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CCINP Physique 1 PC 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Optique géométrique : conditions de Gauss, lentilles minces, relations de conjugaison
  • Oscillateur harmonique amorti en régime sinusoïdal forcé
  • Induction : loi de Faraday, flux magnétique
  • Mouvement d'une particule chargée : force de Lorentz
  • Théorème de la puissance cinétique
  • Ondes électromagnétiques dans les milieux diélectriques
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Annales CCINP PC PhysiqueCCINP PC 2012PC PhysiquePhysique 2012

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Gobelet à image cachée (optique géométrique) et modèle de l'électron élastiquement lié, jusqu'au pouvoir rotatoire
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Le sujet comporte deux problèmes indépendants. Le premier modélise un gobelet dont le fond, une lentille, ne laisse apparaître une image qu'en présence de liquide. Le second part d'un électron élastiquement lié soumis à un champ sinusoïdal, étudie l'induction dans une boucle, les mouvements circulaire et hélicoïdal d'une charge, puis le pouvoir rotatoire d'un milieu.

  1. 1I.1 : objet dans le plan focal objetConditions de Gauss, constructions géométriques et visibilité de l'image à travers la lentille du gobelet.
  2. 2I.2 et I.3 : objet entre foyer et lentille, lentilles accoléesRelations de conjugaison, rôle de diaphragme et distance focale de lentilles minces accolées pour conclure sur le phénomène.
  3. 3II.1 et II.2 : oscillations et inductionOscillateur amorti en régime sinusoïdal forcé, résonance, amplitude complexe, puis loi de Faraday dans une boucle circulaire.
  4. 4II.3 et II.4 : mouvements circulaire et hélicoïdal d'une chargeARQS, force de Lorentz, équation du mouvement, énergie cinétique et théorème de la puissance cinétique.
  5. 5II.5 : pouvoir rotatoirePropagation dans un milieu diélectrique décrit par des relations linéaires entre polarisation, aimantation et champs.

Difficulté moyenne. Le jury décrit un problème de longueur modérée, souvent traité en entier sauf les deux ou trois dernières questions, avec une première partie discriminante et des calculs techniques guidés.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Conditions de Gauss incomplètes · Visibilité de l'image mal argumentée · Amplitude complexe mal exploitée
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Le problème a été abordé en totalité par de nombreux candidats. La partie optique, sans être difficile, a été discriminante ; la seconde partie demandait des calculs techniques compensés par des résultats intermédiaires. La présentation des copies est excellente, mais le calcul des grandeurs complexes pose problème et les correcteurs sanctionnent les calculs truqués pour retrouver un résultat donné.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Conditions de Gauss incomplètesI.1

    Il fallait une condition sur l'angle et une sur la distance à l'axe optique ; dire « para-axial » ou citer les conséquences (stigmatisme, aplanétisme) ne suffit pas.

    « Les conditions de Gauss de l'optique géométrique ne sont souvent pas énoncées complètement. »
  2. 2
    Visibilité de l'image mal argumentéeI.1.3, I.1.4, I.3.3

    La construction de I.1.3 et la question I.1.4 sont souvent fausses. Affirmer qu'une image à l'infini ou virtuelle est invisible n'est pas une justification suffisante.

  3. 3
    Amplitude complexe mal exploitéeII.1.3, II.1.4

    Le terme de résonance est souvent absent et la masse de l'électron oubliée en II.1.3. L'amplitude attendue était le module de Z, pas une expression de z(t).

    « Le module |Z| était attendu, là où de nombreux candidats n'ont donné qu'une expression de z(t) »
  4. 4
    Conventions et loi de FaradayII.2

    Schémas sans orientation du courant, confusion entre convention générateur et convention récepteur, et entre loi de Faraday et loi de Lenz, d'où des erreurs de signe.

    « Les confusions sont nombreuses entre la convention générateur (pour laquelle la loi de Faraday s'applique) et la convention récepteur »
  5. 5
    Flux magnétique mal définiII.2

    Intégrale sur une surface fermée à tort, confusion entre flux et circulation, produit scalaire non écrit et confusion entre aire et périmètre du disque.

    « La définition du flux magnétique est rarement irréprochable. »
  6. 6
    Puissance de la force de LorentzII.4.1, II.4.3, II.4.5

    L'énergie cinétique est parfois fausse malgré une vitesse correcte, et beaucoup donnent la force au lieu de sa puissance. Régime sinusoïdal permanent et régime stationnaire sont confondus en II.4.5.

    « beaucoup de candidats se sont contentés de l'expression de la force de Lorentz et non de sa puissance. »

Ce qui a été bien réussi

  • La construction géométrique de I.1.2 est presque toujours exacte.
  • La partie I.2, fondée sur des relations de conjugaison données, est plutôt bien traitée.
  • La force de Lorentz est bien connue et les premières questions de II.3 posent peu de problèmes.
  • II.5.1, proche du cours, ainsi que II.5.2 et II.5.3, calculatoires mais guidées, sont bien réussies.

Conseils du jury

  • Soigner la présentation et la rédaction, prises en compte de façon substantielle dans le barème.
  • Ne jamais truquer un calcul pour tomber sur un résultat intermédiaire donné.
  • Expliciter tout sigle utilisé, par exemple ARQS.
  • Vérifier l'homogénéité des expressions, notamment pour les ordres de grandeur (II.3.3).
  • En II.5.4, vérifier que les deux équations projetées sont identiques plutôt que de s'arrêter à la projection.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Les deux problèmes sont indépendants. On fera l'application numérique chaque fois que cela est possible, en veillant à l'unité et aux chiffres significatifs du résultat.

Problème I

Optique

Il existe de petits gobelets amusants (figure I.1.a) possédant la propriété suivante :
  • en l'absence de liquide, le fond du gobelet est constitué d'une lentille sphérique qui ne laisse rien apparaître (figure I.1.b);
  • en présence de liquide, une image nette apparaît (figure I.1.c).
Figure I. 1
L'objet de ce problème est de proposer une modélisation simple de ce phénomène optique. Les conditions de l'optique de Gauss seront supposées satisfaites tout au long du problème. Les figures ne sont pas à l'échelle. Les valeurs numériques considérées dans ce problème sont réalistes. L'approximation des lentilles minces n'est, en revanche, pas vraiment justifiée dans le contexte.

I. 1 Visibilité d'un objet situé dans le plan focal objet

Sur un banc d'optique (figure I.2) sont alignés un objet plan BB', coupant l'axe optique en un point A et une lentille mince convergente L1 située au point S. B et B' sont symétriques l'un de l'autre par rapport à l'axe optique. La figure représente le foyer principal objet F , confondu avec A , ainsi que le foyer principal image F^′. L'oeil d'un observateur est placé en un point O de l'axe optique. La pupille de l'oeil est représentée comme un disque centré en O , de diamètre PP '. Le bord de la lentille est un cercle, assimilable à un diaphragme DD '. Le diamètre de l'objet BB ' est identique à celui du diaphragme DD '.
Données : SA^– = − 12 mm, SO^– = 200 mm, BB^′^– = DD^′^– = 20 mm, PP^′^– = 6 mm.
Figure I. 2 : montage de la lentille L1 (échelle non respectée)

- I.1.1

Rappeler les hypothèses de l'approximation de Gauss en optique géométrique.

- I.1.2

Reproduire soigneusement la figure I.2. Construire graphiquement l'allure de deux rayons issus de B et traversant la lentille.
Faire de même avec deux rayons issus de B'. Réaliser un tracé de taille suffisante, de l'ordre de la moitié de la largeur de la feuille.

- I.1.3

Lorsque l'objet est situé dans le plan focal objet de la lentille, l'image se forme à l'infini et seule une fraction minime des rayons issus de l'objet est captée par la pupille de l'oeil PP'. Il s'agit d'estimer cette fraction. Soit un point E , défini par :
  • E appartient au plan de l'objet BB ' ;
  • le rayon issu de E , passant par le bord inférieur D du diaphragme, est réfracté en un rayon DP^′ passant par le bord supérieur P ' de la pupille de l'oeil.
    De même, le point E ', symétrique de E par rapport à l'axe optique, est défini par les propriétés suivantes :
  • E' appartient au plan de l'objet BB^′;
  • le rayon issu de E ', passant par le bord supérieur D^′ du diaphragme, est réfracté en un rayon D'P passant par le bord inférieur P de la pupille de l'oeil.
Reproduire soigneusement la figure I.2. Placer les points E et E ', obtenus à l'aide du tracé des rayons PD'E' et P'DE. Pour plus de clarté, on tracera une figure distincte de celle de la question I.1.1.

- I.1.4

A l'aide du schéma précédent, déduire l'expression de la distance EE ' en fonction des distances SF, SO, DD ' et PP '. Calculer numériquement EE '. Puis donner la fraction d'aire, définie par le rapport τ_1 = (EE^′/BB^′)^2, de l'objet visible par l'oeil placé au point O .

I. 2 Visibilité d'un objet situé entre le plan focal et la lentille

Figure I. 3 : montage de la lentille L2 (échelle non respectée)
La figure I. 3 représente un montage analogue à celui de la figure I.2. La lentille L1 a été remplacée par une lentille L 2 moins convergente. L'objet BB ' coupe l'axe en un point A distinct du foyer principal objet F . La distance SA^– est encore égale à -12 mm , tandis que la distance focale f^′ = SF^–^′ de la lentille L2 est désormais de 36 mm (figure I.3).
La formule de conjugaison d'une lentille convergente, de distance focale f^′ située en S , entre un point objet A_1 de l'axe et son image A_2 est rappelée :
1/(f^′) = 1/(SA_2^–) − 1/(SA_1^–).

- I.2.1

Déterminer par le calcul la position de l'image B_2 B_2 ' de l'objet BB '.
Calculer le grandissement B_2 B_2^–, BB^– ', et la taille de l'image B_2 B_2^′.
L'image est-elle réelle ou virtuelle?

- I.2.2

Calculer la distance entre l'oeil et le plan image B_2 B_2 '.
En déduire que le diaphragme DD' masque une partie de l'image B_2 B_2 ' à l'observateur dont l'oeil est situé en O.
Estimer, dans l'approximation où les points O, P et P ' sont confondus, la fraction surfacique τ_2 de l'image B_2 B_2 ' visible par l'oeil de l'observateur situé en O .

I. 3 Distance focale de lentilles minces accolées

Le modèle proposé pour décrire la situation représentée sur la figure I.1.b (absence de liquide) est celui d'une lentille mince plan-convexe de rayon de courbure R (figure I.4.a, page suivante). La lentille est constituée de verre d'indice n_2 entourée d'air d'indice n_1. Le modèle proposé pour décrire la situation représentée sur la figure I.1.c (présence de liquide) est la succession d'un dioptre plan entre un milieu d'indice n_1 et d'indice n_2, d'un dioptre sphérique de rayon de courbure R entre un milieu d'indice n_2 et un milieu d'indice n_3, puis d'un second dioptre plan entre le milieu d'indice n_3 et le milieu d'indice n_1 (figure I.4.b).
Figure I. 4

- I.3.1

On donne la formule de conjugaison correspondant à la succession de dioptres représentés sur la figure I.4.a :
n_1(1/(SA^′^–) − 1/(SA^–)) = (n_2 − n_1)/(CS^–).
où CS^– représente la distance algébrique entre le centre de courbure et le sommet du dioptre sphérique, représenté sur la figure I.4.c.
Reconnaître la distance focale f_1^′ de la lentille convexe dans l'expression ci-dessus et calculer sa valeur numérique.
Données : n_1 = 1, 00, n_2 = 1, 50 et R = 6, 0 mm.

- I.3.2

On donne la formule de conjugaison correspondant à la succession de dioptres représentés sur la figure I.4.b :
n_1(1/(SA^′^–) − 1/(SA^–)) = (n_2 − n_3)/(CS^–).
où CS^– représente la distance algébrique entre le centre de courbure et le sommet du dioptre sphérique, représenté sur la figure I.4.c.
Reconnaître la distance focale f_2^′ de la lentille plane dans l'expression ci-dessus et calculer sa valeur numérique.
Données : n_1 = 1, 00, n_2 = 1, 50, n_3 = 1, 33 et R = 6, 0 mm.

- I.3.3

L'objet à observer est situé à une distance de 12 mm sous la lentille (voir schéma de la vue en coupe du gobelet sur la figure I.5).
Pourquoi ne voit-on rien en l'absence de liquide?
Pouquoi l'image devient-elle visible lorsque l'on remplit le verre?
Figure I. 5

Problème II

Modèles d'ÉLECTRON ÉLASTIQUEMENT LIÉ ET POUVOIR ROTATOIRE D'UN MILIEU

Les grandeurs pointées X˙ et X¨ désignent respectivement les dérivées temporelles première et seconde de la grandeur X considérée. Les grandeurs complexes sont soulignées. Dans tout le problème, c représente la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide.
Données :
  • masse de l'électron : m_e = 9, 1 × 10^(− 31) kg;
    − 1eV = 1, 6 × 10^(− 19) J;
  • vitesse de la lumière c = 3, 0 × 10^8 m ⋅ s^(− 1).

II. 1 Oscillations unidimensionnelles

Un électron assimilé à une charge négative ponctuelle q = − e, de masse m_e, est animé d'un mouvement rectiligne le long d'un axe Oz. L'électron est soumis à un champ électrique sinusoïdal E_0 cos(ωt)e⃗_z = E⃗_0 cos(ωt) à l'origine d'une force électrique f⃗_e = qE_0 cos(ωt)e⃗_z, à une force de rappel élastique f⃗_r = − κze⃗_z et à une force d'amortissement visqueux f⃗_v = − γv⃗, où v⃗ est le vecteur vitesse et qui s'exprime dans cette partie comme f⃗_v = − γz˙e⃗_z. La force de rappel élastique représente et remplace, de façon qualitative, l'attraction électrostatique qu'exerce une charge positive immobile située à l'origine z = 0 de l'axe Oz tenant lieu de noyau atomique (figure II.1).
Figure II. 1

- II.1.1

L'électron est soumis uniquement à la force de rappel élastique f⃗_r. Donner l'expression, en fonction de κ et m_e, de la pulsation caractéristique ω_0 des oscillations libres de l'électron. Que se passe-t-il si un champ électrique de fréquence ω = ω_0 est appliqué ?

- II.1.2

Donner l'expression de l'énergie potentielle élastique E_r(z), associée à la force de rappel f⃗_r et définie de façon à ce que E_r(0) = 0.
Déterminer la valeur numérique qu'il faut donner à la constante de raideur κ pour que l'énergie potentielle E_r d'un électron situé à distance z = 1, 0 × 10^(− 10) m soit égale à 13, 6eV. En déduire la pulsation caractéristique ω_0 et la fréquence fondamentale f_0 de vibration associées à cette valeur de κ.

- II.1.3

Exprimer le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron lorsque celui-ci est soumis aux trois forces f⃗_r, f⃗_v et f⃗_e. Projeter la relation sur l'axe Oz. On pourra introduire le paramètre λ = γ/(2m_e).

- II.1.4

Une solution du mouvement de l'électron est recherchée sous la forme z(t) = Re(z_–(t)) où z_–(t) = Z_–e^(jωt) est une grandeur complexe, en présence d'un champ électrique complexe E_0 e^(jωt) et où j^2 = − 1.
Déterminer, pour une fréquence quelconque ω du champ électrique appliqué, l'expression de Z_– en fonction de E_0, m_e, q, ω, λ et ω_0.
En déduire l'amplitude des oscillations de z(t).

- II.1.5

Alors que l'électron oscille, on introduit le vecteur moment dipolaire p⃗(t) = qz(t)e⃗_z, ainsi que la grandeur complexe p⃗_–(t) = P_–e^(jωt)e⃗_z associée.
Donner l'expression du facteur de polarisabilité α_–_p = P_–/E_0 associé au modèle d'électron élastiquement lié considéré dans cette partie.

II. 2 Induction dans une boucle circulaire

Soit une boucle conductrice circulaire plane, de rayon R et d'épaisseur négligeable, placée perpendiculairement à un champ magnétique B⃗_1(t) = B_1 cos(ωt)e⃗_z (figure II.2).
Figure II. 2

- II.2.1

La boucle conductrice est soumise à un flux magnétique variable. La boucle est assimilée à un circuit électrocinétique associant en série une résistance interne ( r ), une inductance ( L ) et un générateur de tension variable (e(t)). La tension e(t) représente la force électromotrice (f.é.m) d'induction associée au champ magnétique variable extérieur B⃗_1(t). Le sens conventionnel du courant dans le circuit est choisi de façon à ce que le vecteur unitaire normal à la boucle plane fermée orientée soit égal à e⃗_z.
Tracer le schéma électrocinétique correspondant à une résistance, un générateur et une inductance en série.
Donner l'équation différentielle à laquelle obéit le courant i(t) induit dans la boucle par la f.e.m d'induction e(t).

- II.2.2

Définir le flux magnétique Φ(t) traversant la boucle.
Exprimer la relation liant e(t) au flux Φ(t) traversant la boucle conductrice. Préciser la convention utilisée : générateur ou récepteur.

- II.2.3

En raisonnant à l'aide des grandeurs complexes associées, déterminer l'intensité i_–(t) = I_–e^(jωt) parcourant la boucle en présence de B⃗_1(t).

- II.2.4

Le moment magnétique M^(→−)(t) de la boucle parcourue par un courant i(t) est défini comme :
M^(→−)(t) = πR^2 i(t)e⃗_z
Comment, pour une fréquence ω donnée, la grandeur complexe M_–e^(jωt)e⃗_z associée à M^(→−)(t) est-elle liée a B_1 ?

II. 3 Mouvement circulaire d'une charge électrique

On rappelle l'expression des équations de Maxwell dans le vide, en l'absence de charges et de courants :
divB⃗, = 0; rot^(→−)E⃗, = − (∂B⃗)/(∂t); divE⃗, = 0; rot^(→−)B⃗, = 1/(c^2)(∂E⃗)/(∂t)
Le but de cette partie est d'étudier l'effet d'un champ magnétique B⃗_1(t) = B_1 cos(ωt)e⃗_z uniforme et oscillant sur le mouvement d'une charge électrique q astreinte à se déplacer sur un cercle de rayon R (figure II.3). Le mouvement de la particule est repéré à l'aide de coordonnées cylindriques ( r, θ, z ) et les grandeurs vectorielles exprimées, soit à l'aide du repère local associé aux coordonnées cartésiennes (e⃗_x, e⃗_y, e⃗_z), soit à l'aide du repère local associé aux coordonnées cylindriques (e⃗_r, e⃗_θ, e⃗_z).
Figure II. 3

- II.3.1

Soit un champ électrique :
E⃗_1(x, y, t) = 1/2B_1 ωsin(ωt)e⃗_z ∧ (xe⃗_x + ye⃗_y + ze⃗_z)
où ( x, y, z ) sont les coordonnées cartésiennes d'un point quelconque de l'espace considéré et le symbole ∧ représente le produit vectoriel.
Vérifier que la paire de champs (E⃗_1, B⃗_1) vérifie les trois premières équations de Maxwell.

- II.3.2

Montrer que la quatrième équation n'est vérifiée que si le terme de déplacement 1/(c^2)(∂E⃗_1)/(∂t) est négligé.
À quelle approximation classique de l'électromagnétisme correspond l'hypothèse où 1/(c^2)(∂E⃗_1)/(∂t) est négligeable?

- II.3.3

La charge reste à distance R de l'origine du repère. L'estimation dimensionnelle, dans le cas général, du terme ‖rot^(→−)B⃗‖ est B_1/R. Quelle est l'estimation dimensionnelle du terme ‖(∂E⃗_1)/(∂t)‖ ? En déduire que le rapport :
η = (1/(c^2)‖(∂E⃗_1)/(∂t)‖)/((B_1)/R)
demeure inférieur à 10^(− 2) pourvu que la fréquence de variation ω de B_1 soit inférieure à ω_c, fréquence caractéristique que l'on exprimera. Donner la valeur numérique de ω_c lorsque R = 10^(− 10) m.

- II.3.4

On admet que la paire ( E⃗_1, B⃗_1 ) constitue une solution acceptable des équations de Maxwell. La question se pose de déterminer l'influence de ce champ électromagnétique sur le mouvement circulaire de la charge q, de coordonnées cylindriques r = R, θ(t), z = 0.
Donner l'expression de la force de Lorentz f⃗_L qui s'exerce sur la charge lorsque celle-ci est animée d'une vitesse v⃗, en fonction de E⃗_1, B⃗_1, v⃗ et q.

- II.3.5

Le mouvement de la particule chargée le long de sa trajectoire circulaire se ramène à l'étude de l'angle polaire θ(t) en fonction du temps.
Exprimer, dans le repère local de coordonnées cylindriques ( e⃗_r, e⃗_θ, e⃗_z ), les composantes de la vitesse et de l'accélération.

- II.3.6

La particule chargée est soumise à la force de Lorentz f⃗_L, à la force d'amortissement visqueux f⃗_v ainsi qu'à une force de réaction normale à la trajectoire f⃗_R, dont la composante suivant e⃗_θ est nulle.
En projetant le principe fondamental de la dynamique suivant la direction e⃗_θ, établir l'équation différentielle du mouvement de la particule portant sur θ(t).

- II.3.7

L'intensité d'un courant électrique parcourant une trajectoire circulaire n'est rien d'autre qu'une quantité de charge électrique passant en un point de référence de la boucle par unité de temps. Cela suggère une relation entre la vitesse angulaire de déplacement de la charge θ˙ et l'intensité i(t) parcourant la boucle :
i(t) = q/(2π)θ˙(t).
Montrer que l'équation différentielle portant sur θ est équivalente à l'équation obtenue aux questions II.2.1 et II.2.2, à condition de définir de façon appropriée la valeur de la résistance r et de l'inductance L. Donner les expressions, en fonction de m_e, q, R et γ, des résistance et inductance équivalentes r et L.

- II.3.8

Justifier, à l'aide de l'analogie précédente, la définition suivante du moment magnétique instantané M^(→−)(t) associé au déplacement de la charge le long de sa trajectoire circulaire :
M^(→−) = q/2R^2 θ˙e⃗_z.

II. 4 Mouvement hélicoïdal d'une charge électrique

Une courbe hélicoïdale (en hélice, figure II.4) est définie par le jeu d'équations paramétriques cylindriques ( r, θ, z ) suivant :
{r = R; z = Aθ
Figure II. 4
La courbe hélicoïdale se confond avec une boucle circulaire lorsque le paramètre A est nul. Elle tend vers une courbe rectiligne lorsque A/R≫1. La courbe hélicoïdale ne possède aucun plan de symétrie ni centre d'inversion. Cela confère au mouvement d'une charge électrique, le long de son contour, des propriétés remarquables vis-à-vis de l'excitation par un champ électromagnétique.
La trajectoire hélicoïdale représente une approximation classique du mouvement d'un électron autour d'un atome appartenant à une molécule chirale, susceptible de conférer, lorsqu'une des formes énantiomères est pure, un pouvoir rotatoire à une solution transparente contenant cette molécule.
Soit une charge mobile le long de l'hélice soumise simultanément à une force de Lorentz f⃗_L, à une force d'amortissement visqueux f⃗_v = − γ(Rθ˙e⃗_θ + z˙e⃗_z) et à une force de rappel élastique f⃗_r = − κ(re⃗_r + ze⃗_z). De plus, une force de réaction normale à la trajectoire f⃗_R maintient la particule chargée sur sa trajectoire hélicoïdale.
La force de Lorentz provient de la contribution de deux composantes électromagnétiques : d'une part le champ E⃗_0(t) = E_0 cos(ωt)e⃗_z étudié au cours de la partie II. 1 et d'autre part la paire de champs (E⃗_1(t) = ω/2B_1 sin(ωt)e⃗_z ∧ (xe⃗_x + ye⃗_y + ze⃗_z), B⃗_1(t) = B_1 cos(ωt)e⃗_z) étudiée dans la partie II.3. Il existe bien sûr une composante B⃗_0 associée au premier des deux champs électriques. Mais elle n'intervient pas dans l'étude de la trajectoire de la charge, si bien que l'on n'en tient pas compte.
On notera que E⃗_1 s'exprime également dans le repère local associé aux coordonnées cylindriques comme :
E⃗_1 = ω/2B_1 Rsin(ωt)e⃗_θ.

- II.4.1

Exprimer la vitesse de la particule chargée dans le repère local de coordonnées cylindriques. En déduire la valeur de l'énergie cinétique de la particule en fonction de A, R, m_e et θ˙.

- II.4.2

Donner les expressions de la puissance de la force de rappel élastique f⃗_r, de la puissance de la force de réaction normale à la trajectoire f⃗_R et de la puissance de la force d'amortissement visqueux f⃗_v.

- II.4.3

Donner l'expression de la puissance de la force de Lorentz f⃗_L associée aux champs E⃗_0, E⃗_1 et B⃗_1.

- II.4.4

Enoncer, puis appliquer le théorème de la puissance cinétique à la particule chargée. Montrer que l'équation différentielle à laquelle obéit la variable θ(t) est donnée par :
m_e(A^2 + R^2)θ¨ + γ(A^2 + R^2)θ˙ + κA^2 θ = q(AE_0 cos(ωt) + (B_1)/2ωR^2 sin(ωt)).

- II.4.5

Calculer l'amplitude complexe Θ_– des oscillations de θ(t) = Re(Θ_–e^(jωt)) induites, en régime permanent, par les composantes E_0 et B_1 du champ électromagnétique extérieur.

- II.4.6

Le déplacement spatial de la charge est décomposé en une composante de moment dipolaire p⃗(t) et une composante de moment magnétique M^(→−)(t) définies comme suit :
p⃗(t), = Re(P_–e^(jωt))e⃗_z = qz(t)e⃗_z;; M^(→−)(t), = Re(M_–e^(jωt))e⃗_z = q/2R^2 θ˙(t)e⃗_z.
Montrer que P_– et M_– obéissent au système linéaire suivant :
P_–, = α_–_p E_0 − β_–jωB_1; M_–, = β_–jωE_0 + α_–_m ω^2 B_1.
Donner l'expression des trois coefficients complexes α_–_p, α_–_m et β_–. On posera, pour simplifier l'écriture des résultats : D(jω) = A^2 ω_0^2 + 2λjω(R^2 + A^2) − ω^2(R^2^– + A^2).

- II.4.7

Comment changent les coefficients α_–_p, α_–_m et β_– lorsque le pas de l'hélice est inversé, c'est-à-dire lorsque l'on change A en − A ?

II. 5 Pouvoir rotatoire

Soit un milieu dont les densités volumiques de moment électrique P⃗ et magnétique M⃗ vérifient les relations linéaires :
P⃗, = (ε − ε_0)E⃗ − ν(∂B⃗)/(∂t); M⃗, = ν^′(∂E⃗)/(∂t)
Les grandeurs ε, ν et ν^′ sont considérées comme des constantes. La constante ε = ε_r ε_0 représente la permittivité diélectrique du milieu et ε_0 celle du vide. Il est admis, sans démonstration, que la quatrième équation de Maxwell devient :
rot^(→−)B = μ_0[rot^(→−)M⃗ + (∂P⃗)/(∂t)] + ε_0 μ_0(∂E⃗)/(∂t)
tandis que les trois autres équations restent inchangées. Dans cette partie, les deux identités mathématiques suivantes sont utiles :
ΔA⃗(x, y, z) = grad^(→−)divA⃗ − rot^(→−)rot^(→−)A⃗
où A⃗ est ici un vecteur indépendant de x, y, z, et :
rot^(→−)(A⃗e^(− jkx)) = − jke⃗_x ∧ A⃗e^(− jkx)

- II.5.1

L'étude porte, dans cette question, sur un milieu diélectrique ordinaire caractérisé par ε > ε_0, ν = ν^′ = 0.
Montrer qu'une onde électromagnétique E_a e^(j(ωt − kx))e⃗_z se propage dans le milieu à une célérité c^′ à déterminer en fonction de ε_0, ε_r et μ_0, puis de ε_r et c.

- II.5.2

Dans le cas plus général pour lequel ε > ε_0, ν ≠ 0 et ν^′ ≠ 0, établir, à l'aide des équations de Maxwell rappelées précédemment, la relation suivante :
rot^(→−)B⃗ = μ_0 ε(∂E⃗)/(∂t) − μ_0(ν + ν^′)(∂^2 B⃗)/(∂t^2).

- II.5.3

En déduire l'équation de propagation portant sur B⃗ :
ΔB⃗ − μ_0 ε(∂^2 B⃗)/(∂t^2) − μ_0(ν + ν^′)rot^(→−)((∂^2 B⃗)/(∂t^2)) = 0.

- II.5.4

Montrer que l'onde polarisée circulairement B⃗_–_+ = B_+(e⃗_y + je⃗_z)e^(j(ωt − k_+x)) se propage dans le milieu à condition de vérifier une relation de dispersion liant k_+et ω à déterminer.

- II.5.5

Etablir de la même façon la relation de dispersion associée à la propagation de l'onde :
B⃗_–_− = B_−(e⃗_y − je⃗_z)e^(j(ωt − k_−x)).

- II.5.6

Exprimer la différence k_−^2 − k_+^2 en fonction de μ_0, ε_r, ω, ν et ν^′ dans la limite où ν et ν^′ sont suffisamment petits pour être considérés comme des termes de perturbation.
En déduire que les ondes B_–_–_+et B_–_–_−se propagent à des célérités différentes, et que le milieu possède donc un pouvoir rotatoire.

- II.5.7

Justifier, par des considérations de symétrie, qu'un milieu possédant un centre d'inversion ou un plan de symétrie ne peut avoir de coefficients ν et ν^′ non nuls.

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de physique 1 CCINP PC 2012 ?
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Sur quoi porte le sujet de physique 1 CCINP PC 2012 ?

Sur l'optique géométrique d'un gobelet à image cachée, puis sur le modèle de l'électron élastiquement lié : oscillations forcées, induction, mouvement d'une charge dans un champ magnétique et pouvoir rotatoire.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en physique 1 CCINP PC 2012 ?

Des conditions de Gauss incomplètes, des amplitudes complexes mal exploitées, des confusions entre conventions générateur et récepteur, un flux magnétique mal défini et la force de Lorentz donnée à la place de sa puissance.

Le sujet de physique 1 CCINP PC 2012 est-il long ?

Le jury le décrit de longueur modérée : de nombreux candidats l'ont abordé en entier, sauf les deux ou trois dernières questions, plus difficiles.

Quelle est la question la plus difficile de physique 1 CCINP PC 2012 ?

La question II.5.7, qui demandait de raisonner sur vecteurs et pseudo-vecteurs ; le jury indique que ce point n'a quasiment jamais été vu.

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