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Mines Mathématiques 1 PC 2014Sujet, corrigé et rapport du jury

Somme de projecteurs

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Somme de projecteurs : caractériser les endomorphismes sommes finies de projecteurs
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Le problème caractérise les endomorphismes d'un espace réel de dimension finie qui s'écrivent comme somme finie de projecteurs. La partie 1 établit des conditions nécessaires (trace entière et supérieure au rang). Les parties 2 et 3 montrent, pour un endomorphisme qui n'est pas une homothétie, l'existence d'une base où la diagonale est prescrite, et la partie 4 en déduit que les conditions sont suffisantes.

  1. 1Partie 1 : traces et projecteursPropriétés de la trace, décomposition associée à un projecteur, égalité entre rang et trace d'un projecteur et conditions nécessaires sur une somme de projecteurs (questions 1 à 7).
  2. 2Partie 2 : projecteurs de rang 1Lemme technique écrit matriciellement dans une base adaptée à un projecteur de rang 1 (questions 8 à 10).
  3. 3Partie 3 : endomorphismes différents d'une homothétieCaractérisation des homothéties, base à diagonale nulle quand la trace est nulle, puis base à diagonale prescrite par récurrence sur la dimension (questions 11 à 16).
  4. 4Partie 4 : décomposition en somme de projecteursRéduction à une forme par blocs puis écriture de l'endomorphisme comme somme finie de projecteurs (questions 17 à 20).

Difficulté moyenne. Le rapport juge le sujet de longueur raisonnable, avec une première partie proche du cours, mais les questions 13 et 14 ont reçu très peu de réponses satisfaisantes.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Propriétés de la trace malmenées · Erreurs de logique dans les questions proches du cours · Dimension d'une somme et rang
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Le sujet, de longueur raisonnable, s'appuyait surtout sur les bases de l'algèbre linéaire et a permis un bon étalement des notes ; les meilleurs l'ont presque terminé. Les correcteurs ont été surpris par le nombre de copies quasiment vides et par des confusions de notions surprenantes après deux années de préparation. Seules les questions 1 à 18 ont été traitées par un nombre conséquent de candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Propriétés de la trace malmenéesQuestions 1 et 2

    Certains affirment que la trace d'un produit est le produit des traces ; d'autres admettent l'invariance par similitude au lieu de la déduire de la question 1.

    « Certains, cependant, se bornent à affirmer que deux matrices semblables ont même trace. »
  2. 2
    Erreurs de logique dans les questions proches du coursQuestion 5

    Oubli des réciproques et équivalences non justifiées dans des raisonnements par double inclusion.

    « oubli des réciproques, ou équivalences non justifiées »
  3. 3
    Dimension d'une somme et rangQuestions 6 et 7

    La réunion de deux bases n'est pas en général une base de la somme, le rang n'est pas additif et l'image d'une somme n'est pas la somme des images.

  4. 4
    Calcul par blocs mal maîtriséQuestions 8 à 10

    Le problème demandait d'être à l'aise avec le produit matriciel et les blocs, en précisant clairement la base utilisée.

    « Ces derniers semblent peu familiers à la majorité des candidats. »
  5. 5
    Fausse contrapositionQuestion 11

    Dans la caractérisation des homothéties, une contraposée erronée rend le résultat faussement évident.

    « On note une erreur de logique récurrente : fausse contraposition, qui rend le résultat évident. »
  6. 6
    Récurrences mal rédigéesQuestions 13 et 16

    L'hypothèse de récurrence doit être écrite, l'initialisation faite et le passage d'un rang au suivant clair ; invoquer l'invariance de la trace ne suffit pas.

    « l'hypothèse est rarement écrite, l'initialisation est souvent absente »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions de cours 1 à 3 sont traitées par la majorité des candidats.
  • La question 5 a été assez souvent bien traitée.
  • La question 15, facile, a souvent été bien réussie, y compris dans des copies plutôt faibles.
  • Les meilleurs candidats ont quasiment terminé le sujet.

Conseils du jury

  • Travailler le cours en profondeur : définitions, énoncés des théorèmes et démonstrations des résultats principaux.
  • Rédiger avec soin les premières questions, faciles, pour convaincre le correcteur de sa solidité.
  • S'entraîner au produit matriciel et au calcul par blocs.
  • Ne pas masquer une incompréhension par un discours flou ou un passage en force, ce qui est lourdement pénalisé.
  • Rédiger de façon claire et concise et encadrer les résultats.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière MP). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2014

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Somme de projecteurs

Notations

On note N l'ensemble des entiers naturels, R l'ensemble des réels et ℳ_n l'ensemble des matrices n × n à coefficients réels.
Dans tout le problème, X est un espace vectoriel de dimension n ≥ 2 sur le corps des réels et T un endomorphisme non nul de X.
Soit ℬ une base de X, on note 𝕋_ℬ la matrice représentant T dans cette base.
On note N(T) le noyau de T et R(T) l'image de T .
On dit que T est une homothétie si c'est un multiple scalaire de l'identité.
On appelle projecteur un endomorphisme P de X idempotent, c'est-à-dire tel que P^2 = P.
On note I l'endomorphisme identité de X, 𝕀_n la matrice identité de ℳ_n et 𝕆 la matrice nulle.

1 Traces et projecteurs

Si 𝔸 ∈ ℳ_n, on appelle trace de 𝔸 le nombre réel suivant :
tr𝔸 = ∑_(i = 1)^n a_(ii)
Question 1 Soient 𝔸 et 𝔹 ∈ ℳ_n, montrer que tr𝔸𝔹 = tr𝔹𝔸.
Question 2 Montrer que la trace de la matrice 𝕋_ℬ associée à T est indépendante de la base ℬ.
On appelle trace de T , notée tr T , la valeur commune des traces des matrices représentant T . On dit que la trace est un invariant de similitude.
Soit P un projecteur de X.
Question 3 Démontrer que X = R(P) ⊕ N(P).
Question 4 En déduire que rgP = trP.
On pose P^′ = I − P.
Question 5 Montrer que R(P^′) = N(P) et que R(P) = N(P^′).
Question 6 Démontrer que la dimension de la somme de deux sous-espaces F et G de X est inférieure ou égale à la somme de leurs dimensions.
Question 7 Montrer que si l'endomorphisme S est une somme finie de projecteurs P_i, i = 1, …, m, alors trS ∈ N et trS ≥ rgS.

2 Projecteurs de rang 1

On suppose dans cette partie que le rang du projecteur P est égal à 1 .
Question 8 Démontrer qu'il existe μ ∈ R tel que PTP = μP.
Soit 𝒞 = {f_1, f_2, …, f_n} une base de X adaptée à la décomposition
X = R(P) ⊕ N(P).
Question 9 Montrer que dans la base 𝒞 la matrice représentant T s'écrit
𝕋_𝒞 = [μ, ×, ×; ×, 𝔹; ×]
où μ est le nombre réel dont l'existence découle de la question 8, et 𝔹 ∈ ℳ_(n − 1).
Question 10 Montrer que si P^′ TP^′ n'est pas proportionnel à P^′, alors 𝔹, défini en (1), n'est pas la matrice d'une homothétie. On rappelle que P^′ = I − P.

3 Endomorphismes différents d'une homothétie

On suppose dans cette partie que l'endomorphisme T n'est pas une homothétie.
Question 11 Démontrer qu'il existe un vecteur x ∈ X tel que x et Tx ne soient pas liés (c'est-à-dire ne soient pas colinéaires).
Question 12 Montrer qu'il existe une base ℬ = {e_1, e_2, …, e_n} dans laquelle la matrice 𝕋_ℬ est de la forme suivante :
𝕋_ℬ = [0, ×, ×, ⋯, ×; 1; 0; ⋮, 𝔸; 0] où 𝔸 ∈ ℳ_(n − 1)
Question 13 En déduire que si trT = 0, il existe une base ℬ^′ dans laquelle la diagonale de 𝕋_(ℬ^′) est nulle.
Soit t_i, i = 1, …, n une suite de n nombres réels vérifiant trT = ∑_(i = 1)^n t_i.
Question 14 En dimension n = 2, démontrer qu'il existe une base ℬ^(′′) dans laquelle 𝕋_(ℬ^(′′)) ait pour éléments diagonaux les t_i, i = 1, 2.
Soit t ∈ R, on admettra qu'en dimension n ≥ 3, il existe un projecteur L de X de rang 1 , tel que d'une part LTL = t L et d'autre part L^′ TL^′ ne soit pas proportionnel à L^′ = I − L.
Question 15 En dimension n ≥ 3, à l'aide des questions 9 et 10 démontrer qu'il existe une base 𝒞 dans laquelle la matrice représentant T s'écrit
𝕋_𝒞 = [t_1, ×, ×; ×, 𝔹; ×] où 𝔹 n'est pas une homothétie.
Question 16 En dimension n ≥ 3, démontrer par récurrence qu'il existe une base ℬ^(′′) dans laquelle 𝕋_(ℬ^(′′)) ait pour éléments diagonaux les t_i, i = 1, …, n.

4 Décomposition en somme de projecteurs

On suppose désormais que T est un endomorphisme de X vérifiant trT ∈ N et trT ≥ rgT . On pose ρ = rgT et θ = trT.
Question 17 Montrer qu'il existe une base ℬ dans laquelle 𝕋_ℬ est de la forme suivante :
[𝕋_1, 𝕆; 𝕋_2, 𝕆],
où 𝕋_1 est une matrice de taille ρ × ρ.
Supposons tout d'abord que 𝕋_1 ne soit pas la matrice d'une homothétie
Question 18 A l'aide de la question 16 montrer qu'il existe une base ℬ^′ dans laquelle
𝕋_(ℬ^′) = [t_1, ×, ⋯; ×, ⋱, ⋱, 𝕆; ⋮, ⋱, t_ρ; ⋮, ⋱; ⋮, 𝕆] où les t_i, i = 1, ρ sont des entiers non nuls.
Question 19 En déduire que T est la somme d'un nombre fini de projecteurs.
On suppose maintenant que 𝕋_1 est la matrice d'une homothétie.
Question 20 Démontrer que là encore, T est la somme d'un nombre fini de projecteurs.

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 PC Mines-Ponts 2014 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 PC Mines-Ponts 2014 ?

Le sujet repose essentiellement sur les bases de l'algèbre linéaire : trace, projecteurs, sommes directes, rang, matrices d'un endomorphisme et calcul par blocs. Quelques rares questions pouvaient utiliser la réduction des endomorphismes.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 PC Mines 2014 ?

Le jury cite des propriétés fausses de la trace, des erreurs de logique (réciproques oubliées, fausse contraposition), des confusions sur le rang et la dimension d'une somme, une mauvaise maîtrise du calcul par blocs et des récurrences mal rédigées.

Le sujet de maths 1 PC Mines 2014 est-il long ?

Le jury le juge de longueur raisonnable et les meilleurs candidats l'ont presque terminé. La première partie, faite de questions de cours ou très proches du cours, assurait une bonne progressivité.

La question 11 de maths 1 PC Mines 2014 est-elle au programme ?

Le rapport précise que la caractérisation des homothéties demandée n'est pas un résultat du programme, même si elle a sans doute été traitée dans de nombreuses classes. Elle a eu peu de succès.

Pas de description pour le moment