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Mines Physique 2 PC 2013Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Tension superficielle et énergie potentielle associée
  • Oscillateur harmonique amorti
  • Ondes mécaniques dans une chaîne discrète et équation de d'Alembert
  • Mécanique des fluides visqueux et puissance dissipée
  • Nombre de Reynolds et force de traînée
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Annales Mines PC PhysiqueMines PC 2013PC PhysiquePhysique 2013

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Présentation du sujet

Difficile
Rebonds d'une goutte d'eau sur une plaque hydrophobe : tension superficielle, modèles mécanique et ondulatoire du rebond, pertes visqueuses
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Le sujet de physique 2, Mines-Ponts PC 2013, modélise le comportement d'une goutte d'eau qui rebondit sur une plaque hydrophobe. Il étudie d'abord la forme d'équilibre de la goutte sous l'effet de la tension superficielle et de la pesanteur, puis propose un modèle mécanique masse-ressort-amortisseur du rebond, un modèle ondulatoire plus fin fondé sur une chaîne de masses reliées par des ressorts, une étude des pertes visqueuses lors du rebond, et enfin des pertes par traînée dans l'air pour estimer le nombre maximal de rebonds observables.

  1. 1Partie I : forme des gouttesÉnergie de tension superficielle d'une goutte cylindrique, détermination du rayon d'équilibre minimisant cette énergie, identification d'une raideur équivalente, puis influence de la pesanteur sur cet équilibre.
  2. 2Partie II : modèle mécanique du rebondModélisation masse-ressort-amortisseur de la chute puis du choc sur la plaque, résolution de l'équation différentielle amortie, nombre d'oscillations perceptibles, et détermination de l'instant de décollement de la goutte.
  3. 3Partie III : modèle ondulatoire du rebondModélisation de la goutte par une chaîne de masses reliées par des ressorts, passage à l'équation de d'Alembert, conditions aux limites, mode fondamental et temps de contact, puis rôle éventuel de la compressibilité de l'eau.
  4. 4Partie IV : étude des pertes lors du rebondPuissance dissipée par viscosité dans un écoulement de cisaillement modèle, application à la goutte qui se déforme, comparaison à son énergie cinétique et calcul du nombre de Reynolds des oscillations.
  5. 5Partie V : étude des pertes dans l'airPrise en compte de la force de traînée, définition d'une pesanteur effective différente à la montée et à la descente, décroissance de la hauteur des rebonds successifs et estimation du nombre maximal de rebonds observables.

Difficile. Le rapport qualifie le problème de très complet et long, avec des modélisations nombreuses et variées ; plusieurs questions (12, 13, 19, 22, 24, 34 à 37) ont été très rarement abordées ou traitées correctement, ce qui traduit une difficulté globale élevée malgré un barème valorisant les questions de cours.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Raideur négative obtenue sans s'en étonner · Centre de gravité mal placé, facteur 2 non détecté · Chute libre affirmée sans démonstration
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Ce problème très complet, en cinq parties, portait sur le comportement d'une goutte d'eau qui tombe sur un plan, mobilisant mécanique du point, mécanique des fluides et physique des ondes. Le sujet étant long, la majorité des candidats a adopté une attitude pragmatique en abordant le maximum de questions, souvent au détriment des commentaires attendus. De nombreux candidats, désireux de démontrer rapidement un résultat donné dans l'énoncé, ont manqué de discernement sans réaliser que leur démonstration était fausse ou incomplète. Le jury salue toutefois une connaissance approfondie du cours pour les questions d'application directe, ainsi qu'une présentation des graphes et des résultats majoritairement satisfaisante.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Raideur négative obtenue sans s'en étonnerQuestion 3

    Le développement limité permettant l'identification de la constante de raideur a souvent manqué de rigueur, et de nombreux candidats ont obtenu une constante de raideur négative sans s'en étonner.

    « de nombreux candidats ont obtenu une constante de raideur négative sans s'en étonner »
  2. 2
    Centre de gravité mal placé, facteur 2 non détectéQuestion 4

    Le calcul de l'énergie potentielle de pesanteur a régulièrement manqué de rigueur, de nombreux candidats obtenant le résultat attendu en prenant le centre de gravité de la goutte à la hauteur e au lieu de e/2, sans remarquer que leur calcul était différent d'un facteur 2.

    « de nombreux candidats obtiennent le résultat donné en prenant le centre de la goutte de gravité à la hauteur e, au lieu de e/2 »
  3. 3
    Chute libre affirmée sans démonstrationQuestion 7

    Les justifications apportées au caractère de chute libre sont généralement fausses ou inexistantes, par exemple en affirmant que la masse est négligeable donc que c'est une chute libre, sans démontrer que les autres forces sont nulles.

    « la masse est négligeable donc c'est une chute libre »
  4. 4
    Périodicité de la fonction tangente oubliéeQuestion 12

    Cette question a très rarement été traitée en entier, la plupart des erreurs étant liées au fait d'oublier que la fonction tangente est une fonction périodique.

    « La plupart des erreurs ont été liées au fait d'oublier que la fonction tan est une fonction périodique. »
  5. 5
    Dérivée spatiale confondue avec la vitesseQuestion 18

    De très nombreux candidats assimilent la dérivée spatiale du déplacement à la vitesse, et ne savent pas résoudre l'équation cosinus égal à zéro qui en résulte.

    « candidats assimilent ∂ε ∂z à la vitesse et ne savent pas résoudre l’équation »
  6. 6
    Raideurs additionnées à tort pour des ressorts en sérieQuestions 20 et 21

    L'association de deux ressorts en série a posé problème à une majorité de candidats, une quantité non négligeable d'entre eux ayant simplement additionné les raideurs au lieu de composer correctement les souplesses.

    « Une quantité non négligeable de candidats ont ajouté les raideurs »

Ce qui a été bien réussi

  • Les calculs du volume, de la surface et de l'énergie de tension superficielle (questions 1 à 3) ont souvent été bien menés.
  • La détermination et la résolution de l'équation différentielle amortie (questions 8 et 9) ont globalement été bien traitées.
  • Les questions 14, 15 et 16 sur l'équation d'onde ont été plutôt bien traitées.
  • La question 17 sur les conditions aux limites a été correctement traitée dans l'ensemble.
  • La question 33 sur la vitesse de chute a souvent été bien traitée quand elle a été abordée.

Conseils du jury

  • Ne pas négliger les commentaires et applications numériques, même brefs, permettant de comparer modèle et expérience.
  • Vérifier la validité d'une démonstration avant de conclure rapidement vers un résultat donné par l'énoncé.
  • Privilégier une définition de cours simple plutôt que de se lancer dans des calculs lourds et inutiles.
  • Argumenter et justifier rigoureusement une réponse plutôt que de deviner le résultat attendu.
  • Soigner la présentation des graphes et la mise en valeur des résultats, à laquelle le jury est très sensible.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2013 SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PC (Durée de l'épreuve: 4 heures) L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE II - PC.
L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages.
  • Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre.
  • Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

REBONDS D'UNE GOUTTE D'EAU

Il est possible de réaliser par traitement chimique d'une plaque métallique une surface plane parfaitement hydrophobe : une goutte d'eau posée sur cette surface n'y est en contact qu'en un seul point et on constate qu'elle adopte une forme sphérique si elle est suffisamment petite (observation O1).
Lorsqu'on lâche une goutte sphérique de rayon a_0 ≈ 1, 0 mm sans vitesse initiale à une hauteur h ≈ 10 cm au-dessus de la plaque supposée horizontale et qu'on filme avec une caméra rapide, on constate que la goutte reste au contact du plan hydrophobe pendant une durée τ de l'ordre de quelques millisecondes (observation O2). Pendant cette phase, la goutte s'aplatit puis s'arrondit avant de décoller.
Une fois qu'elle a décollé, la goutte qui a récupéré sa forme sphérique remonte jusqu'à une altitude maximale inférieure à h avant de retomber. Le processus se répète ensuite avec cinq à dix rebonds perceptibles (observation O3).
Le but du problème est de proposer des modèles simples tentant d'interpréter ces observations.
Toutes les définitions et données numériques utiles pour tout le problème sont rassemblées en fin d'énoncé. Dans tout le problème, exprimer ou déterminer une grandeur signifie en donner une expression littérale. En revanche calculer une grandeur signifie en donner une valeur numérique avec deux chiffres significatifs. Dans tout le problème, les vecteurs sont surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires ou d'une flèche dans le cas général, le champ de pesanteur g⃗ = − guˆ_z est uniforme et le référentiel terrestre supposé galiléen. Une quantité surmontée d'un point indique la dérivée totale par rapport au temps de cette quantité : a˙ = (da)/(dt).

I. - Forme des gouttes

Dans toute cette partie, la goutte est supposée au repos. Pour faciliter les calculs correspondants à l'observation O1, on adopte une géométrie différente de la réalité en considérant la goutte cylindrique de rayon a et de hauteur e comme représenté sur la figure 1. Du fait que le contact avec la goutte réelle est ponctuel, on admet que dans le modèle cylindrique, toute la surface du cylindre (y compris sa base) est en contact avec l'air; cela revient à supposer qu'une mince couche d'air sépare la base du cylindre de la plaque. L'expérience montre que les interactions entre l'eau et l'air sont associées à une énergie potentielle de la forme E_(p, t) = AS où S est l'aire de l'interface eau-air et A une
Figure 1 - Modèle
cylindrique
constante positive appelée coefficient de tension superficielle.

I.A. - Rôle de la tension superficielle

Dans la partie I.A on néglige la pesanteur.
  • 1 - Exprimer le volume V de la goutte cylindrique et sa surface totale de contact avec l'air S en fonction de a et e. En déduire que son énergie potentielle de tension superficielle se met sous la forme :
E_(p, t) = 2πAa^2 + (2AV)/a
2-Déterminer, pour V et A fixés, la valeur a_0 de a pour laquelle E_(p, t) passe par un minimum. On exprimera a_0 en fonction de V. Vérifier que la valeur correspondante de l'épaisseur de la goutte est e_0 = 2a_0, ce qui donne une géométrie << proche>> de la sphère. En déduire l'expression du minimum de l'énergie potentielle en fonction de A et a_0, tracer le graphe de E_(p, t) en fonction de a.
  • 3 - Déterminer, pour V et A fixés l'expression de (d^2 E_(p, t))/(da^2)|_(a = a_0) en fonction de A. En déduire qu'au voisinage de a = a_0, on peut mettre, à une constante additive près, l'énergie potentielle de tension superficielle sous une forme analogue à l'énergie potentielle élastique d'un ressort de raideur k, de longueur à vide ℓ_0 et de longueur a. On exprimera k en fonction de A et ℓ_0 en fonction de a_0. Calculer k et comparer à la raideur d'un ressort réel qui s'allonge de Δl = 1 cm lorsqu'on lui suspend une masse m = 100 g.

I.B. - Influence de la pesanteur

Dans cette partie on prend en compte la pesanteur. On prend l'origine des énergies potentielles de pesanteur à la base de la goutte de telle sorte que les cotes de ses faces inférieure et supérieure sont respectivement z = 0 et z = e. On fait l'hypothèse que l'énergie potentielle de pesanteur modifie très peu la valeur a_0 de a qui rend minimale l'énergie potentielle totale de la goutte. On supposera notamment que la relation entre V et a_0 obtenue à la question 2 reste vraie.
  • 4 - Montrer que, sous ces hypothèses, l'énergie potentielle de pesanteur de la goutte s'écrit
E_(p, g) = (2πμ_e ga_0^6)/(a^2)
  • 5 - On note a_1 = a_0(1 + ε) la valeur qui rend minimale l'énergie potentielle totale de la goutte. En supposant ε≪1 et en utilisant un développement limité, déterminer à l'ordre 1 l'expression de ε en fonction de a_0, μ_e, g et A. Interpréter le signe de ε. Vérifier a posteriori l'hypothèse ε≪1.

FIN DE LA PARTIE I

II. - Modèle mécanique du rebond

L'analyse de la partie I conduit à modéliser la tendance d'une goutte à reprendre une forme sphérique par un ressort de raideur k. Pour prendre en compte par ailleurs l'inertie de la goutte et d'inévitables frottements internes, on adopte le modèle de la figure 2 : on attache sous une masse ponctuelle m = 6, 3mg un patin (P) plan de masse nulle via un ressort de raideur k = 2, 6 N.m^(− 1) et de longueur à vide e_0 et un amortisseur qui exerce sur m une force de la forme F⃗ = − fe˙uˆ_z où e est la distance entre la masse m et le patin. Le ressort et l'amortisseur sont montés en parallèle. On néglige la masse du ressort et la masse de l'amortisseur. Dans ce modèle toute la masse de la goutte est concentrée en son sommet, cela sera corrigé dans la partie III.
Figure 2 - Modèle mécanique de la goutte
À chaque instant t, on repère les mouvements du système par la cote z(t) de la masse m et par la cote Z(t) = z(t) − e(t) du patin (P), la cote nulle étant prise sur la plaque fixe.

II.A. - Étude de la chute

Le système est abandonné avec les conditions initiales z(t = 0) = h + e_0, z˙(t = 0) = 0, e(t = 0) = e_0 et e˙(t = 0) = 0. On néglige les forces exercées par l'air.
  • 6 - En isolant le patin, montrer que e(t) reste constamment égal à e_0.
  • 7 - Justifier par ailleurs que l'évolution de z(t) correspond à une chute libre. En déduire, en fonction de g et h, l'expression du module de la vitesse v_0 = |z˙(t_0)| de la masse m à l'instant t_0 où le patin touche la plaque de cote z = 0. Calculer v_0.

II.B. - Étude du choc sur la plaque

On fixe désormais l'origine des temps t = 0 à l'instant où le patin touche la plaque. Du fait de sa masse nulle, sa vitesse devient instantanément nulle. On repère alors l'évolution de l'épaisseur e(t) avec les conditions initiales e(t = 0) = e_0 et e˙(t = 0) = − v_0. Dans toute la suite de cette partie on suppose que le poids de la goutte est négligeable devant les autres forces en jeu.
  • 8 - On suppose que le patin reste au contact de la plaque fixe en z = 0. Montrer que l'équation différentielle décrivant l'évolution de ε(t) = e(t) − e_0 se met sous la forme
ε¨ + (ω_0)/Qε˙ + ω_0^2 ε = 0
où l'on explicitera les constantes positives ω_0 et Q en fonction de m, k et f.
  • 9 - On suppose que Q^2≫1 et l'on néglige tous les termes en 1/Q^2. En déduire que la solution générale est de la forme ε(t) = exp(− (ω_0 t)/(2Q))[Bcos(ω_0 t) + Csin(ω_0 t)] et déterminer les constantes d'intégration B et C en fonction de v_0 et ω_0.
10 - Pour n ∈ ℕ, on note T_n la suite des instants correspondants aux extrema successifs (positifs ou négatifs) de ε(t). On admet que les oscillations de ε(t) sont perceptibles tant que leur amplitude ε(T_n) reste supérieure où égale à 10% de la valeur initiale ε(T_0). Exprimer le nombre d'oscillations perceptibles en fonction de Q. Combien peut-on en observer si Q = 5 ? On conservera cette valeur de Q dans toute la suite de cette partie.

II.C. Décollement de la goutte

On s'intéresse désormais à la possibilité de décollement du patin. On note R⃗ = Ruˆ_z l'action de contact exercée par la plaque fixe sur le patin.
11 - Établir l'expression de R en fonction de k, f, ε et ε˙.
12 - En limitant les calculs à l'ordre 1 en 1/Q, de simples substitutions non demandées donnent alors
R = mω_0 v_0 exp(− (ω_0 t)/(2Q)){sin(ω_0 t) + 1/Qcos(ω_0 t)}
Déterminer l'instant τ > 0 où le patin décolle. Calculer sa valeur, le modèle est-il en accord avec les observations? Quelle erreur relative commet-on si l'on néglige le terme en 1/Q dans l'expression de τ ?
  • 13 - Quelle loi de variation de τ en fonction du paramètre a_0, étudié dans la partie I, le modèle prévoitil? Une étude expérimentale menée sur des gouttes de rayon variant entre 0, 5 mm et 2 mm a permis de tracer le graphe de la figure 3 en échelle log-log. Tester la validité
Figure 3 − τ fonction de a_0

FIN DE LA PARTIE II

III. - Modèle ondulatoire du rebond

Le modèle de la partie II présente l'inconvénient de concentrer toute la masse de la goutte en son sommet. Par ailleurs les forces de tension superficielle, bien que ne n'existant qu'en surface ont une influence au sein de la goutte par le biais des forces de pression. On adopte donc dans cette partie un modèle plus respectueux du caractère continu du milieu envisagé mais afin d'éviter de lourds calculs on se limite à une géométrie unidimensionnelle et à de faibles déformations. De plus on ne s'intéresse qu'à la phase où la goutte est au contact de la plaque; on néglige donc la pesanteur.

III.A. - Équation d'onde

La goutte est modélisée comme sur la figure 4 par une chaîne de N masses M liées par des ressorts identiques de longueur à vide d_0 et de raideur K. Au repos la masse de numéro ( n ) est située à la cote nd_0 et on repère son mouvement par sa cote z_n = nd_0 + ξ_n(t).
Figure 4 - Modèle ondulatoire
14-En supposant 1 < n < N, établir l'équation du mouvement de la n-ième masse faisant intervenir les positions ξ_n(t), ξ_(n − 1)(t) et ξ_(n + 1)(t).
15 - On fait l'approximation des milieux continus en introduisant une fonction de deux variables ξ(z, t) telle que ξ(z = nd_0, t) = ξ_n(t) et en considérant de plus que d_0 → 0 pendant que N → + ∞. Montrer que ξ(z, t) est solution d'une équation de D'ALEMBERT faisant apparaître une célérité c que l'on exprimera en fonction de K, d_0 et M. Montrer que la force exercée par la partie inférieure de la chaîne sur la partie supérieure s'écrit
F⃗(z, t) = − Kd_0(∂ξ)/(∂z)uˆ_z
◻16 - On cherche des solutions de la forme ξ(z, t) = ξ_M sin(αz − φ)cos(ωt − ψ) avec 0 ≤ φ < π et 0 ≤ ψ < π. Établir l'expression de α > 0 en fonction de ω et c.

III.B. - Conditions aux limites - Conditions initiales

La chaîne de masses est finie et localisée au repos entre la cote z = 0 de la plaque et la cote z = 2a_0, de telle sorte que la masse inférieure est à tout instant au contact de la plaque.
17 - Quelle est la condition aux limites imposée par la plaque à la masse inférieure qui est directement posée sur elle? En déduire la valeur de φ.
  • 18 - Justifier le fait que (∂ξ)/(∂z)|_(z = 2a_0) = 0 à tout instant. En déduire que seule une suite de pulsations ω_i associées à un entier i sont possibles et les exprimer en fonction de i, a_0 et c.
  • 19 - Les conditions initiales ξ|_(t = 0) et (∂ξ)/(∂t)|_(t = 0) sont délicates à mettre en œuvre car au moment où la chaîne touche la plaque, elle est déformée par la pesanteur. On choisit donc comme nouvelle origine la position de la masse inférieure à t = 0. Les calculs complets étant hors de portée, on admet que seul le mode fondamental, de pulsation la plus basse, est présent avec φ = 0, ψ = 0 et ξ_M < 0. En déduire que la masse inférieure reste au contact de la plaque jusqu'à la date τ que l'on exprimera en fonction de a_0 et c.

III.C. - Retour à la goutte d'eau

Pour faire le lien entre ce modèle et la goutte, il convient d'expliciter c et donc K. On suppose donc qu'il y a N≫1 masses ponctuelles identiques M = m/N distantes au repos de d_0 = 2a_0/N.
  • 20 - Déterminer, en fonction de κ, l'expression de la raideur du ressort obtenu en associant en série deux ressorts de même raideur κ.
  • 21 - En déduire l'expression de la raideur K que doit posséder chaque ressort de la chaîne pour que celle-ci soit équivalente au ressort unique de raideur k de la question 3 modélisant les effets de la tension superficielle. On exprimera K en fonction de A et N.
  • 22 - Exprimer alors le temps de contact τ de la goutte en fonction de A, μ_e et de son rayon a_0. Calculer τ et comparer avec le résultat de la question 13 .

III.D. - Rôle éventuel de la compressibilité de l'eau

On se demande à présent si l'incompressibilité de l'eau peut être remise en cause.
  • 23 - Quel phénomène courant prouve le caractère compressible de l'eau? Comment peut-on mesurer très simplement son coefficient de compressibilité isentropique χ_s avec le matériel d'une salle de travaux pratiques? On ne demande pas un protocole détaillé mais juste le principe de la mesure.
24 - Si on omet l'influence de la tension superficielle et qu'on privilégie le caractère compressible de l'eau, on peut conserver le modèle utilisé dans cette partie à condition de remplacer la célérité c des ondes obtenue à la question 15 par la célérité du son dans l'eau c_e. Calculer dans ce cadre le temps de contact τ de la goutte d'eau sur la plaque et conclure.

FIN DE LA PARTIE III

IV. - Étude des pertes lors du rebond

On se propose dans cette partie de relier le nombre limité de rebonds (observation O3) à la dissipation d'énergie pendant le rebond de la goutte d'eau sur la plaque. Pour cela on étudie d'abord un écoulement plan simple afin d'établir une expression de la puissance dissipée par viscosité dans l'eau.

IV.A. - Puissance dissipée par viscosité dans un écoulement modèle

Dans cette question on envisage l'écoulement stationnaire d'un fluide de viscosité η et de masse volumique μ constantes entre deux plaques planes de cotes respectives z = 0 et z = e. La plaque inférieure est fixe alors que l'on déplace la plaque supérieure à vitesse constante U⃗ = Uuˆ_x (voir figure 5). L'épaisseur e étant faible, on néglige la pesanteur. On rappelle l'équation de Navier-Stokes :
μ((∂v⃗)/(∂t) + (v⃗ ⋅ grad)v⃗) = − gradp + ηΔv⃗
Figure 5 - Écoulement modèle
On cherche a priori un champ des vitesses sous la forme v⃗ = v(x, z)uˆ_x et un champ de pression de la forme p = p(z)
  • 25 - Montrer qu'en fait v⃗ = v(z)uˆ_x et que l'accélération des particules de fluide est nulle.
  • 26 - Montrer que le champ de pression est uniforme et que dans le cas général, v est une fonction affine de z. En considérant les conditions aux limites du problème, exprimer alors v en fonction de z, U et e.
  • 27 - Montrer que la force surfacique exercée par une particule de fluide sur la particule de fluide située sous elle s'écrit (dF⃗)/(dS) = f_s uˆ_x où l'on exprimera f_s en fonction de η, U et e.
  • 28 - En déduire que la puissance des actions de contact reçue par une particule de fluide de volume dθ = dxdydz de la part de ses voisines s'écrit dP_(ext) = ρdθ où l'on exprimera ρ en fonction de η, U et e. Commenter le signe de P_(ext) lorsqu'on applique ce résultat à l'ensemble du fluide.
  • 29 - En déduire l'expression de la puissance développée par les forces intérieures à une particule de fluide de volume dθ = dxdydz. Commenter son signe, qu'advient-il de cette puissance?

IV.B. - Cas de la goutte

On suppose que l'étude la partie IV.A peut être adaptée au cas de la goutte d'eau posée sur la plaque et qui se déforme. On estime que la puissance volumique dissipée par viscosité peut s'écrire sous la forme :
(dP)/(dθ) = η_e(1/e(de)/(dt))^2
où e(t) ≈ 2a(t) est l'épaisseur de la goutte et a(t) son rayon.
  • 30 - Donner une estimation de 1/e(de)/(dt) en fonction du temps de contact τ de la goutte. En déduire une expression de l'ordre de grandeur de l'énergie ΔE dissipée par viscosité au sein de la goutte pendant son rebond en fonction de η_e, a_0 et τ.
  • 31 - Soit E l'énergie cinétique de la goutte au moment où elle touche la plaque et où elle n'est pas encore déformée. Exprimer le rapport E/ΔE en fonction de τ, g, h, μ_e et η_e. En estimant la valeur de ce rapport, indiquer si les pertes pendant le rebond permettent d'interpréter l'observation O3.
  • 32 - Calculer en ordre de grandeur le nombre de Reynolds R_e correspondant aux oscillations de la goutte. En quoi le modèle de la partie IV.A est-il critiquable? Pour corriger ce modèle, on admet que la viscosité réelle de l'eau doit être remplacée par une viscosité effective η_(eff) = η_e R_e. Les pertes pendant le rebond permettent-elles alors d'interpréter l'observation O3?

FIN DE LA PARTIE IV

V. - Étude des pertes dans l'air

Pour estimer le nombre maximal de rebonds, on néglige désormais les pertes d'énergie lors du rebond et on se focalise sur les pertes d'énergie lors du déplacement de la goutte dans l'air. Dans cette partie la goutte est supposée sphérique de rayon a_0. Elle est lancée d'une hauteur h sans vitesse initiale à l'instant t = 0. Les actions de l'air sur la goutte sont modélisées uniquement par une force de traînée, ce qui suppose notamment que l'on néglige la poussée d'Archimède. De plus, on suppose que cette force de traînée est de la forme F⃗ = − μ_a πa_0^2 vv⃗

V.A. - Ordres de grandeurs

On néglige tout d'abord la traînée pour étudier le mouvement de la goutte.
  • 33 - Exprimer la vitesse v de la goutte de rayon a_0 lâchée d'une hauteur h lorsqu'elle passe à la hauteur z au-dessus de la plaque.
  • 34 - Exprimer le nombre de Reynolds R_e de la goutte lorsqu'elle se trouve à la hauteur z au-dessus de la plaque en fonction de η_a, μ_a, g, h, a_0 et z. Calculer R_e après un centimètre de chute et lorsque la goutte atteint la plaque. Commenter le choix adopté par l'énoncé pour l'expression de la force de traînée.

V.B. - Influence de la traînée sur le nombre de rebonds

La résolution analytique de l'équation du mouvement en présence de la traînée ne présentant pas d'intérêt pour évaluer un simple ordre de grandeur du nombre de rebonds, on simplifie davantage le modèle en remplaçant la traînée par sa valeur au moment de l'impact de la goutte sur la plaque, la vitesse de la goutte à cet instant étant estimée en l'absence de traînée.
  • 35 - Montrer que cette simplification revient à remplacer le champ de pesanteur g par une valeur effective g_−lorsque la goutte se dirige vers la plaque et g_+lorsqu'elle s'en éloigne. On écrira g_± = g(1 ± γ) et l'on exprimera la constante γ en fonction de μ_a, μ_e, h et a_0. Calculer γ et commenter sa valeur.
  • 36 - On note h_n l'altitude de la goutte après n rebonds en identifiant h_0 à la hauteur h de laquelle on lâche la goutte. Exprimer h_n en fonction de h, n et γ.
    ◻37 - Exprimer un ordre de grandeur du nombre de rebonds maximal N en fonction de μ_e, μ_a, h et a_0. Calculer N et commenter ce résultat compte-tenu de l'observation O3.

FIN DE LA PARTIE V

Données numériques

  • Masse volumique ⟨de l'eau : μ_e = 1, 0 ⋅ 10^3 kg ⋅ m^(− 3); de l'air : μ_a = 1, 3 kg ⋅ m^(− 3)
  • Viscosité dynamique {de l'eau : η_e = 1, 0 ⋅ 10^(− 3) Pa.s; de l'air : η_a = 1, 8 ⋅ 10^(− 5) Pa.s
  • Célérité du son ⟨dans l'eau: c_e = 1, 4 ⋅ 10^3 m.s^(− 1); dans l'air : c_a = 3, 4 ⋅ 10^2 m.s^(− 1)
  • Coefficient de tension superficielle entre l'eau et l'air : A = 7, 0 ⋅ 10^(− 2) N.m^(− 1)
  • Rayon de la goutte d'eau considérée : a_0 = 1, 0 mm
  • Hauteur de laquelle les gouttes sont lâchées : h = 10 cm.
  • Champ de pesanteur : g = 9, 8 m.s^(− 2).

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique 2 Mines-Ponts PC 2013 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique 2 Mines-Ponts PC 2013 ?

Le sujet porte sur la tension superficielle d'une goutte d'eau, l'oscillateur harmonique amorti, les ondes mécaniques dans une chaîne discrète (équation de d'Alembert), la puissance dissipée par viscosité et la force de traînée.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de physique 2 Mines-Ponts PC 2013 ?

Le rapport ne communique aucune moyenne ni écart-type chiffrés pour cette épreuve.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à cette épreuve de physique 2 Mines-Ponts PC 2013 ?

Le jury relève des développements limités manquant de rigueur, des justifications de chute libre absentes ou fausses, un oubli de la périodicité de la fonction tangente, une confusion entre dérivée spatiale et vitesse, et des raideurs de ressorts en série additionnées à tort.

Cette épreuve de physique 2 Mines-Ponts PC 2013 est-elle difficile ?

Le rapport la juge très complète et longue, avec plusieurs questions très rarement abordées ou traitées correctement (12, 13, 19, 22, 24, 34 à 37), même si les questions d'application directe du cours ont été bien réussies par de nombreux candidats.

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