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Centrale Mathématiques 2 PC 2015Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Fonctions test, convolution et introduction aux distributions
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Le problème introduit les distributions comme généralisation de la notion de fonction, à travers l'étude des fonctions test de classe C∞ à support compact et du produit de convolution. Il aborde ensuite la dérivation des distributions, qui donne un sens à la dérivée de fonctions non continues, ainsi que la convergence de suites de distributions.

  1. 1I.A - Fonction test C∞ à support compactConstruction d'une fonction test et étude de ses propriétés, puis approximation de fonctions continues par morceaux par convolution.
  2. 2I.B - Fonctions C∞ à décroissance rapideQuestions faciles sur une nouvelle classe de fonctions.
  3. 3II.A - Définitions, exemples de distributionsIntroduction de la notion de distribution sur l'espace des fonctions test D.
  4. 4II.B - Dérivation des distributions sur DDéfinition de la dérivée d'une distribution, permettant de dériver des fonctions non continues.
  5. 5II.C - Suites de distributions sur DÉtude de la convergence de suites de distributions, topologie faible sur l'espace des distributions.

Difficile. Le rapport indique que le sujet, bien qu'inhabituellement court, a paru insurmontable à beaucoup de candidats en raison de questions moins explicites qu'à l'accoutumée, avec par exemple une question à un candidat sur 20 de réussite.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Confusion entre fonction continue et fonction C1 · Hypothèse de domination mal justifiée · Question très peu réussie sur la forme en trois plateaux
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Le sujet, plus court que d'habitude mais moins explicite sur plusieurs questions, a déstabilisé de nombreux candidats et donné lieu à des copies parfois pauvres mais néanmoins très longues. Le jury regrette un manque d'initiative dès que l'énoncé donne moins d'indications, ainsi qu'une maîtrise insuffisante du théorème de convergence dominée.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre fonction continue et fonction C1I.A.1b

    Les candidats reconnaissent graphiquement une fonction non continue, mais pas toujours une fonction continue qui n'est pas de classe C1, ce qui se voit sur des graphes où la dérivée n'est pas continue en ±1.

  2. 2
    Hypothèse de domination mal justifiéeI.A.4, II.A.1

    La question de la domination dans le théorème de convergence dominée reste toujours la plus délicate pour les candidats, alors que ce théorème doit sa puissance à la faiblesse de ses hypothèses.

    « le théorème de convergence dominée doit sa puissance à la faiblesse de ses hypothèses, pourtant la question de la domination parait toujours la plus délicate »
  3. 3
    Question très peu réussie sur la forme en trois plateauxI.A.5b, I.A.5c

    La forme en trois plateaux est très rarement perçue, et la question suivante n'est réussie que par un candidat sur vingt environ.

    « Très peu de réussite en conséquence à cette question »
  4. 4
    Intégration par parties mal exploitéeII.B.2

    Une question pourtant facile, reposant sur une intégration par parties, n'a été convenablement traitée que dans les meilleures copies.

    « Cette question facile intégration par parties n'a pourtant été convenablement traitée que dans les meilleures copies »
  5. 5
    Copies trop longues pour leur contenu

    Malgré des copies parfois pauvres, leur longueur, 18 pages en moyenne, reste très excessive : les démonstrations attendues peuvent être succinctes du moment qu'elles sont complètes.

    « leur longueur 18 pages en moyenne reste très excessive »
  6. 6
    Manque d'initiative face à un énoncé peu directifI.A.5d, I.A.5e

    Dès que l'énoncé donne moins d'indications, beaucoup de candidats manquent d'initiative, notamment sur les questions demandant d'envisager une réponse négative sans indication.

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions de la partie I.B, plus faciles, ont été généralement bien traitées.
  • Le jury a dégagé un lot de bons candidats possédant de solides connaissances et de vraies capacités d'initiative.
  • Les démonstrations élémentaires de la partie II.C, bien que peu abordées, sont généralement correctes lorsqu'elles le sont.

Conseils du jury

  • Rédiger des démonstrations succinctes mais complètes plutôt que de multiplier les rappels de cours.
  • S'entraîner à justifier précisément l'hypothèse de domination du théorème de convergence dominée.
  • Faire preuve d'initiative lorsque l'énoncé laisse une question ouverte sans indication.
  • Ne pas se contenter de graphes approximatifs : vérifier la continuité de la dérivée aux points sensibles.
  • Éviter les démonstrations par récurrence systématiques lorsqu'un argument direct est disponible.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
L'objet du problème est l'étude de quelques outils permettant l'étude des signaux déterministes.
On note F(ℝ, ℝ) l'espace vectoriel des fonctions de ℝ dans ℝ.
On dit qu'une fonction f de F(ℝ, ℝ) est à support compact s'il existe deux réels a et b vérifiant a < b tels que f est nulle en dehors du segment [a, b].
On considère dans tout le problème l'ensemble F_(sr) des fonctions continues par morceaux de ℝ dans ℝ; on appelle de telles fonctions des signaux réguliers.
On note f^((k)) la fonction dérivée k-ième d'une fonction de classe C^k; si k = 0, f^((k)) = f.

I Étude de nouveaux espaces fonctionnels

I.A - Fonction test C^∞ à support compact

On note D l'ensemble des fonctions de ℝ dans ℝ de classe C^∞ et à support compact.
Dans cette sous-partie, on note φ la fonction définie par:
{φ(x) = 0, si |x| ⩾ 1; φ(x) = exp(− (x^2)/(1 − x^2)), si |x| < 1
I.A.1)
a) Étudier les variations de φ.
b) Tracer la représentation graphique de φ.
c) Montrer que φ est C^∞.
d) Montrer que D est un espace vectoriel sur ℝ non réduit à {0}.
I.A.2) Montrer que la fonction dérivée de tout élément de D est un élément de D.
I.A.3)
a) Montrer que ∫_ℝ φ(t)dt est un réel strictement positif.
b) Pour tout réel x, on pose θ(x) = (φ(x))/(∫_ℝ φ(t)dt) et, pour tout entier naturel n non nul, ρ_n(x) = nθ(nx).
Montrer que
∀n ∈ ℕ^∗ ∫_ℝ ρ_n(x)dx = 1
Pour toute fonction f appartenant à F_(sr) et tout entier naturel non nul n, on pose
(f∗ρ_n)(x) = ∫_ℝ f(t)ρ_n(x − t)dt
I.A.4) Soit f une fonction appartenant à F_(sr).
Montrer que la fonction f∗ρ_n est de classe C^∞.
I.A.5) Soit I la fonction qui vaut 1 sur l'intervalle [ − 1, 1], et 0 ailleurs. Pour n ∈ ℕ^∗, on pose I_n(x) = I∗ρ_n(x).
a) Pour n ∈ ℕ^∗ et x ∈ ℝ, exprimer I_n(x) en fonction de φ.
b) Pour n ∈ ℕ^∗, montrer que I_n appartient à D et étudier ses variations.
c) Représenter graphiquement I_2 et I_3.
d) Montrer que la suite de fonctions ( I_n ) converge simplement vers une fonction J que l'on déterminera. Montrer que J et I sont égales sauf sur un ensemble fini de points.
e) La suite de fonction ( I_n ) converge-t-elle uniformément vers J ?

I.B - Fonctions C^∞ à décroissance rapide

On dit qu'une fonction réelle f de classe C^∞ sur ℝ est à décroissance rapide si
∀(n, m) ∈ ℕ^2, lim_(x → + ∞)x^m f^((n))(x) = lim_(x → − ∞)x^m f^((n))(x) = 0
On note S l'ensemble des fonctions de ℝ dans ℝ de classe C^∞ à décroissance rapide.
I.B.1) Montrer que S est un espace vectoriel sur ℝ.
I.B.2) Montrer que si f est dans S alors f^((p)) est dans S pour tout entier naturel p.
I.B.3) Montrer que si P est une fonction polynôme et si f est dans S, alors Pf appartient à S.

II Espace des distributions sur D

II.A - Définitions, exemples

On dit que la suite de fonctions (φ_n)_(n ∈ ℕ) de D converge dans D vers la fonction φ de D et on note φ_n→−^D φ si, pour tout entier k ∈ ℕ, la suite de fonctions (φ_n^((k)))_(n ∈ ℕ) converge uniformément vers φ^((k)) et s'il existe un réel a > 0 tel que
∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ ℝ, |x| > a ⟹ φ_n(x) = 0
On appelle distribution sur D toute application linéaire T : D → ℝ qui vérifie
∀φ ∈ D, ∀(φ_n)_(n ∈ ℕ) ∈ D^ℕ φ_n→−^D φ ⟹ T(φ_n) → T(φ)
On note D^′ l'ensemble des distributions sur D.
II.A.1) Montrer que si f ∈ F_(sr) alors l'application T_f définie par
∀φ ∈ D T_f(φ) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x)φ(x)dx
définit une distribution sur D.
On appelle distribution régulière toute distribution de la forme T_f, où f ∈ F_(sr).
II.A.2) Soit U la fonction définie par
{U(x) = 1, si x ⩾ 0; U(x) = 0, si x < 0
Justifier que U définit une distribution sur D.
II.A.3) Soit a un nombre réel.
a) Montrer que l'application δ_a qui à tout φ ∈ D associe φ(a) est une distribution.
b) En utilisant la suite de fonctions (φ_n)_(n ∈ ℕ^∗) d'éléments de D définie par
∀t ∈ ℝ, φ_n(t) = {exp(((t − a)^2)/((t − a + 1/n)(t − a − 1/n))), si t ∈ ]a − 1/n, a + 1/n[; 0, sinon
montrer que ∀f ∈ F_(sr), T_f ≠ δ_a.

II.B - Dérivation des distributions sur D

Si T est une distribution sur D, on définit la distribution dérivée T^′ par
∀φ ∈ D, T^′(φ) = − T(φ^′)
II.B.1) Justifier que T^′ est une distribution sur D.
Dans la suite du problème, pour f ∈ F_(sr), on notera T_f^′ = (T_f)^′.
II.B.2) Soit f une fonction continue de ℝ dans ℝ. Si f est de classe C^1, montrer que (T_f)^′ = T_(f^′). Adapter ce résultat au cas où f est de classe C^1 par morceaux.
II.B.3) Montrer que T_U^′ = δ_0.
II.B.4) On considère l'application T qui à toute fonction φ de D associe le nombre réel T(φ) défini par
T(φ) = ∫_(− 1)^0 tφ(t)dt + ∫_0^(+ ∞)φ(t)dt
a) Montrer que T est une distribution régulière.
b) Calculer la dérivée de cette distribution.
II.B.5) Si f est un élément de F_(sr) et si a est un réel, on pose
lim_(x → a^−)f(x) = f(a^−) et lim_(x → a^+)f(x) = f(a^+)
La différence f(a^+) − f(a^−), appelée saut en a, est notée σ(a).
a) Soient a_1, …, a_p des réels tels que a_1 < … < a_p.
Soit f : ℝ → ℝ une fonction de classe C^1 par morceaux.
On suppose de plus que f est continue sur ] − ∞, a_1[ ∪ ]a_1, a_2[ ∪ … ∪ ]a_p, + ∞[.
Montrer que
T_f^′ = T_(f^′) + ∑_(i = 1)^p σ(a_i)δ_(a_i)
b) Retrouver par cette méthode les résultats des questions II.B. 3 et II.B.4.b.

II.C - Suites de distributions sur D

On dit que la suite de distributions (T_n)_(n ∈ ℕ) converge vers la distribution T si
∀φ ∈ D, lim_(n → ∞)T_n(φ) = T(φ)
II.C.1) Pour n entier naturel non nul, on considère la fonction U_n nulle sur les réels négatifs, affine sur l'intervalle [0, 1/n], égale à 1 pour les réels plus grand que 1/n et continue sur ℝ.
a) Montrer que la suite de distributions régulières (T_(U_n))_(n ∈ ℕ) converge vers T_U.
b) Montrer que
∀φ ∈ D T_(U_n)^′(φ) = ∫_0^(1/n)nφ(t)dt
c) En déduire que la distribution T_(U_n)^′ est régulière et donner une fonction V_n telle que T_(V_n) = T_(U_n)^′.
d) Représenter V_n pour n = 1, 2, 4.
e) Montrer que si la suite de distributions (T_n)_(n ∈ ℕ) converge vers la distribution T, alors (T_n^′)_(n ∈ ℕ) converge vers T^′.
f) Quelle est la limite de T_(U_n)^′ quand n tend vers l'infini?
II.C.2) Pour tout entier naturel non nul n, on considère les fonctions
{f_n(x) = n/(1 + n^2 x^2); g_n(x) = nx^n, si x ∈ [0, 1] et nulle ailleurs; h_n(x) = n^2 sinnx, si x ∈ [ − π/n, π/n] et nulle ailleurs
a) Vérifier qu'elles appartiennent à F_(sr).
b) Étudier les variations des fonctions f_n, g_n et h_n puis tracer leur représentation graphique pour n = 1 et n = 2.
c) Étudier la convergence des suites de distributions ( T_(f_n) ), ( T_(g_n) ) et ( T_(h_n) ).

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 2 Centrale PC 2015 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 2 Centrale PC 2015 ?

Le sujet porte sur le théorème de convergence dominée, la convolution et une introduction aux distributions, généralisation de la notion de fonction permettant de dériver des fonctions non continues.

Le sujet Mathématiques 2 Centrale PC 2015 sur les distributions est-il difficile ?

Oui, le rapport indique qu'il a paru insurmontable à beaucoup de candidats malgré sa brièveté, certaines questions n'étant réussies que par un candidat sur vingt.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Centrale Mathématiques 2 PC 2015 ?

Une hypothèse de domination mal justifiée dans le théorème de convergence dominée, une confusion entre fonction continue et fonction C1, et des copies trop longues pour leur contenu réel.

Ce sujet Centrale Mathématiques 2 PC 2015 est-il faisable en classe préparatoire ?

Les connaissances demandées étaient en général très élémentaires, à l'exception des théorèmes de convergence et de dérivation de fonctions définies par des intégrales.

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