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Polytechnique Physique A PC 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Oscillateur harmonique et oscillateur forcé amorti
  • Statique des fluides, poussée d'Archimède
  • Équation d'Euler et onde acoustique
  • Propagation d'ondes, équation de d'Alembert
  • Facteur de qualité, résonance
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Annales X-ENS PC PhysiqueX-ENS PC 2012PC PhysiquePhysique 2012

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Présentation du sujet

Difficile
Oscillations d'une bulle d'air dans l'eau : oscillations libres, forçage, compressibilité et amortissement
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Le problème étudie les oscillations d'une bulle d'air plongée dans un grand volume d'eau, à travers quatre parties de difficultés comparables et largement liées. La première partie traite des oscillations libres avec une eau incompressible, la deuxième introduit un forçage extérieur, la troisième réintroduit la compressibilité de l'eau pour faire apparaître un amortissement radiatif, et la dernière partie combine forçage et compressibilité pour confronter le modèle à des données expérimentales.

  1. 1I. Oscillations libres d'une bulle d'airÉtablissement de l'équation d'un oscillateur harmonique pour le rayon de la bulle, dans le cas d'une eau incompressible.
  2. 2II. Oscillations forcéesIntroduction d'un forçage extérieur de pression et étude de l'oscillateur forcé en régime sinusoïdal, toujours en eau incompressible.
  3. 3III. Modélisation de l'amortissementPrise en compte de la compressibilité de l'eau pour montrer que le rayonnement d'ondes sonores amortit les oscillations de la bulle.
  4. 4IV. Étude expérimentale des oscillations forcéesCombinaison du forçage et de l'amortissement pour aboutir à un système expérimental réaliste, avec analyse de données expérimentales.

Difficile. Le rapport indique une moyenne de 8,18/20 avec un écart-type de 3,99, et précise qu'une poignée seulement de candidats est parvenue à achever le problème, la dernière partie étant qualifiée de plus difficile et très calculatoire.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,18 / 20 · écart-type 3,99 · 1 342 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,18/ 20
Écart-type
3,99
Copies
1 342
moyenne 8,1805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Confusion entre amplitude complexe et module de l'amplitude · Raisonnement non-local mal compris à la question I.2 · Bon sens physique absent sur la poussée d'Archimède
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Le sujet comportait quatre parties de difficultés assez comparables et largement liées, chacune contenant des questions faciles ou de cours. La majorité des candidats a abordé les quatre parties, mais le jury déplore un manque de bon sens physique récurrent et des raisonnements insuffisamment justifiés, y compris sur des questions simples. Seule une poignée de candidats est parvenue à achever le problème.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre amplitude complexe et module de l'amplitudeII.4, II.6

    En régime sinusoïdal, l'amplitude complexe n'est pas la même chose que le module de l'amplitude, une confusion fréquente notamment aux questions II.4 et II.6.

    « n'est pas la même chose que le module de l'amplitude (un nombr e positif) »
  2. 2
    Raisonnement non-local mal compris à la question I.2I.2

    La quasi-totalité des candidats a supposé à tort une pression homogène de part et d'autre de l'interface, une hypothèse incohérente avec l'équilibre quasistatique et la suite du problème.

    « Quasiment tous les candidats ont élaboré des raison nements parfois sophistiqués mais faux, pour aboutir au résultat donné »
  3. 3
    Bon sens physique absent sur la poussée d'ArchimèdeII.8

    Moins de 4 candidats sur 10 ont su expliquer que c'est la poussée d'Archimède qui oblige à immobiliser la bulle dans l'eau.

    « moins de 4 candidats sur 10 soient capables d'expliquer que ce qui o blige a immobiliser une bulle d'air dans l'eau »
  4. 4
    Étude de fonction élémentaire non maîtriséeII.7

    Sur environ 1000 copies en mesure de répondre à la question II.7, une trentaine seulement a fourni une réponse correcte pour tracer le module de l'amplitude.

    « environ une trentaine seulement a f ourni une réponse correcte »
  5. 5
    Laplacien sphérique confondu avec une dérivée simpleIII.1

    À la question III.1, de nombreux candidats ont pris la dérivée seconde par rapport à r pour le laplacien sphérique, ce qui est faux.

  6. 6
    Mécanisme physique de l'amortissement mal identifiéIII.9

    À la question III.9, seuls quelques candidats ont clairement expliqué que la bulle cède de l'énergie à l'eau sous forme d'ondes acoustiques ; beaucoup ont invoqué des mécanismes négligeables comme la viscosité.

Ce qui a été bien réussi

  • La question I.1 a été bien traitée par la grande majorité des candidats.
  • La question I.6 a été bien traitée par la plupart des candidats, qui ont obtenu l'équation de l'oscillateur harmonique.
  • La question II.1, question de cours, a été globalement bien traitée.
  • La question II.2 a été globalement bien traitée.
  • La question III.5, sans difficulté particulière, a été traitée par quasiment tous les candidats.
  • La question III.6 a généralement été bien posée.

Conseils du jury

  • Bien lire l'énoncé pour distinguer ce qui est demandé : « déterminer » exige une démonstration, « écrire » un simple rappel du cours.
  • Expliciter toutes les étapes du raisonnement, même succinctement, sans compter sur les correcteurs pour combler les sous-entendus.
  • Éviter les développements trop détaillés sur des points déjà traités dans le cours, qui font perdre du temps et introduisent des erreurs.
  • Mobiliser le bon sens physique avant les calculs, notamment sur les questions qualitatives.
  • Vérifier l'homogénéité et le signe des résultats, en particulier lors des applications numériques et du tracé de fonctions.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2012
filière PC

COMPOSITION DE PHYSIQUE - A - (XE)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On se contentera, pour les applications numériques, d'un seul chiffre significatif.

Oscillations d'une bulle

Ce problème étudie les propriétés acoustiques d'une bulle d'air au sein d'un volume d'eau. Il aborde successivement les oscillations libres de la bulle, puis les oscillations forcées. On modélise ensuite l'amortissement de ces oscillations. Les résultats théoriques sont finalement comparés avec des données expérimentales.
On considère une bulle d'air plongée dans un grand volume d'eau. Dans tout le problème, on néglige l'effet de la gravité et on considère l'air comme un gaz parfait.

Données numériques

Coefficient adiabatique de l'air :, γ = C_P/C_V = 1, 4; Pression atmosphérique :, P_0 = 1, 0 × 10^5 Pa; Masse volumique de l'eau :, ρ_0 = 1, 0 × 10^3 kg ⋅ m^(− 3); Vitesse du son dans l'eau :, c_s = 1, 5 × 10^3 m ⋅ s^(− 1)

I. Oscillations libres d'une bulle d'air

A l'équilibre, la bulle est sphérique, de rayon R_0, et la pression est partout égale à P_0. On étudie les oscillations radiales de la bulle autour de sa forme d'équilibre. On suppose que ces oscillations conservent la symétrie sphérique. On note R(t) = R_0 + r_1(t) le rayon de la bulle à l'instant t, avec |r_1(t)|≪R_0. Le champ de pression est P(r, t) = P_0 + p_1(r, t) (avec |p_1(r, t)|≪P_0), r désignant la distance au centre de la bulle.
Dans cette partie, on assimile l'eau à un fluide incompressible et sans viscosité.
I. 1 On suppose dans tout le problème que la pression de l'air à l'intérieur de la bulle reste homogène à tout instant, et que ses transformations sont adiabatiques et réversibles. On note
p_a(t) la valeur de p_1(r, t) pour r ≤ R(t). Exprimer la relation entre la pression et le volume de la bulle, puis la relation entre p_a(t) et r_1(t). Linéariser cette relation et en déduire la relation de proportionnalité entre p_a(t) et r_1(t).
I. 2 La pression extérieure est égale à P_0. Lors d'une variation dV_a du volume de la bulle d'air, montrer que le travail des forces de pression s'exerçant sur le volume d'eau entourant la bulle est p_a dV_a.
I. 3 En déduire que les forces de pression s'exerçant sur l'eau dérivent d'une énergie potentielle qu'on écrira sous la forme
U(r_1) = 1/2Kr_1^2
où K est une constante qu'on exprimera en fonction de γ, P_0 et R_0.
I. 4 On va maintenant calculer l'énergie cinétique de l'eau. Le champ de vitesse de l'eau est supposé radial à tout instant, et la vitesse radiale est notée v_1(r, t). Montrer que r^2 v_1(r, t) est indépendant de r. En déduire l'expression de v_1(r, t) en fonction de r, R_0 et r˙_1 = dr_1/dt.
I. 5 Calculer l'énergie cinétique de l'eau et mettre le résultat sous la forme 1/2Mr˙_1^2, où M est une constante qu'on exprimera en fonction de ρ_0 et R_0.
I. 6 Écrire l'équation d'évolution de r_1(t). Montrer que le rayon de la bulle oscille à la pulsation ω_0 = c/R_0, où c est une constante dont on précisera l'expression en fonction de γ, P_0 et ρ_0.
I. 7 Récrire la relation de proportionnalité entre p_a(t) et r_1(t), déterminée à la question I.1, en fonction de ρ_0, ω_0 et R_0.
I. 8 Application numérique : calculer c, et comparer cette valeur à la vitesse du son dans l'air. Justifier l'approximation, faite à la question I.1, que la pression est homogène à l'intérieur de la bulle. Quel est l'ordre de grandeur de la fréquence de l'oscillation pour une bulle millimétrique? Comment se compare-t-il aux fréquences sonores perçues par l'ouïe?

II. Oscillations forcées

On se propose maintenant de retrouver l'expression de la pulsation d'oscillation par une méthode différente, grâce à l'équation dynamique locale. Ceci permettra de traiter les oscillations forcées de la bulle sous l'effet d'une surpression p_e(t) appliquée à grande distance de la bulle. On traite dans toute cette partie la surpression locale p_1(r, t) et la vitesse radiale v_1(r, t) dans l'eau comme des quantités infinitésimales. p_e(t) est la limite de p_1(r, t) lorsque r tend vers l'infini. Comme dans la partie I, on assimile l'eau à un fluide incompressible et sans viscosité.
II. 1 Dans ces conditions, montrer qu'on peut écrire en tout point de l'eau
ρ_0(∂v_1)/(∂t) = − (∂p_1)/(∂r)
II. 2 En utilisant le résultat de la question I.4, en déduire l'expression de p_1(r, t) en fonction de ρ_0, R_0, r¨_1(t), p_e(t) et r.
II. 3 Quelle est, en utilisant le résultat précédent, l'expression de p_1(r, t) à la surface de la bulle ? En comparant avec le résultat de la question I.7, en déduire l'équation d'évolution de r_1(t), et vérifier qu'on retrouve le résultat de la question I. 6 lorsque p_e(t) = 0.
II. 4 On impose une surpression extérieure sinusoïdale p_e(t) = p_(e0)cos(ωt), avec p_(e0) > 0, au moyen d'un haut-parleur. En régime sinusoïdal forcé, exprimer l'amplitude et la phase des oscillations de la bulle en fonction de p_(e0), ρ_0, R_0, ω_0 et ω.
II. 5 Pour étudier les oscillations de la bulle, on place un petit microphone dans l'eau, à une distance d du centre de la bulle, qui enregistre la surpression locale p_m(t). Donner l'expression de p_m(t).
II. 6 En régime sinusoïdal forcé, en déduire le module de l'amplitude de p_m(t), noté p_(m0), en fonction de p_(e0), R_0, d, ω_0 et ω.
II. 7 On suppose, dans cette question seulement, que d = 2R_0. Tracer soigneusement p_(m0)/p_(e0) en fonction de ω/ω_0.
II. 8 En pratique, on retient la bulle au moyen d'un petit filet de tulle. Quel effet physique, négligé dans ce problème, oblige à utiliser cet artifice ?

III. Modélisation de l'amortissement

On prend dorénavant en compte la compressibilité de l'eau, négligée jusqu'ici. Cette partie étudie l'effet des vibrations des ondes sonores sur les oscillations libres de la bulle.
III. 1 On écrit la masse volumique de l'eau en un point quelconque, repéré par le vecteur position r⃗, sous la forme ρ(r⃗, t) = ρ_0 + ρ_1(r⃗, t), avec |ρ_1(r⃗, t)|≪ρ_0. On note v⃗_1(r⃗, t) la vitesse du fluide et p_1(r⃗, t) la surpression. On rappelle que p_1(r⃗, t) = c_s^2 ρ_1(r⃗, t), où c_s est la vitesse du son dans l'eau. Établir l'équation de d'Alembert pour la surpression p_1(r⃗, t) dans l'eau.
III. 2 Comme dans la partie I, on étudie les oscillations radiales de la bulle, qui conservent la symétrie sphérique. On donne l'expression du laplacien en coordonnées sphériques
Δp_1(r, t) = 1/r(∂^2)/(∂r^2)(rp_1(r, t))
Vérifier que la forme suivante est solution de l'équation de d'Alembert :
p_1(r, t) = 1/rφ(t − (r − R_0)/(c_s)) + 1/rψ(t + (r − R_0)/(c_s))
On admettra que c'est la solution générale.
III. 3 Justifier qu'on choisisse, pour ce problème, de poser ψ(t) = 0 pour tout t.
III. 4 Montrer que
ρ_0 r¨_1(t) = − ((∂p_1(r, t))/(∂r))_(r = R_0)
III. 5 Exprimer le membre de droite de l'équation (5) en fonction de φ(t), φ˙(t), R_0 et c_s.
III. 6 Exprimer φ(t) en fonction de la surpression p_a(t) à l'intérieur de la bulle et de R_0, puis en fonction de ρ_0, ω_0, R_0 et r_1(t) en appliquant le résultat de la question I.7.
III. 7 Déduire des trois questions précédentes que l'équation d'évolution de r_1(t) se met sous la forme
r¨_1 + (ω_0)/Qr˙_1 + ω_0^2 r_1 = 0
Donner l'expression de Q en fonction de c_s et de la quantité c introduite à la question I.6.
Application numérique : calculer Q.
III. 8 Montrer que dans la limite où l'eau est incompressible, l'équation (6) coïncide avec celle obtenue à la question I.6.
III. 9 Quelle est la cause physique du terme d'amortissement de l'équation (6) ?

IV. Étude expérimentale des oscillations forcées

Comme dans la partie II, on impose une surpression au moyen d'un haut-parleur. Pour tenir compte de la propagation des ondes sonores dans l'eau, introduite dans la partie III, on écrit maintenant cette surpression sous forme d'une onde plane p_e(r⃗, t) = p_(e0)cos(ωt − k⃗ ⋅ r⃗), avec p_(e0) > 0.
IV. 1 Déterminer la relation entre |k⃗| et ω.
IV. 2 En présence de la bulle de rayon R_0, dont le centre est choisi à l'origine, on écrit la surpression totale sous la forme
p_1(r⃗, t) = p_(e0)cos(ωt − k⃗ ⋅ r⃗) + 1/rφ(t − (r − R_0)/(c_s))
avec r = |r⃗|. Expliquer pourquoi p_1(r⃗, t) ainsi défini est solution de l'équation de d'Alembert.
IV. 3 On suppose que |k⃗|R_0≪1, de telle sorte qu'on puisse faire l'approximation cos(ωt − k⃗ ⋅ r⃗) ≃ cos(ωt) au voisinage de la bulle. Vérifier que les résultats des questions III. 4 et III. 5 sont inchangés. Comment le haut-parleur modifie-t-il la relation obtenue à la question III.6 ? En utilisant le résultat de la question I.7, montrer qu'on obtient un système de deux équations différentielles pour r_1(t) et φ(t). Dans ces équations, on exprimera c_s en fonction de Q, ω_0 et R_0 en utilisant le résultat de la question III.7.
IV. 4 Résoudre ce système dans le régime sinusoïdal forcé, et déterminer les amplitudes complexes de r_1(t) et de φ(t) en fonction de p_(e0), ρ_0, R_0, ω_0, Q et ω.
IV. 5 Comme dans la partie II, on mesure la surpression dans l'eau grâce à un petit microphone placé dans l'eau à une distance d du centre de la bulle, avec |k⃗|d≪1. Exprimer l'amplitude
complexe de la surpression enregistrée par le microphone. Vérifier qu'on retrouve le résultat de la question II. 6 dans la limite où l'eau est incompressible.
Figure 1 : Module de l'amplitude (à gauche) et cosinus de la phase (à droite) de la surpression mesurée par le microphone en fonction de la fréquence du haut-parleur. Deux cas sont représentés : avec ou sans bulle d'air [d'après V. Leroy, M. Devaud, J.-C. Bacri, Am. J. Phys. 70, 1012 (2002)].
IV. 6 Estimer à partir des courbes expérimentales de la figure 1 les valeurs de ω_0, Q et d/R_0.
IV. 7 En déduire une estimation de la taille de la bulle utilisée pour cette expérience. Est-il légitime de considérer qu'à la surface de la bulle, la surpression imposée par le haut-parleur est uniforme?
IV. 8 Comparer la valeur expérimentale de Q avec la valeur prédite par la modélisation de la question III.7.Commenter.
IV. 9 On a supposé dans tout ce problème que les oscillations de la bulle étaient adiabatiques et réversibles. Nommer un effet physique mettant en défaut cette hypothèse. Quelle est la conséquence de cet effet sur la dynamique des oscillations?
IV. 10 Le système décrit dans ce problème est un analogue acoustique de la diffusion d'une onde plane électromagnétique par un dipôle dans le cadre du modèle de l'électron élastiquement lié. Expliciter les points communs et les différences.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de physique A de l'X-ESPCI PC 2012 ?
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Sur quoi porte le sujet de physique A de l'X-ESPCI PC 2012 ?

Le sujet porte sur les oscillations d'une bulle d'air dans l'eau, avec une eau d'abord incompressible puis compressible, un forçage extérieur et une confrontation à des données expérimentales.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de physique A X-ESPCI PC 2012 ?

Le jury relève un manque de bon sens physique, une confusion entre amplitude complexe et module de l'amplitude, et une difficulté générale à tracer ou étudier des fonctions élémentaires.

Le sujet de physique A de l'X-ESPCI PC 2012 est-il difficile ?

Oui, le rapport indique une moyenne de 8,18/20 et précise qu'une poignée seulement de candidats est parvenue à achever le problème, la dernière partie étant particulièrement calculatoire.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de physique A de l'X-ESPCI PC 2012 ?

La moyenne est de 8,18/20 pour 1342 copies, avec un écart-type de 3,99.

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