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Polytechnique Physique A PC 2014Sujet, corrigé et rapport du jury

5,0(1 vote)
  • Force sur un dipôle dans un champ électromagnétique
  • Diffraction et principe de Huyghens-Fresnel
  • Nombre de Reynolds et frottement fluide (formule de Stokes)
  • Mouvement brownien et fluctuations thermiques
  • Élasticité entropique d'un polymère
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Annales X-ENS PC PhysiqueX-ENS PC 2014PC PhysiquePhysique 2014

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Pièges optiques et application à la biophysique : mesure de l'élasticité d'une molécule d'ADN
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Le problème étudie le principe des pièges optiques et leur utilisation en biophysique. Il analyse d'abord les forces exercées par un champ électromagnétique sur une particule diélectrique, puis la mise en œuvre d'un piège par un faisceau laser focalisé par un objectif de microscope. Il étudie ensuite la calibration du piège par les fluctuations thermiques, avant d'appliquer ces résultats à la mesure de l'élasticité d'une molécule d'ADN.

  1. 11 - Force exercée par le champ électromagnétique sur une particule diélectriqueÉtudie les forces s'exerçant sur une particule diélectrique dans un champ électromagnétique non uniforme et caractérise la position d'équilibre mécanique et sa stabilité.
  2. 22 - Faisceau laser focalisé par un objectif de microscopeÉtudie la mise en œuvre du piège optique par un faisceau laser focalisé.
  3. 33 - Calibration du piège par les fluctuations thermiquesÉtudie la calibration du piège grâce aux fluctuations thermiques et à un forçage périodique.
  4. 44 - Application en biophysiqueApplique les résultats précédents à la mesure de l'élasticité d'une molécule d'ADN.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le sujet n'était pas de longueur excessive et pouvait être traité confortablement en 4h, mais que chaque partie comportait une ou deux questions plus difficiles qui ont été généralement peu traitées.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,31 / 20 · écart-type 3,87 · 1 365 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,31/ 20
Écart-type
3,87
Copies
1 365
moyenne 9,3105101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Résultats obtenus de façon malhonnête · Confusion entre inertie et poids · Longueur caractéristique incorrecte pour le nombre de Reynolds
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Le sujet balayait une grande partie du programme de physique de PC avec des exigences assez limitées sur chaque thème, ce qui a permis à un nombre important de candidats d'aborder largement toutes les parties. Le jury déplore cependant des lacunes récurrentes de rigueur : résultats donnés sans justification, erreurs d'homogénéité, confusions d'unités, et un français souvent approximatif qui nuit à la clarté des explications.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Résultats obtenus de façon malhonnête

    Certains candidats feignent de mener un calcul à bien pour aboutir au résultat donné dans l'énoncé, ce que le jury sanctionne sévèrement.

    « Ce comportement, clairement malhonnête, est i nadmissible »
  2. 2
    Confusion entre inertie et poidsIII.21

    La notion d'inertie de la bille est souvent ignorée ou confondue avec le poids, alors qu'elle est négligeable en raison du faible nombre de Reynolds.

    « La notion même d’inerti e est trop souvent ignorée ou confondue avec le poids »
  3. 3
    Longueur caractéristique incorrecte pour le nombre de ReynoldsIII.19

    L'application numérique du nombre de Reynolds est souvent fausse car la longueur caractéristique choisie est incorrecte.

    « L’application numéri que est par ailleurs souvent fausse car la longueur caractéristique considérée est inco rrecte »
  4. 4
    Confusion entre sinus et tangenteII.15

    Près d'un tiers des copies confondent le sinus et la tangente dans cette question de cours.

    « près d’un tiers des copies confondent le sinus et la tangente »
  5. 5
    Sens physique insuffisant sur le flux transmisII.17

    Très peu de candidats donnent une réponse correcte à cette question qui réclamait un peu de sens physique.

    « Très peu de réponses correctes à cette question réclamant un peu de sens physique »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions de cours ont été globalement bien traitées.
  • Les correcteurs ont eu la satisfaction de lire quelques copies répondant de façon concise, claire et correcte à la quasi-totalité des questions.
  • La question d'analyse dimensionnelle de la partie I a été bien traitée par la grande majorité des candidats.

Conseils du jury

  • Toujours vérifier l'homogénéité dimensionnelle de ses résultats.
  • Justifier les hypothèses et invoquer explicitement les principes appliqués, plutôt que de donner un résultat sans explication.
  • Ne jamais feindre un calcul pour aboutir à un résultat donné : le jury sanctionne sévèrement ce comportement.
  • Soigner la présentation numérique : unités, nombre de décimales pertinent, chiffres lisibles.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

COMPOSITION DE PHYSIQUE - A - (XE)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. On se contentera, pour les applications numériques, d'un seul chiffre significatif.

Pièges optiques

Un faisceau laser fortement focalisé est capable de piéger un objet diélectrique de taille micronique ou inférieure. Dans ce problème, on étudie ce dispositif appelé piège ou pince optique, on détermine l'ordre de grandeur des forces que l'on peut exercer et on considère l'application des pièges optiques à un problème de biophysique : l'élasticité d'une molécule d'ADN.

Données :

viscosité dynamique de l'eau : η = 1mPa.s
masse volumique de l'eau : ρ_e = 10^3 kg ⋅ m^(− 3)
masse volumique du polystyrène : ρ_p = 1, 1 × 10^3 kg.m^(− 3)

1 Force exercée par le champ électromagnétique sur une particule diélectrique

1.1 Force de piégeage

Lorsque la particule diélectrique est de taille assez petite par rapport à la longueur d'onde de la lumière, on peut estimer la force de piégeage exercée par le faisceau lumineux en assimilant simplement la particule à un dipôle électrique. Nous commençons donc par calculer la force exercée par un champ électrique E⃗ sur un dipôle.
Le dipôle est constitué de deux charges + q et − q placées respectivement aux points A et B , repérés par les vecteurs 1/2a⃗ et − 1/2a⃗ distants de a. On note E⃗(x⃗) le champ électrique en x⃗; on suppose qu'il varie peu sur la distance a.
  1. Exprimer le moment dipolaire électrique p⃗.
  2. Exprimer la force totale ainsi que le moment (par rapport au point médian O du dipôle ) exercés sur le dipôle par le champ.
  3. Décrire qualitativement l'effet du moment sur le dipôle.
On suppose maintenant que le dipôle et le champ sont colinéaires, par exemple tous deux orientés suivant l'axe x : p⃗ = pu_x^(→−) et E⃗ = Eu_x^(→−).
4. Quelle est l'expression de la force dans ce cas?
5. Décrire son effet qualitativement sur le dipôle.
On considère une particule diélectrique de rayon a placée dans un champ électrique E⃗. Elle acquiert un moment dipolaire p⃗ = ε_0 a^3 αE⃗ où ε_0 est la permittivité diélectrique du vide, et où la polarisabilité α dépend du contraste de constante diélectrique entre la particule et le milieu environnant. Dans la suite du problème, on considérera que le moment dipolaire de la particule et le champ électrique sont toujours colinéaires.
6. Quelle est la dimension de α ?
7. Montrer que la force exercée sur la particule s'exprime alors comme :
F⃗ = (ε_0 a^3 α)/2∇(E⃗^2)
On utilisera la relation ∇(E⃗ ⋅ E⃗) = 2E⃗ ⋅ ∇(E⃗) + 2E⃗ ∧ (∇ ∧ E⃗) et on supposera que le champ électromagnétique est indépendant du temps.
On admettra que, pour une onde électromagnétique oscillant dans le temps à la pulsation ω : E⃗ = E_0^(→−)cos(ωt), où E_0^(→−) dépend des coordonnées d'espace, l'expression de la force est:
F⃗ = (ε_0 a^3 α)/4∇(E⃗_0^2)

1.2 Stabilité du piège et force de diffusion

La particule est placée dans un faisceau lumineux focalisé par une lentille. On étudie dans cette partie l'équilibre du piège optique dans la direction de propagation z du faisceau lumineux. On suppose que E_0 a un unique maximum en z = z_m.
8. On suppose dans un premier temps que la seule force exercée sur la particule est la force de piégeage F⃗. Montrer que la position z = z_m est une position d'équilibre. Discuter sa stabilité.
La particule, assimilée à un dipôle oscillant, rayonne de l'énergie sous forme d'onde électromagnétique. Il en résulte une force supplémentaire F_D exercée sur la particule, dite de diffusion, qui est dirigée dans le sens de propagation de l'onde incidente et qui s'exprime comme :
F_D = (ε_0 α^2 a^6 ω^4)/(12πc^4)E_0^2
où c est la vitesse de la lumière.
9. Vérifier simplement l'homogénéité de l'expression de F_D. On pourra utiliser l'expression de la densité volumique d'énergie électromagnétique.
10. Quelle est maintenant la condition définissant la position d'équilibre du piège z_(eq) ?
11. Dans quel sens la force de diffusion déplace-t-elle l'équilibre?
12. Montrer que la condition de stabilité du piège s'écrit :
((∂^2 lnE_0)/(∂z^2))_(z = z_(eq)) < 0

2 Faisceau laser focalisé par un objectif de microscope

Pour constituer le piège, on utilise un faisceau laser élargi, réfléchi par un miroir, puis focalisé par un objectif de microscope (figure 1). Au foyer de l'objectif, l'intensité du champ électromagnétique est maximale. Dans cette partie on s'intéresse à la force de rappel du piège optique dans la direction x perpendiculaire à la direction de propagation du faisceau. On cherche à estimer l'étendue latérale w du faisceau dans le plan focal de l'objectif et le gradient de champ électromagnétique associé.
On considère que l'intensité du champ électromagnétique est uniforme à l'entrée de l'objectif de microscope.
La longueur d'onde du laser est λ = 1, 06μ m. L'objectif de microscope a un diamètre d'entrée D = 3, 8 mm et un nombre d'ouverture N_o = 0, 4. Le nombre d'ouverture est le rapport entre la distance focale de l'objectif f et le diamètre de sa pupille d'entrée D.
Pour estimer la répartition d'intensité dans le plan focal, on assimile l'objectif à un diaphragme de diamètre D et à une lentille mince convergente de distance focale f telle que D = f/N_o. Dans la mesure où nous nous intéressons uniquement à l'ordre de grandeur de w, nous remplaçons le diaphragme circulaire de diamètre D par une pupille fente de largeur D.
13. La lentille ayant été enlevée, montrer que l'amplitude du champ électromagnétique diffractée à l'infini par la pupille, dans une direction faisant un angle θ avec le faisceau incident, est proportionnelle à :
(sin[kDsin(θ)/2])/(kDsin(θ)/2).
Figure 1 - À gauche : schéma général du dispositif de piège optique. À droite, particule sphérique dans le faisceau focalisé.
  1. Déterminer la répartition d'intensité lumineuse après la traversée du diaphragme en fonction de θ.
  2. La lentille ayant été replacée, quelle est la position dans le plan focal du point où converge un faisceau parallèle (appartenant au plan y = 0 ) faisant un angle θ avec l'axe optique?
  3. Donner un ordre de grandeur littéral puis numérique du diamètre w du premier lobe de diffraction dans le plan focal.
  4. Donner un ordre de grandeur littéral du flux d'énergie électromagnétique, à l'intérieur du premier lobe du diffraction, dans le plan focal de l'objectif de microscope, en fonction de la puissance du laser P. On supposera que toute la puissance du laser est transmise à travers l'objectif.
  5. Lorsque la particule s'écarte de sa position d'équilibre d'une distance δx, elle est soumise à une force de rappel F_p = − k_p δx où k_p est la constante élastique du piège optique. Déterminer un ordre de grandeur, littéral puis numérique, de k_p pour une bille de polystyrène de 400 nm de diamètre. On fera l'hypothèse que le diamètre de la bille est nettement plus petit que la longueur d'onde de la lumière. La polarisabilité α du polystyrène est de l'ordre de l'unité.

3 Calibration du piège par les fluctuations thermiques

Afin de calibrer le piège optique, on observe les fluctuations de position latérale de la bille. Ces fluctuations sont une manifestation du mouvement aléatoire (mouvement Brownien) de la bille dû aux collisions avec les molécules du fluide environnant. Dans la présente expérience, les excursions latérales de la bille sont de l'ordre de 10 nm sur un temps qui est typiquement
de l'ordre du centième de seconde. La caractérisation du mouvement est faite de la manière suivante : on enregistre le mouvement de la bille en fonction du temps et on en fait ensuite une décomposition fréquentielle de ce signal temporel (analyse de Fourier). On porte l'amplitude des différents modes de Fourier en fonction de leur fréquence (figure 2).
Figure 2 - Distribution en fréquence temporelle de l'amplitude des fluctuations latérales d'une bille de polystyrène de diamètre 2a = 2μ m confinée dans un piège optique.
Pour interpréter ce résultat expérimental, on cherche la réponse de la bille à une force extérieure périodique en temps qu'on écrit sous la forme complexe f_e(t) = f_0 exp(iωt).
La bille étant placée dans un liquide, on cherche l'expression de la force de trainée exercée par le liquide sur la bille.
19. Rappeler l'expression du nombre de Reynolds et sa signification physique. Calculer l'ordre de grandeur du nombre de Reynolds associé au mouvement de la bille dans l'eau.
20. Justifier le fait que la force de traînée s'exprime sous la forme : F_T = − Cηav où η est la viscosité dynamique du liquide et v la vitesse de déplacement de la bille par rapport au liquide et C une constante numérique.
21. Justifier le fait que l'inertie propre de la bille est négligeable et montrer que le mouvement de la bille est décrit par l'équation :
f_e(t) = k_p x + γx˙
où x est l'écart latéral de la bille par rapport à sa position d'équilibre et k_p est la constante de
raideur du piège optique. On donnera l'expression de γ.
22. Montrer que l'amplitude de mouvement A de la bille soumise à la force oscillante f_e(t) est donnée par :
A = (A_0)/(√(1 + ω^2/ω_c^2))
où on précisera l'expression de la pulsation caractéristique ω_c.
23. Quel est le comportement asymptotique de A dans les limites ω → 0 et ω → ∞ ? Représenter ces comportements dans un diagramme logA - logω et comparer au spectre représenté sur la figure 2.
24. Déterminer graphiquement la fréquence ω_c sur la figure 2 et en déduire un ordre de grandeur de la constante de raideur k_p du piège optique ( C = 6π ). On notera qu'il s'agit d'un piège différent de celui décrit dans la partie 2 .
25. Citer un autre système physique qui présente une réponse en fréquence similaire.

4 Application en biophysique

Les pièges optiques sont utilisées pour mesurer les caractéristiques mécaniques de microsystèmes biologiques. On a en particulier mesuré l'élasticité de molécules d'ADN en attachant une extrémité de la molécule à un point fixe et l'autre extrémité à une petite bille qui est maintenue dans un piège optique. On assimile ici les molécules d'ADN de longueur totale L ≈ 30μ m à une succession de N segments rigides et inextensibles de longueur ℓ.

4.1 Modèle de chaîne idéale

Dans le modèle dit de chaîne idéale, il n'y a pas d'interaction entre les segments qui sont libres de pivoter les uns par rapport aux autres. On peut alors assimiler la chaîne à une marche aléatoire de N pas de longueur ℓ. Dans ce modèle l'orientation de deux segments successifs est complétement décorrelé ce qui se traduit par : ⟨r_i→ ⋅ r_(i + 1)^(→−)⟩ = 0 où r_i→ est le vecteur représentant le segment n^∘i de la chaîne et ⟩ désigne la valeur moyenne sur tous les couples de segments (figure 3).
26. Dans cette hypothèse, quelle est la distance quadratique moyenne ⟨r^2⟩ entre les deux extrémités de la chaîne?
On admettra que l'énergie potentielle associée à une chaîne idéale dont les deux extrémités sont distantes de x est donnée par :
U(r) = U_0 + (3k_B Tx^2)/(2⟨r^2⟩)
où k_B est la constante de Boltzmann et T la température absolue.
Figure 3 - Schéma de chaîne idéale composée de N pas de longueur égale non corrélés les uns aux autres en orientation.
  1. Montrer que la force f nécessaire pour maintenir les deux extrémités de la chaîne à une distance x s'écrit :
f(x) = (3k_B Tx)/(ℓL)

4.2 Elasticité d'une molécule d'ADN

La figure 4 montre les résultats de mesure sur l'extension d'une molécule d'ADN par un piège optique. Le modèle de chaîne idéale décrit ci-dessus ne s'applique qu'à la première partie de la courbe force/extension dans le domaine où la force est inférieure à 0, 1pN. On prendra k_B T = 4 × 10^(− 21) J.
28. A partir de ces résultats expérimentaux, déterminer la longueur ℓ des segments que l'on peut considérer comme rigides.
29. En utilisant les pièges optiques décrits dans les parties 1 à 3 , quel serait le déplacement de la bille piégée en appliquant une force de 0, 1pN ?
30. Pensez-vous que les pièges décrits précédemment sont bien adaptés aux expériences d'étirement de l'ADN?
Figure 4 - Relation entre la force et l'extension relative x/L pour une molécule d'ADN. Figure tirée de G. Bao, "Mechanics of biomolecules", Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 20, 2237 (2002).

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Physique A X-ESPCI PC 2014 sur les pièges optiques ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Physique A X-ESPCI PC 2014 sur les pièges optiques ?

Le sujet porte sur la force exercée par un champ électromagnétique sur un dipôle, la diffraction par un objectif de microscope, le nombre de Reynolds et le mouvement brownien, appliqués à la mesure de l'élasticité d'une molécule d'ADN.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet X Physique A PC 2014 ?

Une confusion entre inertie et poids, une longueur caractéristique incorrecte pour le nombre de Reynolds, une confusion entre sinus et tangente, et des résultats donnés sans justification physique.

Le sujet Physique A X-ESPCI PC 2014 sur les pièges optiques est-il difficile ?

Le rapport indique qu'il n'était pas de longueur excessive et pouvait être traité en 4h, mais que chaque partie comportait une ou deux questions plus difficiles, peu traitées.

Quelle est la moyenne au sujet Physique A X-ESPCI PC 2014 ?

La moyenne est de 9,31 sur 20, avec un écart-type de 3,87, sur 1365 copies corrigées.

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