Mines Mathématiques 1 PC 2015Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Méthode de Stein-Chen et inégalité de Le Cam : approximation d'une somme de variables de Bernoulli par une loi de Poisson

Le sujet démontre l'inégalité de Le Cam, qui majore la distance en variation totale entre la loi d'une somme de variables de Bernoulli indépendantes et une loi de Poisson. Il caractérise d'abord la loi de Poisson par une identité fonctionnelle, résout l'équation de Stein puis estime la constante de Lipschitz de ses solutions. La motivation probabiliste n'apparaît que dans la dernière partie.

1Partie I : préliminairesNormalisation d'une suite de probabilités, calcul d'une distance en variation totale et convergence de séries à terme borné.
2Partie II : caractérisationIdentité fonctionnelle vérifiée par la loi de Poisson et preuve qu'elle la caractérise.
3Partie III : résolution de l'équation de SteinEnsemble des solutions de l'équation fonctionnelle, formules explicites et caractère borné des solutions.
4Partie IV : propriété de LipschitzCas des indicatrices de singletons, signe et variations des solutions, puis majoration de Δf dans le cas général.
5Partie V : application probabilisteSomme de variables de Bernoulli indépendantes et majoration de la distance entre sa loi et la loi de Poisson.

Difficile. Le jury décrit un sujet long, avec plusieurs questions sélectives (Q2, Q9, Q12), et ne commente que les questions 1 à 20, seules traitées par un nombre significatif de candidats.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Distance en variation totale mal comprise · Convergence de séries mal justifiée · Vérifier au lieu de démontrer

Le sujet, long mais progressif, mobilisait peu de connaissances (séries numériques, variables aléatoires discrètes) mais une vraie habileté dans le maniement des inégalités. Il a bien étalé les notes. Les correcteurs ont été surpris par le nombre relativement élevé de copies très faibles, révélant une ignorance des éléments de l'analyse et un manque de rigueur.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Distance en variation totale mal compriseQ2
La définition de la distance est rarement comprise ; la réponse 0, fréquente, va contre le sens même du mot distance.
« la question s'est révélée sélective »
2
Convergence de séries mal justifiéeQ3, Q4
Il suffisait d'établir la convergence absolue grâce au caractère borné de f. Beaucoup majorent sans valeur absolue ou croient qu'un terme général tendant vers 0 suffit.
3
Vérifier au lieu de démontrerQ7, Q8
Constater qu'une expression proposée est solution de l'équation ne prouve pas que toute solution a cette forme ; en récurrence, l'initialisation est souvent oubliée.
« nombre de candidats se contentent de vérifier que l'expression proposée »
4
Infinité de solutions non compriseQ7
Le fait que f(0) puisse être choisi librement explique l'infinité de solutions ; beaucoup oublient que h est fixée ou invoquent des arguments vagues.
5
Inégalités délicates rarement aboutiesQ9, Q12
Q9 reçoit très rarement une solution correcte et Q12, souvent abordée, est rarement vraiment résolue faute de soin dans les inégalités.
« Elle est souvent abordée, rarement vraiment résolue. »
6
Énoncé recopié en probabilitésQ19
En Q19, il faut justifier l'indépendance de X_k et W_k à partir de l'indépendance mutuelle, puis utiliser l'espérance d'un produit.
« beaucoup de candidats se contentent peu ou prou de recopier l'énoncé »

Ce qui a été bien réussi

La question 1 est traitée dans l'immense majorité des copies.
La question 5 est en général réussie.
La seconde formule de Q13 est correctement établie dans un nombre conséquent de copies.

Conseils du jury

Travailler le cours en profondeur et pratiquer des gammes simples de majorations, d'estimations et de preuves de convergence.
Rédiger avec grand soin les premières questions, faciles, pour montrer la solidité de ses bases.
Ne pas masquer une incompréhension par un discours imprécis ou un passage en force, lourdement pénalisé.
Prendre le temps de comprendre le sens des questions et le rôle des objets.
Déclarer les objets utilisés au lieu d'empiler des formules.
Expliciter les premiers termes d'une série pour y voir clair.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. CONCOURS D'ADMISSION 2015

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TÉLÉCOM INT, TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC.

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

On note $F$ l'ensemble des fonctions bornées de $N$ dans $R$ .
On note $P$ l'ensemble des suites de nombres réels positifs de somme égale à 1 :

P = {P = (p_n, n ≥ 0) tel que ∀n ≥ 0, p_n ≥ 0 et ∑_(n = 0)^∞p_n = 1}

Pour $P$ et $Q$ deux éléments de $P$ , on définit

dist(P, Q) = sup_(A \subset N)|\sum_(n \in A)p_n - \sum_(n \in A)q_n| = sup_(A \subset N)|\sum_(n = 0)^\infty1_A(n)p_n - \sum_(n = 0)^\infty1_A(n)q_n|,

où

1_A(n) = 1

n \in A

1_A(n) = 0

sinon. On pourra écrire

P(A)

pour

\sum_(n \in A)p_n

Dans tout ce qui suit, $λ$ est un réel strictement positif fixé et $h$ est un élément de $F$ , c'est-à-dire une fonction bornée de $N$ dans $R$ .

I Préliminaires

Trouver le réel $c$ tel que la suite

c(λ^n)/(n!), n \geq 0

appartienne à

P

.
2. Soit

p

q

deux réels de

[0, 1]

. Calculer

dist((1 - p, p, 0, \dots), (1 - q, q, 0, \dots))

Soit $f \in F$ et $P \in P$ , montrer que la série de terme général ( $f(n)p_n, n \geq 0$ ) est convergente.

II Caractérisation

Soit

P_λ = (p_n^((λ)), n \in N) \in P

défini par

p_n^((λ)) = e^(- λ)(λ^n)/(n!) pour tout n \in N

Soit $f \in F$ , montrer que la série de terme général ( $nf(n)p_n^((λ)), n \geq 0$ ) est convergente.
Pour tout $f \in F$ , établir l'identité suivante :

λ\sum_(n = 0)^\inftyf(n + 1)p_n^((λ)) = \sum_(n = 0)^\inftynf(n)p_n^((λ)).

Soit

Q = (q_n, n \geq 0)

un élément de

P

tel que pour tout

f \in F

, l'identité suivante soit satisfaite :

λ\sum_(n = 0)^\inftyf(n + 1)q_n = \sum_(n = 0)^\inftynf(n)q_n.

En choisissant convenablement des éléments de $F$ , montrer que $Q = P_λ$ .

III Résolution de l'équation de Stein

On note

S_h

, l'ensemble des fonctions

f

N

dans

R

, telles que, pour tout entier

n \geq 0

, l'identité suivante soit satisfaite :

λf(n + 1) - nf(n) = h(n) - \sum_(k = 0)^\inftyh(k)p_k^((λ)).

Pour simplifier les notations, on note

h~

la fonction définie pour tout

n \geq 0

par

h~(n) = h(n) - \sum_(k = 0)^\inftyh(k)p_k^((λ))

Montrer que $S_h$ possède une infinité d'éléments et que pour tout $f \in S_h$ , pour tout entier $n \geq 1$ ,

f(n) = ((n - 1)!)/(λ^n)\sum_(k = 0)^(n - 1)h~(k)(λ^k)/(k!)

Pour $f \in S_h$ , pour tout entier $n \geq 1$ , établir l'identité suivante :

f(n) = - ((n - 1)!)/(λ^n)\sum_(k = n)^\inftyh~(k)(λ^k)/(k!)

En déduire que toute fonction $f \in S_h$ est bornée.

IV Propriété de Lipschitz

Pour une fonction

f

N

dans

R

, on considère la fonction

Δf

définie par

Δf : N, ⟶ R; n, ⟼ f(n + 1) - f(n).

On veut montrer que pour

f \in S_h

sup_(n \geq 1)|Δf(n)| \leq (1 - e^(- λ))/λ(sup_(k \in N)h(k) - inf_(k \in N)h(k)).

Pour un entier

m \geq 0

, on considère d'abord le cas particulier où

h = 1_({m})

h(m) = 1 et h(n) = 0 si n \neq m.

On note

f_m

l'un des éléments de

S_(1_({m}))

.
10. Établir pour

1 \leq n \leq m

, l'identité suivante :

f_m(n) = - ((n - 1)!)/(λ^n)p_m^((λ))\sum_(k = 0)^(n - 1)(λ^k)/(k!).

Établir une identité analogue pour $n > m \geq 0$ et en déduire le signe de $f_m(n)$ pour tout $n \geq 1$ .
Montrer que la fonction $Δf_m$ est négative sur $N∖{0, m}$ .

Indication : on distinguera les cas

1 \leq n < m

n > m \geq 0

.
13. Établir les identités suivantes:

Δf_0(0) = (1 - e^(- λ))/λ, Δf_m(m) = (e^(- λ))/λ(\sum_(k = m + 1)^\infty(λ^k)/(k!) + \sum_(k = 1)^m k/m(λ^k)/(k!)) pour m > 0

En déduire que

sup_(n \geq 1)Δf_m(n) \leq (1 - e^(- λ))/λ

On étudie maintenant le cas général. On définit la fonction

h_+

par

h_+(n) = h(n) - inf_(k \in N)h(k)

Montrer que $S_h = S_(h_+)$ .
Montrer que la série

\sum_(m = 0)^\inftyh_+(m)f_m(n)

est convergente pour tout entier

n \geq 1

.
17. Montrer que la fonction

f

définie, pour tout

n \geq 1

, par

f(n) = \sum_(m = 0)^\inftyh_+(m)f_m(n)

appartient à

S_h

.
18. En déduire que pour tout entier

n \geq 1

f(n + 1) - f(n) \leq (1 - e^(- λ))/λ(sup_(k \in N)h(k) - inf_(k \in N)h(k))

En utilisant

- f

h_- = sup_(k \in N)h(k) - h

, on prouverait de façon analogue que pour tout entier

n \geq 1

- (f(n + 1) - f(n)) \leq (1 - e^(- λ))/λ(sup_(k \in N)h(k) - inf_(k \in N)h(k)),

et qu'ainsi l'inégalité (5) est vraie dans le cas général.

V Application probabiliste

On considère (

X_k, k = 1, \dots, n

) une suite de variables aléatoires discrètes indépendantes. On suppose que pour tout entier

k ∈ {1, ⋯, n}, X_k

suit une loi de Bernoulli de paramètre

r_k \in ]0, 1]

P(X_k = 1) = r_k = 1 - P(X_k = 0)

On pose

λ = \sum_(k = 1)^n r_k

ainsi que

S = ∑_(k = 1)^n X_k et pour tout k ∈ {1, ⋯, n}, W_k = S − X_k

On identifie la loi de la variable aléatoire

S

et l'élément (

P(S = k), k \in N

) de

P

, l'ensemble défini au début de ce texte.
19. Pour tout

k \in {1, \dots, n}

, pour tout

f \in F

, montrer que

X_k f(S) = X_k f(W_k + 1) et que E(f(W_k)X_k) = r_k E(f(W_k))

Soit $h \in F$ et $f \in S_h$ , établir l'identité suivante.

E(λf(S + 1) - Sf(S)) = \sum_(k = 1)^n r_k E(X_k(f(W_k + 2) - f(W_k + 1)))

Établir que

dist(loi(S), P_λ) = sup_(A \subset N)|E(λf_A(S + 1) - Sf_A(S))|,

où

f_A

est un élément de

S_(1_A)

.
22. En déduire que

dist(loi(S), P_λ) \leq (1 - e^(- λ))/λ\sum_(k = 1)^n r_k^2

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de maths 1 Mines-Ponts PC 2015 ?

Sur la méthode de Stein-Chen et l'inégalité de Le Cam : on compare la loi d'une somme de variables de Bernoulli indépendantes à une loi de Poisson en passant par une équation fonctionnelle.

Quels chapitres réviser pour Mines maths I PC 2015 ?

Selon le jury, les connaissances utilisées étaient limitées aux séries numériques et aux variables aléatoires discrètes, mais le sujet demandait une bonne maîtrise des inégalités.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en mathématiques I Mines PC 2015 ?

Des convergences de séries mal justifiées, la vérification d'une formule prise pour une démonstration, des récurrences sans initialisation, des passages en force et un énoncé recopié en Q19.

Le sujet Mines maths 1 PC 2015 contenait-il une erreur d'énoncé ?

Oui, en Q13 : comme f(0) = 0 n'était pas supposé, la première formule n'était pas forcément vraie. Les correcteurs en ont tenu compte et ont noté avec générosité.

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Commentaires• Mines Mathématiques 1 PC 2015

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