite en détail du phénomène. En adjoignant une vaste voile réfléchissante à un satellite, ce mécanisme permet d'utiliser la pression exercée par la lumière du Soleil pour la navigation spatiale. La partie II étudie l'effet de la pression de rayonnement sur un satellite en orbite autour du Soleil. La partie III traite d'un mouvement particulier d'un vaisseau spatial qui accompagne la Terre autour du Soleil, rendu possible par l'usage d'une voile.

Données numériques

Vitesse de la lumière dans le vide :, c, = 3 × 10^8 m ⋅ s^(− 1); Distance Terre-Soleil :, D, = 1, 5 × 10^8 km

I. Pression de rayonnement

Une onde électromagnétique plane, progressive et harmonique se propage dans le vide puis se réfléchit sur un conducteur ohmique immobile, de surface plane, sous incidence normale.
I. 1 Rappeler dans le cas général les formes locales de l'équation de conservation de la charge électrique et de la loi d'Ohm. En déduire que la densité de charge électrique décroît au cours du temps en tout point à l'intérieur d'un conducteur ohmique, avec un temps caractéristique dont on donnera l'expression.
I. 2 Écrire les équations de Maxwell dans le conducteur, en supposant la densité de charge nulle.
I. 3 Décrire qualitativement le phénomène de la réflexion d'une onde électromagnétique sur un conducteur, en détaillant les mécanismes physiques mis en jeu.
I. 4 Rappeler le critère de validité du modèle limite du conducteur parfait, et caractériser le phénomène de réflexion dans cette limite.
I. 5 Quel terme des équations de Maxwell est négligeable dans le modèle limite du conducteur parfait? On se placera dorénavant dans ce cadre.
I. 6 Rappeler l'expression de la force volumique de Laplace en un point du conducteur. On exprimera le résultat en fonction du champ B⃗ et de ses dérivées.
I. 7 On nomme pression de rayonnement, ou pression de radiation, la pression exercée par la force de Laplace sur le conducteur. Montrer qu'elle vaut
P = 1/(2μ_0)‖B⃗‖^2
où B⃗ est le champ magnétique à la surface du conducteur.
I. 8 À l'extérieur du conducteur, l'onde électromagnétique est la superposition d'une onde incidente et d'une onde réfléchie. Quelle est la relation entre le champ magnétique total B⃗ à la surface du conducteur et le champ magnétique B⃗_i de l'onde incidente au même point?
I. 9 Établir la relation entre la pression de rayonnement et la densité d'énergie u de l'onde incidente.
I. 10 Établir la relation entre la pression de rayonnement et le module du vecteur de Poynting de l'onde incidente.
I. 11 Application numérique : le flux d'énergie reçu du Soleil sous incidence normale au niveau de l'orbite de la Terre, ou constante solaire, vaut Φ_0 ≃ 1350 W ⋅ m^(− 2). Exprimer la pression de rayonnement P_0 correspondante en fonction de Φ_0, et calculer sa valeur. Commenter l'ordre de grandeur obtenu.
I. 12 Comment la pression de rayonnement varie-t-elle avec la distance au Soleil?
I. 13 On se propose maintenant de retrouver le résultat de la question I. 9 par une approche microscopique. On admet les résultats suivants : une onde électromagnétique plane, progressive et harmonique dans le vide peut aussi être décrite par des corpuscules appelés photons, qui se déplacent à la vitesse de la lumière c dans le sens de propagation de l'onde. La réflexion de l'onde sur le conducteur s'interprète alors comme le rebond des photons sur la surface du conducteur.
La quantité de mouvement d'un photon est ℏk⃗, où k⃗ est le vecteur d'onde et ℏ une constante universelle. L'énergie d'un photon est ℏω, où ω est la pulsation de l'onde. On note n la densité de photons par unité de volume dans l'onde incidente, supposée uniforme.
Rappeler la relation entre ω et |k⃗|. En utilisant la définition cinétique de la pression, retrouver le résultat de la question I.9.
I. 14 On a supposé jusqu'à présent que la réflexion se faisait sous incidence normale. En utilisant la méthode de la question I.13, établir la relation entre la pression et la densité d'énergie pour un angle d'incidence α quelconque.
I. 15 Analyse de données : le vaisseau spatial IKAROS est un prototype de voile solaire fabriqué par l'agence spatiale japonaise (JAXA), qui a été lancé le 20 mai 2010 pour vérifier les performances d'une propulsion basée sur une voile solaire. La force totale exercée par les photons sur la voile, d'une superficie de 173 m^2 et d'une épaisseur de 7, 5μ m, a été mesurée à 1, 12 × 10^(− 3) N. La force exercée sur la sonde spatiale, d'une masse totale de 315 kg , a permis d'augmenter la vitesse d'une dizaine de mètres par seconde au bout d'un mois (source : Wikipedia).
Montrer que ces résultats expérimentaux sont compatibles entre eux d'une part, et avec les résultats théoriques obtenus plus haut, d'autre part.

II. Satellite en orbite héliocentrique

II. 1 Soit un satellite en orbite circulaire autour du Soleil, à une distance r de celui-ci. Exprimer sa vitesse en fonction de r, de la masse du Soleil M_⊙ et de la constante gravitationnelle G.
Dans la suite de cette partie, on étudie l'effet de la pression de rayonnement sur un satellite de masse m possédant une voile solaire de surface S, éclairée tout d'abord sous incidence normale. On supposera que les résultats de la partie I restent valables si la voile est en mouvement.
II. 2 On note D la distance Terre-Soleil et P_0 la pression de rayonnement au niveau de l'orbite de la Terre, déterminée à la question I.11. Exprimer la force exercée sur cette voile par la pression de rayonnement en fonction de S, P_0, D et r.
II. 3 Déterminer pour quelle valeur σ_c de la masse surfacique σ = m/S l'attraction solaire compense exactement la pression de rayonnement sous incidence normale. Exprimer σ_c en fonction de P_0, D et de la vitesse v_0 de la Terre autour du Soleil.
II. 4 Application numérique : on donne v_0 = 30 km/s. Calculer numériquement σ_c. Pour quelle épaisseur d'une voile faite dans un matériau ordinaire cette valeur est-elle atteinte?
II. 5 Montrer que la résultante de la force gravitationnelle et de la force de rayonnement dérive d'une énergie potentielle dont on donnera l'expression en fonction de G, m, M_⊙, σ, σ_c et r. Quelles sont les trajectoires possibles dans les cas σ > σ_c, σ = σ_c et σ < σ_c ?
II. 6 Le satellite est initialement sous l'effet de l'attraction gravitationnelle seule et en orbite circulaire de rayon r autour du Soleil. Il déploie sa voile de surface S à un instant t_0. Déterminer son énergie mécanique pour t > t_0 en fonction de G, m, M_⊙, σ, σ_c et r. En déduire la nature de la nouvelle trajectoire en fonction du rapport σ/σ_c. Représenter sur un même schéma l'orbite initiale et la nouvelle trajectoire correspondant aux différents cas.
II. 7 On suppose maintenant que la voile reçoit le flux solaire sous l'angle d'incidence α, et on note n⃗ le vecteur unitaire normal à la voile, dirigé dans le sens de la force de pression. En utilisant le résultat de la question I.14, exprimer la force F⃗_R exercée par le rayonnement sur la voile sous la forme
F⃗_R = βF_G n⃗
où F_G est le module de la force de gravitation exercée par le Soleil sur le satellite, et β est un coefficient positif dont on déterminera l'expression en fonction de σ, σ_c et α.
II. 8 Le satellite est initialement sur une orbite circulaire, sa voile étant déployée sous incidence normale ( α = 0 ). Une manœuvre du satellite permet de changer la valeur de α en orientant la voile. On suppose que α est constant, et que la normale n⃗ reste dans le plan de l'orbite initiale. La trajectoire reste donc également dans ce plan.
On suppose dans toute la suite de cette partie que la perturbation apportée par la pression du rayonnement est faible, de telle sorte que la vitesse radiale v_r est très petite devant la vitesse orthoradiale v_θ, celle-ci étant donnée à tout instant par la relation obtenue à la question II.1. Écrire le théorème du moment cinétique. En déduire l'équation d'évolution de r. Montrer que v_r/v_θ est une constante qu'on exprimera en fonction de α et β.
II. 9 Dessiner l'allure de la trajectoire.
II.10 On cherche à faire passer le satellite sur une orbite plus élevée au moyen de la voile solaire. Pour quelle orientation de la voile le changement d'orbite est-il le plus rapide? On se contentera d'une expression littérale de α, sans chercher à évaluer sa valeur numérique.

III. Statite

Le terme "statite" est un mot-valise formé à partir de "statique" et "satellite", et désigne un vaisseau spatial gardant une distance constante avec la Terre et le Soleil. On suppose dans toute cette partie que la Terre est en mouvement circulaire uniforme autour du Soleil à la vitesse angulaire ω. On se place dans le référentiel tournant à la vitesse angulaire ω autour du Soleil, dans lequel la Terre et le Soleil sont tous deux immobiles, et on choisit dans ce référentiel un repère orthonormé ( O, e⃗_x, e⃗_y, e⃗_z ), où O est le centre du Soleil, e⃗_x est dirigé du Soleil vers la Terre, et e⃗_z est perpendiculaire au plan de révolution de la Terre. La masse de la Terre étant très petite devant celle du Soleil, on considérera que le centre de gravité du système Terre-Soleil est en O.
On considère dans toute cette partie un satellite de masse m placé au voisinage de la Terre en un point A de coordonnées ( x, y, z ). On pose x = D + x^′, où D est la distance Terre-Soleil, et on suppose x^′, y et z très petits devant D.
III. 1 Écrire la résultante de la force centrifuge et de la force de gravitation solaire qui s'exercent sur le satellite. Exprimer ω en fonction de G, M_⊙ et D, et développer la résultante à l'ordre 1 en x^′/D, y/D, et z/D.
III. 2 Le satellite est soumis à l'action combinée de la force centrifuge et des forces de gravitation terrestre et solaire. On note M_⊕ la masse de la Terre. Montrer qu'il existe deux positions d'équilibre sur l'axe Ox, situées de part et d'autre de la Terre à une distance d qu'on exprimera en fonction de D, M_⊙ et M_⊕. On note L_1 et L_2 les points correspondants à ces positions d'équilibre, dits points de Lagrange. Par convention, L_2 est le plus éloigné du Soleil. L'approximation faite à la question III. 1 est-elle valable aux points L_1 et L_2 ?
III. 3 Application numérique : on donne M_⊕/M_⊙ = 3 × 10^(− 6). Calculer d.
III. 4 On adjoint une voile solaire au satellite. Dans cette question, on suppose pour simplifier que les rayons du Soleil sont parallèles à e⃗_x et on ne prend pas en compte l'ombre de la Terre. On
cherche à ajuster la surface et l'orientation de la voile solaire de telle sorte que le satellite soit en équilibre. Déterminer les régions de l'espace où l'équilibre est en principe possible, moyennant un tel ajustement. Les représenter schématiquement sur un plan contenant l'axe Ox. On indiquera clairement sur le schéma la direction du rayonnement solaire et les positions de la Terre et des points L_1 et L_2.
III. 5 Déterminer la valeur maximale de x^′ pour laquelle un satellite situé sur l'axe Ox est complètement dans l'ombre de la Terre. On exprimera cette valeur maximale, notée δ, en fonction de D, du rayon terrestre R_⊕ et du rayon du Soleil R_⊙.
III. 6 Application numérique : on donne R_⊕/R_⊙ = 9 × 10^(− 3). Calculer δ.
III. 7 Comment le phénomène d'ombre modifie-t-il le schéma obtenu à la question III. 4 ?

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique A PC de l'X 2013 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de physique A PC de l'X 2013 ?

Le sujet, sur la dynamique d'une voile solaire, mobilise l'électromagnétisme dans les conducteurs, la pression de radiation, la mécanique du point soumis à une force centrale et le théorème du moment cinétique, puis la mécanique dans un référentiel non galiléen pour les points de Lagrange.

Quelle est la moyenne du sujet de physique A PC de l'X 2013 ?

La moyenne des candidats est de 7,76/20, avec un écart-type de 3,91, sur 1315 copies.

Ce sujet de physique A PC 2013 de l'X est-il difficile ?

Oui, le rapport relève un taux de réussite anormalement bas sur les questions numériques élémentaires et signale que moins d'un candidat sur dix a réussi le développement limité demandé en III.1.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de physique A PC 2013 ?

Le jury relève des applications numériques mal maîtrisées, une confusion fréquente entre énergie potentielle et énergie mécanique, la force centrifuge traitée à tort comme une force centrale, et des erreurs de facteur dues à une lecture trop rapide de l'énoncé.

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