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CCINP Physique 1 PC 2014Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Statique des fluides et poussée d'Archimède
  • Modèle d'atmosphère isotherme
  • Flux d'un champ de vecteur et théorème de la divergence
  • Premier principe de la thermodynamique (énergie interne, enthalpie)
  • Équation de la chaleur
  • Diffusion thermique couplée à la convection
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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Un vol en ballon (hydrostatique, poussée d'Archimède) et problèmes de diffusion thermique
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Le sujet comprend deux parties indépendantes. La première, « Un vol en ballon », porte sur la statique des fluides et la poussée d'Archimède dans un modèle d'atmosphère isotherme, avec un peu de thermodynamique. La seconde, « Quelques problèmes de diffusion thermique », aborde trois situations de transferts thermiques dont la diffusion en présence de convection.

  1. 1Problème I.1 : statique des fluides incompressiblesMise en place des bases de l'hydrostatique.
  2. 2Problème I.2 : modèle d'atmosphère isothermeÉtablissement du profil de pression dans une atmosphère isotherme.
  3. 3Problème I.3 : poussée d'Archimède dans un profil exponentiel de pressionCalcul de la poussée d'Archimède à partir du profil de pression exponentiel.
  4. 4Problème I.4 : ballon à air chaud dans une atmosphère isothermeÉtude du critère de décollage et de l'altitude maximale atteinte par le ballon.
  5. 5Problème II.1 : gradient de températureNotions de base sur le gradient de température.
  6. 6Problème II.2 : équation de la chaleurÉtablissement et exploitation de l'équation de la chaleur.
  7. 7Problème II.3 : diffusion en présence de convectionÉtude de la diffusion thermique autour d'une sphère avec un couplage diffusion-convection.

Difficulté moyenne. Le rapport qualifie la difficulté et la longueur du sujet de fort raisonnables, tout en exprimant une certaine déception des correcteurs face au niveau des copies.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Théorème d'Archimède mal énoncé · Notations fantaisistes pour le flux d'un champ de vecteur · Altitude maximale du ballon non maîtrisée
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Le problème a pu être traité dans son intégralité par une majorité de candidats. La partie I alternait questions de cours et questions classiques, tandis que la partie II, plus calculatoire, était guidée à l'extrême. Les correcteurs saluent une excellente qualité générale de présentation des copies, mais restent déçus du niveau compte tenu de la difficulté raisonnable du sujet.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Théorème d'Archimède mal énoncéI.1

    La direction et le point d'application de la force d'Archimède sont souvent mal représentés, et la notion de centre de poussée est méconnue.

    « vu plus de schémas incorrects que de raison »
  2. 2
    Notations fantaisistes pour le flux d'un champ de vecteurI.3

    Le point du produit scalaire disparaît souvent et les flèches vectorielles sont utilisées de façon incohérente, ce qui traduit une compréhension géométrique incertaine du flux.

    « on peut douter de la réelle compréhension géométrique de cette notion de flux. »
  3. 3
    Altitude maximale du ballon non maîtriséeI.4.2, I.4.3, I.4.4

    Ces questions ont tenu en échec la plupart des candidats.

    « Rares sont les candidats qui ont traité correctement les questions I.4.2, I.4.3 I.4.4. »
  4. 4
    Confusion entre énergie interne et enthalpieI.4.5

    La relation U = CpT a été sanctionnée car elle confond ces deux grandeurs.

    « montrant une confusion entre énergie interne et enthalpie. »
  5. 5
    Développement limité de e^-z peu maîtriséI.3.3

    Ce développement autour de zG est rarement correct, ce qui fait perdre son sens à la démonstration qui suit.

    « le développement de e -z autour de z G est rarement correct »

Ce qui a été bien réussi

  • La majorité des questions de la partie I, hors le critère d'altitude maximale, ont bien joué leur rôle discriminant.
  • La partie II, très guidée, a permis d'éviter que les candidats ne décrochent sur des questions couperets.

Conseils du jury

  • Bien distinguer les notions élémentaires de géométrie utiles au calcul, comme l'aire d'une sphère.
  • Se rappeler que « établir » signifie « démontrer » et nécessite un raisonnement rigoureux.
  • Vérifier la conversion des unités avant toute application numérique, notamment pour les masses molaires.
  • Ne pas chercher à bluffer le correcteur avec des résultats intermédiaires donnés dans l'énoncé.
  • Contrôler l'homogénéité de toute formule obtenue avant de la considérer comme correcte.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Les deux problèmes sont indépendants. On fera l'application numérique chaque fois que cela est possible, en veillant à l'unité et aux chiffres significatifs du résultat.

Probleme I

Un vol en ballon

Données :
  • accélération de la pesanteur g = 9, 80 m.s^(− 2);
  • constante des gaz parfaits R = 8, 31 J ⋅ K^(− 1) ⋅ mol^(− 1);
  • masse molaire de l'air A = 29, 0 g.mol^(− 1);
  • masse volumique du mercure dans les conditions standard μ_(Hg) = 1, 35 × 10^4 kg.m^(− 3);
  • rayon moyen de la Terre R_T = 6380 km;
  • coefficient thermique molaire à pression constante C_(p, m) = 7R/2.
L'espace est repéré à l'aide de coordonnées cartésiennes ( x, y, z ) et d'un repère ( e⃗_x, e⃗_y, e⃗_z ) associé.

Rappel :

Le centre de masse G , d'un corps C de masse volumique homogène μ, est l'unique point de coordonnées (x_G, y_G, z_G) vérifiant :
∭_C(x − x_G)dx dy dz = ∭_C(y − y_G)dx dy dz = ∭_C(z − z_G)dx dy dz = 0.
Le moment d'inertie J_x d'un corps solide homogène, par rapport à l'axe passant par le centre de masse G et dirigé suivant le vecteur e⃗_x, est défini par l'équation :
J_x = μ∬_C[(y − y_G)^2 + (z − z_G)^2]dx dy dz
On a de même, par rapport aux directions e⃗_y et e⃗_z :
J_y, = μ∬_C[(x − x_G)^2 + (z − z_G)^2]dx dy dz; J_z, = μ∬_C∫[(y − y_G)^2 + (x − x_G)^2]dx dy dz.
Les moments d'inertie d'une boule (sphère pleine) homogène de masse M et de rayon R sont :
J_x = J_y = J_z = 2MR^2/5.

I. 1 Statique des fluides incompressibles

- I.1.1

On considère un fluide incompressible, de masse volumique μ, au repos dans un champ de pesanteur uniforme g⃗. Les hauteurs sont rapportées à un axe vertical (Oz) dirigé vers le haut. En considérant, par exemple, un volume dx dy dz de fluide, établir la relation différentielle liant la pression P, μ, g (norme de g⃗ ) et z (équation de l'hydrostatique).

- I.1.2

Donner l'expression de la fonction P(z), pression fonction de la hauteur, solution de l'équation précédente, en prenant comme constante d'intégration P(0) = P_0.

- I.1.3

Enoncer le théorème d'Archimède pour un corps solide quelconque totalement immergé dans le fluide représenté sur la figure I.1.
Figure I. 1 Parallélépipède rectangle plongé dans un fluide
Recopier sommairement la figure I. 1 et y représenter graphiquement la résultante des forces de pression exercées sur un objet de forme parallélépipède rectangle homogène, représenté vu de profil sur la figure.
Les forces de pression exercent-elles un couple de torsion sur l'objet?

I. 2 Modèle d'atmosphère isotherme

- I.2.1

L'air est assimilé à un fluide compressible, obéissant à l'équation des gaz parfaits, dont la température est uniforme et constante, indépendante de la hauteur z.
Donner la relation existant entre la masse molaire A, la masse volumique μ, la pression P, la température T et la constante des gaz parfaits.

- I.2.2

Montrer que, dans ce cas, la solution de l'équation obtenue à la question I.1.1 est de la forme :
P(z) = P_0 exp(− z/H)
où H est une longueur que l'on exprimera en fonction de A, R, T et g, puis que l'on calculera numériquement pour T = 280 K.

- I.2.3

Quelle valeur de la pression ce modèle prédit-il au sommet du Puy de Dôme, d'altitude z_P = 1465 m, lorsque T = 280 K et P_0 = 1013hPa ?

- I.2.4

A l'époque de Blaise Pascal, l'instrument de mesure de la pression atmosphérique le plus commode était le tube de Torricelli. Rappeler le principe de fonctionnement d'un tube de Torricelli, en s'aidant d'un schéma. Déterminer la hauteur de la colonne dans le tube si le dispositif est installé au sommet du Puy de Dôme.

- I.2.5

Déduire, du profil de pression P(z), l'expression de la masse volumique μ(z) en fonction de la hauteur. En supposant que l'on puisse négliger la courbure de la Terre, calculer la masse totale de gaz occupant une colonne semi-infinie, de section horizontale a = 1 m^2, s'étendant de la hauteur z = 0 jusqu'à l'infini.
Montrer que cette masse s'exprime simplement en fonction de P_0, de a et de g supposé constant et uniforme.
Ce résultat est-il surprenant?

- I.2.6

Déduire de la question précédente une estimation numérique de la masse totale de l'atmosphère de la Terre.

I. 3 Poussée d'Archimède dans un profil exponentiel de pression

Le but de la partie I. 3 est de vérifier la validité du théorème d'Archimède dans le cas où le profil de pression est de la forme établie à la question I.2.2.

- I.3.1

La résultante A⃗ des forces de pression s'exprime comme une intégrale autour de la surface extérieure Σ du corpsC, avec n⃗ vecteur normal sortant de la surface et dS l'élément d'intégration sur la surface :
A⃗ = ∯ _Σ − Pn⃗ dS
On s'intéresse à la composante verticale A_z = e⃗_z ⋅ A⃗ de la résultante A⃗.
Montrer que A_z est égale au flux du vecteur − P(z)e⃗_z à travers la surface Σ.

- I.3.2

A l'aide du théorème de Green-Ostrogradsky pour tout champ de vecteur j⃗ :
∮ _Σ j⃗ ⋅ n⃗ dS = ∭_C div(j⃗)dx dy dz
exprimer A_z comme une intégrale triple sur le volume occupé par le corpsC.

- I.3.3

Développer l'exponentielle exp(− z/H) autour de la hauteur z_G du centre de masse du corpsC, au deuxième ordre en (z − z_G)/H.
En utilisant l'identité :
2(z − z_G)^2 = (z − z_G)^2 + (x − x_G)^2 + (z − z_G)^2 + (y − y_G)^2 − (y − y_G)^2 − (x − x_G)^2
et la définition des moments d'inertie donnée en préambule, montrer que la résultante A_z des forces de pression se met, à cet ordre du développement, sous la forme :
A_z = [M + (J_x + J_y − J_z)/(4H^2)]g
où M et J_x, J_y, J_z représentent respectivement la masse et les moments d'inertie d'un corps homogène de masse volumique μ(z_G) (identique à l'air ambiant) et de forme identique à C.

- I.3.4

Estimer l'erreur relative commise sur la résultante A_z lorsque l'on applique le théorème d'Archimède à un ballon sphérique plein de rayon R = 20 m évoluant dans un profil d'atmosphère isotherme.

I. 4 Ballon à air chaud dans une atmosphère isotherme

Soit un aérostat de volume V supposé constant et dont l'enveloppe et la nacelle sont de masse totale m (la masse de l'air chaud n'étant pas comptée et le volume de la nacelle étant supposé négligable).
La pression régnant à l'intérieur du ballon reste égale, à tout instant, à la pression extérieure. La température de l'air à l'intérieur du ballon, supposée uniforme, est plus élevée que la température extérieure de l'atmosphère isotherme. On notera, dans cette partie, la température de l'atmosphère T = T_f. La masse volumique de l'air au niveau du sol, à pression P_0 est notée μ_0 = μ(0) et on introduit la masse m_0 = μ_0 V, égale à la masse d'air présente dans le ballon lorsque celui-ci est posé au sol et que la température interne est égale à T_f.

- I.4.1

La température régnant à l'intérieur du ballon est T_c, et la masse volumique de l'air situé à l'intérieur est μ_c. Déterminer la relation existante entre μ_c, T_c, T_f et la masse volumique μ(z) de l'air à l'extérieur du ballon, situé à une altitude z quelconque.

- I.4.2

Le ballon se trouve à l'altitude nulle z = 0, pour laquelle la pression alentour est P_0. Déterminer la
température minimale T_(min)(m) devant régner dans le ballon, de masse m (air chaud non compris) pour que celui-ci s'élève spontanément. On pourra exprimer le résultat en fonction de T_f, m_0 et m.

- I.4.3

L'air du ballon est chauffé jusqu'à une température T_c > T_(min)(m). Déterminer dans ces conditions la hauteur maximale Z_(max)(m, T_c) atteinte par le ballon.

- I.4.4

Calculer, sur la base du résultat précédent, le volume minimal V d'un ballon permettant d'élever deux passagers, une enveloppe et une nacelle, de masse m = 500 kg, à une hauteur de Z = 1000 m au dessus du sol, sachant que la température maximale de l'air chaud à l'intérieur du ballon est de 60 K plus élevée que la température extérieure T_f = 280 K et que la pression extérieure est de P_0 = 1, 0 bar.

- I.4.5

On cherche à déterminer la quantité d'énergie thermique Q_(min)(T_c) nécessaire pour élever la température de l'air régnant dans le ballon de sa valeur initiale T_f à sa valeur finale T_c.
Déterminer la quantité de chaleur Q_1 nécessaire pour élever, de façon quasistatique et à pression constante P_0, la température de la quantité de fluide initialement présente dans le ballon. Exprimer le résultat en fonction de m_0, A, C_(p, m), T_c et T_f.

- I.4.6

La grandeur Q_1 déterminée précédement surestime la quantité Q_(min)(T_c) désirée. Lorsque de l'énergie thermique est communiquée au gaz situé à l'intérieur du ballon, la pression augmente progressivement et un excès d'air doit alors être extrait du ballon, au moyen par exemple d'une trappe servant de soupape. Le chauffage de l'air situé dans le ballon a lieu au voisinage du sol ( z = 0 ), à altitude constante. Une modélisation plus fine de la transformation thermodynamique requise consiste à considérer une suite de N transformations isobares élémentaires associées à des intervalles de température δT_j, j = 1, …N, au cours desquelles seule est considérée la masse d'air restant dans le ballon, l'excès étant éliminé au fur et à mesure.
Exprimer, d'après la relation établie à la question I.4.1, la masse volumique μ_j restant à l'étape j en fonction de μ_0, T_j et T_f.
En déduire la chaleur δQ_j communiquée au fluide lorsque le fluide est chauffé de T_j à T_(j + 1).

- I.4.7

En intégrant les accroissements infinitésimaux δQ_j jusqu'à l'état final de température T_c, déterminer la quantité d'énergie thermique Q_2 permettant, dans le cadre des approximations précédentes, d'élever la température intérieure du ballon jusqu'à T_c. La quantité Q_2 est assimilée à la grandeur recherchée Q_(min)(T_c).

Probleme II Quelques problemes de diffusion thermique

Données :
  • Laplacien à 3 dimensions d'une fonction f ne dépendant que de la distance à l'origine r :
Δf(r) = 2/rd/(dr)f(r) + (d^2)/(dr^2)f(r)

II. 1 Gradient de température

- II.1.1

Soit un profil de température unidimensionnel T(x), où x désigne la coordonnée le long d'un axe horizontal. La température est supposée uniforme, égale à T_i sur tout le domaine x ≤ 0 et uniforme, égale à T_e sur tout le domaine x ≥ e, où e représente une certaine longueur.
L'espace situé dans l'intervalle 0 ≤ x ≤ e est occupé par un matériau homogène de conductivité thermique λ. Le profil de température est supposé stationnaire.
En considérant un bilan d'énergie en régime stationnaire, déterminer la nature du profil T(x) pour tout x appartenant à l'intervalle [0, e], puis représenter graphiquement la fonction T(x) dans le cas où T_i > T_e.

- II.1.2

Donner l'expression du vecteur densité de courant thermique j⃗_Q et déterminer le flux thermique Φ(A) traversant une section transversale normale à l'axe x, d'aire A, située en x = e/2, en fonction des données du problème.
Préciser la dimension ou l'unité du coefficient de conductivité λ.

- II.1.3

Figure II. 1 Assemblée de parallélépipèdes représentant des manchots
Un manchot se modélise par un parallélépipède rectangle, de section carrée, de côté a et de hauteur ℓ (figure II.1.a). Le manchot, animal à sang chaud, maintient sa température interne T_i au moyen d'un apport métabolique P_1 qui compense les pertes par conduction thermique au travers d'un revêtement de plumes d'épaisseur e et de conductivité λ, face à une température extérieure T_e.
Le modèle de transfert thermique proposé à la question précédente est supposé valide dans le cas d'un manchot de géométrie parallélépipédique et la fonction Φ(A_1) rend compte de la déperdition thermique d'un manchot d'aire corporelle A_1.
Déterminer l'aire totale A_1 du parallélépipède représenté sur la figure II.1.a.

- II.1.4

Déterminer la valeur de la conductivité thermique λ du revêtement de plumes correspondant à un métabolisme P_1 = 50 W, pour une température intérieure T_i = 37^∘C, une température extérieure T_e = − 20^∘C (y compris au niveau du sol), une épaisseur e = 1 cm, un côté a = 0, 10 m et une hauteur ℓ = 0, 50 m.

- II.1.5

Pour faire face à ces températures extrêmes, neuf manchots se serrent comme représenté sur la figure II.1.b. Le pavage carré étant parfait, seules les faces supérieures, inférieures et latérales péripheriques sont sujettes aux pertes thermiques. Calculer l'aire A_9 exposée à la température T_e et la puissance métabolique P_9 totale nécessaire au maintien de la température interne des neuf manchots.
De combien le métabolisme nécessaire au maintien de la température interne, rapporté à un manchot, est-il réduit lorsque les neuf manchots se serrent les uns contre les autres (comportement social thermorégulateur)?

II. 2 Equation de la chaleur

Soit un corps homogène de masse volumique μ, de coefficient thermique massique c_p et de conductivité thermique λ. Ces coefficients sont supposés indépendants de la température. Lorsque la conduction thermique est seule en jeu, il est possible de montrer que le champ de température obéit à l'équation de diffusion suivante (équation de la chaleur) :
(∂T)/(∂t) − DΔT = 0
où D = λ/(μc_p), coefficient de diffusion thermique, d'unité m^2 ⋅ s^(− 1), s 'exprime en fonction de μ, λ et c_p.

- II.2.1

Rappeler la différence entre la diffusion thermique par conduction et la diffusion thermique par convection. Lequel des deux mécanismes est-il considéré comme plus efficace ?

- II.2.2

Vérifier que la fonction T_G(r, t) ci-dessous est une solution de l'équation de la chaleur, où r = √(x^2 + y^2 + z^2) est la distance euclidienne à l'origine du repère et C = nD, le produit de la constante de diffusion par un nombre entier n à déterminer.
T_G(r, t) = (πCt)^(− 3/2)exp(− (r^2)/(Ct)).

- II.2.3

La solution T_G représente l'évolution temporelle d'une distribution de température initialement localisée autour du point O de coordonnées x = 0, y = 0 et z = 0.
Déterminer la fonction T_O(t) représentant l'évolution temporelle de la température T_G(0, t) du point O .
Déterminer le comportement aux grandes valeurs de t de T_G(0, t).
Déterminer le rayon R(t) de la sphère, centrée sur l'origine O , des points dont la température est supérieure ou égale à T_O(t)/2.
En déduire que l'énergie thermique diffuse au bout d'un temps t sur une distance d'ordre (Dt)^α, où α est un exposant fractionnaire à déterminer.

II. 3 Diffusion en présence de convection

Une sphère pleine métallique homogène de rayon R_s est placée au contact d'un milieu à température T_e. La présence de convection assure le maintien au voisinage de la surface de la boule d'une température constante T_e. La diffusion thermique à l'intérieur de la boule se fait par conduction uniquement. La température à la surface extérieure de la boule est notée T_s(t) = T(R_s, t). On admet que les pertes thermiques à la surface de la sphère vers le milieu extérieur vérifient la loi :
Ψ_s(t) = h(T_s(t) − T_e)
où h est un coefficient de transfert thermique qui dépend de l'état de convection du fluide environnant, Ψ_s la puissance quittant la sphère par unité de surface et T_s(t) > T_e.

- II.3.1

Ecrire l'équation de la chaleur en un point r quelconque de l'intérieur de la boule.

- II.3.2

Justifier par un argument physique la relation ci-dessous :
− λ(∂T)/(∂r)|_(r = R_s) = h × (T_s − T_e).

- II.3.3

Réécrire l'équation de diffusion et la condition de continuité en R_s pour la différence Θ(r, t) = T(r, t) − T_e. On pourra introduire la quantité Θ_s = T_s − T_e.

- II.3.4

On recherche une solution Θ(r, t) sous la forme d'un produit de variables séparées f(r)g(t), où f et g sont supposées partout non nulles. Montrer que :
D/(f(r))[2/rf^′(r) + f^(′′)(r)] = (g^′(t))/(g(t))
Justifier que la fonction temporelle g(t) ainsi obtenue décroît exponentiellement avec le temps, comme g(t) = g(0)exp(− t/τ).

- II.3.5

Rechercher une solution de l'équation précédente sous la forme :
f(r) = (sin(αr))/r
Montrer que l'on obtient bien une solution de l'équation obtenue en II.3.4, à condition de poser α^2 Dτ = 1.
Quelle est la limite de f(r) lorsque r tend vers 0 ?

- II.3.6

Exploiter la condition en R_s obtenue aux questions II.3.2 et II.3.3, et montrer que le produit x = αR_s vérifie l'équation transcendante :
1 − x(cos(x))/(sin(x)) = (hR_s)/λ = Nu
où le produit sans dimension Nu est appelé nombre de Nusselt.

- II.3.7

Donner le premier terme du développement limité en x = 0 de la fonction 1 − xcotan(x), puis tracer l'allure de celle-ci. En déduire que, quelle que soit la valeur de Nu, il existe une racine positive de l'équation obtenue à la question précédente.

- II.3.8

La plus petite racine positive de l'équation ci-dessus contrôle le comportement asymptotique aux temps longs de la température de la sphère. Montrer que le temps de décroissance exponentielle de la température de la sphère se comporte alors comme :
{τ = (R_s^2)/(3DNu), si, Nu≪1;; τ = (R_s^2)/(π^2 D), si, Nu≫1.

- II.3.9

Calculer numériquement le temps caractéristique τ pour une sphère de plomb, caractérisée par les grandeurs suivantes :
h = 5, 8 W ⋅ K^(− 1) ⋅ m^(− 2), R_s = 0, 1 m, c_p = 130 J ⋅ K^(− 1) kg^(− 1), μ = 1, 13 × 10^4 kg ⋅ m^(− 3), λ = 35SI.

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de Physique 1 CCINP PC 2014 ?
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Sur quoi porte le sujet de Physique 1 CCINP PC 2014 ?

Le sujet comprend un problème d'hydrostatique sur un vol en ballon et un problème de diffusion thermique, notamment autour d'une sphère avec convection.

Ce sujet CCINP Physique 1 PC 2014 est-il difficile ?

Le rapport le juge de difficulté et de longueur fort raisonnables, mais les correcteurs ont exprimé une certaine déception face au niveau des copies obtenues.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet CCINP Physique 1 PC 2014 ?

Le jury relève un théorème d'Archimède souvent mal énoncé, des notations fantaisistes pour le flux d'un champ de vecteur, et une confusion entre énergie interne et enthalpie.

Quelle partie du sujet CCINP Physique 1 PC 2014 est la plus discriminante ?

Les questions sur l'altitude maximale atteinte par le ballon (I.4.2 à I.4.4) ont tenu en échec la plupart des candidats et ont donc été particulièrement discriminantes.

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