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Mines Mathématiques 2 PC 2013Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Le rayon de Bohr : majoration des coefficients d'une série entière bornée sur le disque unité
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Le problème établit le théorème de Harald Bohr : si une série entière de rayon au moins 1 est bornée par 1 sur le disque unité, la somme des modules de ses termes reste inférieure à 1 pour |z| ≤ 1/3. La première partie le démontre avec les coefficients de Fourier, la deuxième montre que la constante 1/3 est optimale grâce à un exemple explicite, et la troisième obtient une majoration valable au-delà de 1/3 par des arguments d'algèbre linéaire.

  1. 1Partie 1 : séries entièresCoefficients de Fourier de h(re^(iθ)), convergence normale, positivité d'un noyau et démonstration de la majoration pour |z| ≤ 1/3.
  2. 2Partie 2 : le rayon de BohrÉtude de f(z) = (z − λ)/(1 − λz) à partir du développement de 1/(1 − z) pour prouver que la constante 1/3 ne peut pas être améliorée.
  3. 3Partie 3 : au-delà de |z| = 1/3Formule de type Parseval, matrice 2 × 2 positive, déterminant et valeurs propres, puis majoration générale par une fonction M(r).

Difficile. Selon le rapport, une majorité de candidats a rendu une copie presque vide et seuls 20 % environ ont su traiter les premières questions sur les coefficients de Fourier.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Séries de Fourier non maîtrisées · Règles fausses sur les complexes · Interversions somme-intégrale non justifiées
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Le jury parle d'un grand gâchis : beaucoup de candidats ignoraient tout des séries de Fourier et ont sombré dès la première partie. Les nombres complexes posent toujours de grosses difficultés, et les interversions somme-intégrale sont rarement justifiées. Les questions d'algèbre linéaire de la troisième partie ont en revanche rapporté des points à beaucoup de candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Séries de Fourier non maîtrisées

    Avec des coefficients complexes, il fallait utiliser les coefficients de Fourier exponentiels. Beaucoup ont choisi la version en cosinus et sinus et perdu leur temps.

    « Le sujet a révélé l'absence totale de connaissances sur les séries de Fourier pour de très nombreux candidats »
  2. 2
    Règles fausses sur les complexesQ2

    La partie réelle n'est pas multiplicative. Dans la deuxième partie, traiter z comme un réel fait confondre valeur absolue et module.

    « invoquent la multiplicativité de la fonction partie réelle »
  3. 3
    Interversions somme-intégrale non justifiées

    Écrire « car il y a convergence normale » ne suffit pas. La convergence normale attendue portait sur la variable θ dans [0, 2π], pas sur le disque de convergence.

    « les candidats s'entêtent à permuter sans scrupules intégrales et sommes infinies »
  4. 4
    Calculs de la deuxième partie abandonnés

    La plupart s'arrêtent à l'expression des coefficients sans mener le calcul, pourtant sans difficulté. Personne n'a pensé à multiplier les coefficients par un facteur de phase pour obtenir (H2).

  5. 5
    Résultats précédents non réutilisés

    Dans la troisième partie, une question a été largement manquée faute de penser à la formule de la question 12. Les cas r < 1/3 et r ≥ 1/3 sont aussi très rarement distingués.

    « La question a été largement maltraitée car dans l'ensemble les candidats n'ont pas pensé à utiliser la question 12. »

Ce qui a été bien réussi

  • Une petite vingtaine de candidats a traité correctement toutes les questions sauf la dernière.
  • La positivité du noyau et son rôle dans la majoration ont été bien vus en première partie.
  • L'implication (H4) ⇒ (H3) a été bien vue en deuxième partie.
  • Les questions d'algèbre linéaire de la troisième partie, dont l'usage du théorème de Parseval, sont plutôt réussies.

Conseils du jury

  • Ne pas négliger les séries de Fourier : les questions attendues sont classiques et peu variées.
  • Vérifier sa dextérité dans la manipulation des nombres complexes.
  • Justifier chaque interversion entre intégrale et somme infinie ou dérivation par la convergence uniforme, normale ou dominée.
  • En cas de blocage au début, passer à une autre partie du sujet puis revenir aux premières questions.
  • Mettre en évidence les résultats et les arguments essentiels de chaque preuve.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2013

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : trois heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Le rayon de Bohr

On note C l'ensemble des nombres complexes, N l'ensemble des nombres entiers, R l'ensemble des nombres réels, et R^+l'ensemble des nombres réels positifs. On note ℜ𝔢(z) la partie réelle du nombre complexe z.
(H1) On dit que la fonction g : C → C vérifie l'hypothèse (H1) si elle possède un développement en série entière au voisinage de l'origine, de rayon de convergence supérieur ou égal à 1 .

1 Séries entières

Soit ∑_(n ∈ N)a_n z^n une série entière, où z ainsi que les coefficients a_n sont complexes. On pose
h(z) = ∑_(n ∈ N)a_n z^n et H_r(θ) = h(re^(iθ)), où r = |z| et θ = Argz.
On suppose désormais que la fonction h vérifie l'hypothèse (H1).
Soit r ∈ ]0, 1[.
Question 1 Déterminer les coefficients de Fourier de H_r et H_r^– en fonction de r et des a_k.
Question 2 En fonction du signe de n, en déduire les différentes expressions de
1/π∫_(− π)^(+ π)ℜ𝔢(h(re^(iθ)))e^(− inθ)dθ
On suppose que, outre (H1), la fonction h vérifie l'hypothèse suivante:
(H2) le coefficient a_0 du développement en série entière de h est réel, positif ou nul.
Question 3 Montrer que
a_0 = 1/(2π)∫_(− π)^(+ π)ℜ𝔢(h(re^(iθ)))dθ
On pose a_n = |a_n|e^(iφ_n), et on choisit τ ∈ ]0, 1[.
Question 4 Montrer que
∑_(n ∈ N)|a_n|τ^n r^n = 1/π∫_(− π)^(+ π)ℜ𝔢(h(re^(iθ)))(1/2 + ∑_(n ≥ 1)τ^n(cos(nθ + φ_n)))dθ
On choisit maintenant τ ∈ ]0, 1/3]
Question 5 Déterminer le signe de 1/2 + ∑_(n ≥ 1)τ^n(cos(nθ + φ_n)). Montrer que
∑_(n ∈ N)|a_n|τ^n r^n ≤ max_(− π ≤ θ ≤ π)|ℜ𝔢(h(re^(iθ)))|
(H3) On dit que la fonction g : C → C vérifie l'hypothèse (H3) si, ∀r ∈ [0, 1[, max_(− π ≤ θ ≤ π)|ℜ𝔢(g(re^(iθ)))| ≤ 1.
Question 6 En admettant que h vérifie les hypothèses (H1), (H2) et (H3), montrer que ∑_(n ∈ N)|a_n||z|^n ≤ 1, dès que |z| ≤ 1/3.

2 Le rayon de Bohr

On considère maintenant la fonction f(z) = ∑_(n ∈ N)b_n z^n, vérifiant l'hypothèse (H1) ainsi que
(H4) |f(z)| ≤ 1∀|z| < 1.
Question 7 A l'aide du résultat de la question 6 montrer que
∑_(n ∈ N)|b_n||z|^n ≤ 1, ∀|z| < 1/3.
La valeur |z| = 1/3 constitue le rayon de Bohr de la série ∑_(n ∈ N)b_n z^n.
On considère maintenant le cas particulier de la fonction f_λ donnée par
f_λ(z) = (z − λ)/(1 − λz)
où λ ∈ R^+.
Question 8 Sous quelles conditions relatives à λ, la fonction f_λ vérifie-t-elle les hypothèses (H1) et (H4) ?
En admettant que λ vérifie ces conditions, on note b_n(λ) les coefficients du développement en série entière de f_λ : f_λ(z) = ∑_(n ∈ N)b_n(λ)z^n.
Question 9 Déterminer en fonction de λ les valeurs de |z| telles que ∑_(n ∈ N)|b_n(λ)||z|^n ≤ 1.
Question 10 Démontrer que si |z| ∈ ]1/3, 1[, alors il existe λ ∈ ]0, 1[ tel que ∑_(n ∈ N)|b_n(λ)||z|^n > 1.
Question 11 En déduire que la constante 1/3 obtenue à la question 7 ne peut être améliorée sans hypothèse supplémentaire sur f.

3 Au-delà de |z| = 1/3…

Nous venons de démontrer que, sous les hypothèses (H1) et (H4) l'estimation (4) est optimale. Dans ce paragraphe on établit une estimation plus générale, valable au-delà du rayon de Bohr r = 1/3.
Question 12 Montrer que si f et g vérifient (H1), où
f(z) = ∑_(n ∈ N)b_n z^n et g(z) = ∑_(n ∈ N)c_n z^n
alors ∀r ∈ ]0, 1[
∑_(n ∈ N)b_n c_n^–r^(2n) = 1/(2π)∫_(− π)^π f(re^(iθ))g(re^(iθ))^–dθ
On pose
|||f||| = (sup_(0 ≤ r < 1)∑_(n ∈ N)|b_n|^2 r^(2n))^(1/2)
sous réserve que cette dernière quantité soit finie.
L'ensemble des fonctions de z ∈ C qui vérifient (H1) et (H4) et, par souci de simplification, dont les coefficients du développement en série entière sont réels est noté E.
On suppose désormais que f ∈ E.
Question 13 En s'aidant de la question 12, montrer que |‖f|‖ ≤ 1.
On admettra que |||f||| est une norme sur l'espace vectoriel E.
On note V_n l'espace vectoriel des fonctions de la variable complexe z de la forme ψ(z) = α + βz^n où α et β appartiennent à R.
On note P_n, n ≥ 1, l'application qui à g = ∑_(n ∈ N)c_n z^n vérifiant ( H1 ) et dont les coefficients c_n sont réels, fait correspondre la fonction g_n ∈ V_n définie par g_n(z) = c_0 + c_n z^n.
On note A_f l'application qui à ψ ∈ V_n fait correspondre la fonction fψ; on rappelle que le produit de Cauchy de deux séries entières de rayon de convergence supérieur ou égal à 1 est une série entière de rayon de convergence supérieur ou égal à 1 .
Question 14 Démontrer que pour tout ψ ∈ V_n, |||A_f(ψ)||| ≤ |||ψ||| et en déduire que ‖|P_n ∘ A_f(ψ)‖| ≤ ‖|ψ|‖.
On note S la bijection de V_n dans R^2, qui à ψ définie par ψ(z) = α + βz^n fait correspondre le vecteur Ψ = (α/β).
Question 15 Déterminer la matrice 𝔻 de l'application linéaire qui à (α/β) fait correspondre S ∘ P_n ∘ A_f(ψ) où ψ = S^(− 1)(α/β) = α + βz^n.
On munit R^2 de la norme euclidienne : ‖Ψ‖ = √(|α|^2 + |β|^2), dérivant du produit scalaire (Ψ|Θ) = αγ + βδ, où Ψ = (α/β) et Θ = (γ/δ).
Question 16 Montrer que pour tout Ψ, et pour tout Θ ∈ R^2, (Ψ|𝔻Θ) = (^t 𝔻Ψ|Θ).
On dit que la matrice 𝔸 est positive si et seulement si (𝔸Ψ|Ψ) ≥ 0 pour tout Ψ ∈ R^2. On note II la matrice identité.
Question 17 Déduire de la question 14 que 𝔸 = 𝕀 − ^t 𝔻𝔻 est positive. En déduire que b_0^2 ≤ 1 et que les valeurs propres de 𝔸 sont positives ou nulles.
Question 18 En déduire que |b_n| ≤ 1 − b_0^2. On pourra s'aider du calcul du déterminant de 𝔸.
Pour 0 ≤ r < 1, on pose
M(r) = sup_(0 ≤ t ≤ 1)(t + (1 − t^2)r/(1 − r)).
Question 19 Montrer que
∀|z| < 1, ∑_(n ∈ N)|b_n z^n| ≤ M(|z|).
Question 20 Déterminer M ( r ) pour r ∈ [0, 1[.
On pose
m(r) = min(M(r), (1 − r^2)^(− 1/2)).
Question 21 Montrer que ∀ε ∈ ]0, 1[,
∑_(n ∈ N)|b_n z^n| ≤ (∑_(n ∈ N)b_n^2|1 − ε|^(2n))^(1/2)(1 − |z|^2/|1 − ε|^2)^(− 1/2).
En déduire à l'aide de la question 13 que
∀|z| < 1, ∑_(n ∈ N)|b_n||z|^n ≤ m(|z|).

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 2 PC 2013 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 2 PC 2013 ?

Sur les séries de Fourier et les séries entières à coefficients complexes dans les deux premières parties, puis sur l'algèbre linéaire euclidienne (matrice positive, valeurs propres) dans la troisième.

Quelles erreurs le jury de Mines maths 2 PC 2013 a-t-il relevées ?

L'ignorance des séries de Fourier, des règles fausses sur les nombres complexes comme la multiplicativité de la partie réelle en question 2, et des interversions somme-intégrale sans justification.

Le sujet Mines maths 2 PC 2013 contient-il des erreurs d'énoncé ?

Le jury en signale deux, sans conséquence pour les candidats : l'ensemble E n'est pas un espace vectoriel, et la question 21 devait préciser la condition sur |z|.

Comment gagner des points sur Mines maths 2 PC 2013 sans maîtriser les séries de Fourier ?

Le jury note que les questions de séries entières de la deuxième partie et surtout d'algèbre linéaire de la troisième ont permis aux candidats bloqués au début d'obtenir des notes au-dessus de la moyenne.

Pas de description pour le moment