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Mines Mathématiques 2 PC 2014Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Mathématiques II Mines PC : opérateur de moyenne sur les fonctions continues
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Le sujet étudie un opérateur de moyenne sur l'espace des fonctions continues de R dans R. Il teste l'assimilation de la quasi-totalité du programme d'analyse de PC : calcul intégral, équations différentielles, techniques de majoration, fonctions périodiques et séries de Fourier, en s'appuyant notamment sur le cas des périodes commensurables et incommensurables.

  1. 1Partie 1 : l'opérateur de moyenneDéfinition et propriétés de l'opérateur de moyenne, notamment sa linéarité et son caractère borné.
  2. 2Partie 2 : le cas périodiqueÉtude du cas des périodes commensurables puis incommensurables, mobilisant les séries de Fourier et des techniques de majoration.

Difficile. Le rapport signale que des questions situées vers le milieu du problème, testant des théorèmes de début de première année, ont révélé un manque de connaissance du cours et une fâcheuse tendance au verbiage dans de trop nombreuses copies.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Théorème fondamental de l'analyse mal invoqué · Linéarité partiellement traitée · Fonction croissante supposée tendre vers l'infini
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Le sujet testait l'assimilation de pratiquement tout le programme d'analyse de PC, mais des questions relativement simples ont révélé un manque de connaissance du cours et une tendance au verbiage plutôt qu'à la citation précise de théorèmes, jugée aux antipodes d'un discours scientifique.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Théorème fondamental de l'analyse mal invoquéQ1

    Le théorème fondamental de l'analyse, faisant le lien entre intégrales et primitives d'une fonction continue, est le point central de la question 1 mais est rarement évoqué de façon précise.

  2. 2
    Linéarité partiellement traitéeQ2

    De nombreux candidats oublient le morphisme dans endomorphisme, certains ne traitant qu'à moitié la linéarité par oubli de la multiplication par un scalaire.

  3. 3
    Fonction croissante supposée tendre vers l'infiniQ7-Q8

    Beaucoup de candidats pensent qu'une fonction croissante tend nécessairement vers l'infini, au lieu de citer un théorème précis pour conclure qu'elle est bornée et atteint ses bornes.

  4. 4
    Minimum supposé exister sans justificationQ15

    De nombreux candidats semblent persuadés qu'une partie de R non vide et minorée admet toujours un minimum, sans savoir exploiter le caractère discret de l'ensemble considéré.

  5. 5
    Majoration laissée impliciteQ12

    On peut regretter que la majoration nécessaire à la question 12 reste bien souvent implicite.

Ce qui a été bien réussi

  • Le théorème de convergence normale est en général reconnu à la question 17, même si sa rédaction reste floue.
  • Certaines copies, parmi les meilleures, ont su mener à terme la question technique 13.
  • Les grandes lignes des questions 5 et 6, bien que peu abordées, ont été correctement identifiées par certains candidats.

Conseils du jury

  • Citer précisément les énoncés de théorèmes du programme plutôt que de développer de longs discours approximatifs.
  • Bien distinguer le fait qu'une fonction soit définie du fait qu'elle soit continue.
  • Réviser le programme de première année, notamment les théorèmes sur les fonctions bornées et les parties de R.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière MP). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2014

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Opérateur de moyenne

Notations

On note C l'ensemble des nombres complexes, R l'ensemble des réels, R^∗ l'ensemble des réels non nuls, R_+^∗ l'ensemble des réels strictement positifs et R_−^∗ l'ensemble des réels strictement négatifs. On note N l'ensemble des entiers naturels, N^∗ l'ensemble des entiers naturels non nuls, Z l'ensemble des entiers relatifs et Z^∗ l'ensemble des entiers relatifs non nuls.
On note 𝒞^0 l'ensemble des fonctions continues sur R, à valeurs dans R, 𝒞_b^0 l'ensemble des fonctions bornées appartenant à 𝒞^0 et 𝒞_+^(0∗) l'ensemble des fonctions appartenant à 𝒞^0 à valeurs dans R_+^∗.
On note ‖ ⋅ ‖ la norme de la convergence uniforme sur 𝒞_b^0 : si f est continue et bornée sur R, ‖f‖ = sup_(x ∈ R)|f(x)|.
Dans tout le problème la fonction f est un élément de 𝒞^0 et la fonction ω un élément de 𝒞_+^(0∗).

1 L'opérateur de moyenne

Pour x ∈ R^∗, on pose
φ_ω(x) = 1/(∫_0^x ω(t)dt)∫_0^x f(t)ω(t)dt
Question 1 Montrer que la formule (1) définit une fonction φ_ω continue sur R^∗ et qu'elle se prolonge continûment à R. Déterminer lim_(x → 0)φ_ω(x).
On notera encore φ_ω ce prolongement.
On note A_ω l'application qui à f fait correspondre φ_ω.
Question 2 Montrer que A_ω définit un endomorphisme de 𝒞^0; est-ce également un endomorphisme de 𝒞_b^0 ?
Question 3 Démontrer que A_ω est injectif.
On dit que λ est une valeur propre de A_ω sur 𝒞_b^0, s'il existe u ∈ 𝒞_b^0 non identiquement nulle telle que A_ω(u) = λu. La fonction u est alors un vecteur propre associé à la valeur propre λ.
Question 4 Déterminer l'équation différentielle satisfaite par la restrictions à R_+^∗ d'un vecteur propre u de A_ω.
Question 5 Résoudre cette équation différentielle dans R_+^∗. Montrer que sa solution ne peut se prolonger par continuité en 0 que si λ ∈ ]0, 1].
Question 6 Dans le cas où ω est intégrable sur R^+déterminer l'ensemble des valeurs propres de A_ω et les sous-espaces propres associés (on pourra distinguer le cas λ = 1 ).

2 Le cas périodique

On suppose désormais que ω est τ-périodique et que f est T-périodique, où τ et T sont des réels strictement positifs.
Question 7 Montrer que ∫_0^x ω(t)dt tend vers + ∞ quand x → + ∞.
Question 8 Montrer que ω admet un maximum et un minimum strictement positifs.

Périodes commensurables

On suppose dans ce paragraphe que τ/T est rationnel.
Question 9 Déterminer θ > 0 tel que pour tout x,
ω(x + θ) = ω(x) et f(x + θ) = f(x)
On note E l'application partie entière de R dans Z, et pour θ ∈ R_+^∗,
E_θ(x) = θE(x/θ), où x ∈ R.
Question 10 Représenter graphiquement la fonction E_θ pour − 2θ ≤ x ≤ 3θ.
Question 11 Déterminer A_ω(f) ∘ E_θ sur[kθ, (k + 1)θ[ où k ∈ Z^∗. Démontrer que
(A_ω(f) ∘ E_θ)(x) = A_ω(f)(θ)
pour x ∈ [0, θ[.
Question 12 Montrer que |∫_(E_θ(x))^x f(t)ω(t)dt| ≤ θ‖f‖‖ω‖.
Question 13 Démontrer que, pour x ∈ R_+^∗
|(A_ω(f) − A_ω(f) ∘ E_θ)(x)| ≤ (θ‖f‖‖ω‖)/(xminω)((‖ω‖)/(minω) + 1)
Question 14 En déduire que A_ω(f) ∈ 𝒞^0 et possède une limite lorsque x tend vers + ∞ et en donner une expression. Qu'en est-il lorsque x tend vers − ∞ ?

Périodes incommensurables

On suppose dans ce paragraphe que τ/T est irrationnel.
Pour N ∈ N^∗, on note Z_N = {n ∈ Z| − N ≤ n ≤ N}.
Question 15 Pour n ∈ Z_N∖{0}, on pose S_n(τ, T) = {|mT + nτ| où m ∈ Z}. Démontrer que S_n(τ, T) admet un minimum non nul.
Question 16 On pose S(N, τ, T) = {|mT + nτ| où m ∈ Z, n ∈ Z_N∖{0}}. Démontrer que S(N, τ, T) admet un minimum non nul.
On suppose à présent que ω est non seulement continue, mais de classe 𝒞^1 par morceaux
Question 17 Démontrer qu'il existe des nombres complexes γ_m, où m ∈ Z, tels que ∑_(m ∈ Z)|γ_m| converge et tels que pour tout n ∈ Z,
∫_0^x ω(t)e^(2iπnt/T) dt = ∑_(m ∈ Z)γ_m∫_0^x e^(2iπt(n/T + m/τ))dt
Question 18 Soit p(t) = ∑_(n = − N)^(+ N)c_n e^(2iπnt/T), où les c_n appartiennent à C, montrer qu'il existe K > 0 tel que ∀x ∈ R_+^∗
|A_ω(p)(x) − 1/T∫_0^T p(t)dt| ≤ K/(∫_0^x ω(t)dt)
On rappelle le théorème de Weierstrass trigonométrique : pour toute fonction f continue, T-périodique et tout ε > 0, il existe un polynôme trigonométrique p, soit
p(t) = ∑_(n ∈ Z_N)c_n e^(2iπnt/T) où c_n ∈ C,
tel que ‖f − p‖ ≤ ε/3.
Question 19 En déduire que A_ω(f)(x) tend vers une limite lorsque x → + ∞, et en donner une expression.

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte mathématiques II Mines PC 2014 ?
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Sur quels chapitres porte mathématiques II Mines PC 2014 ?

Le sujet porte sur le calcul intégral, les équations différentielles, les techniques de majoration, les fonctions périodiques et les séries de Fourier, à travers l'étude d'un opérateur de moyenne.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à mathématiques II Mines PC 2014 ?

Un théorème fondamental de l'analyse mal invoqué, une linéarité partiellement traitée, la croyance qu'une fonction croissante tend nécessairement vers l'infini, et une tendance générale au verbiage plutôt qu'à la citation précise de théorèmes.

Mathématiques II Mines PC 2014 nécessite-t-il de bien connaître le programme de première année ?

Oui, le rapport souligne que des questions testant des théorèmes de début de première année ont révélé un manque de connaissance du cours chez de nombreux candidats.

Pas de description pour le moment