CCINP Mathématiques PC 2015Sujet, corrigé et rapport du jury

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

L'épreuve est constituée de deux problèmes indépendants.
Lorsqu'un raisonnement utilise un résultat obtenu précédemment dans le problème, il est demandé au candidat d'indiquer précisément le numéro de la question utilisée.

On propose d'étudier dans ce premier problème le comportement d'une certaine suite de fonctions (f_n)_(n ∈ ℕ) sous différents points de vue. Dans la partie 1 , on étudie les aspects analytiques de (f_n)_(n ∈ ℕ) : convergence uniforme de la suite (f_n)_(n ∈ ℕ), propriétés d'intégrales associées à f_n et modes de convergence de la série ∑f_n.
modes de convergence de la série ∑f_n.
La partie 2 correspond à l'étude de la formule de Bernstein : lim_(n → + ∞)(e^(− n)∑_(k = 0)^n(n^k)/(k!)) = 1/2.
Cette formule, en lien avec la suite de fonctions introduites dans la partie 1, peut être avantageusement interprétée en terme de suite de variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi de Poisson. Le point de vue probabiliste permet alors d'éclairer le lien avec une intégrale intervenant en partie 1 et l'existence d'une limite ℓ pour e^(− n)∑_(k = 0)^n(n^k)/(k!). Cela permet aussi d'approcher
la valeur de ℓ par différentes méthodes. Les parties 1 et 2 peuvent être traitées, en grande partie, indépendamment l'une de l'autre.

On considère la fonction f et, pour n ∈ ℕ, la fonction f_n, définies sur ℝ_+par :

2.a. Déterminer l'ensemble D des valeurs de x ∈ ℝ pour lesquelles l'intégrale ∫_0^(+ ∞)e^(− t)t^x dt est convergente et vérifier que ℝ_+ ⊂ D.
2.b. Montrer que, pour x ∈ ℝ_+, l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(lnt)e^(− t)t^x dt est convergente.
2.c. Montrer que la fonction x ↦ ∫_0^(+ ∞)e^(− t)t^x dt est de classe 𝒞^1 sur ℝ_+.
2.d. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, l'intégrale ∫_0^(+ ∞)f_n(t)dt est convergente.
2.e. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, ∫_0^(+ ∞)f_n(t)dt = 1.
3. Pour x ∈ ℝ_+et n ∈ ℕ, on pose H_n(x) = 1/(n!)∫_x^(+ ∞)e^(− t)t^n dt.
3.a. Montrer que, pour tout x ∈ ℝ_+et tout n ∈ ℕ, H_n(x) = 1 − ∫_0^x f_n(t)dt.
3.b. Etablir que, pour tout n ∈ ℕ, H_n est de classe 𝒞^1 sur ℝ_+et donner l'expression de H_n^′.
3.c. Calculer, pour tout n ∈ ℕ, lim_(x → 0)(H_n(x)) et lim_(x → + ∞)(H_n(x)).
3.d. Calculer, pour tout x ∈ ℝ_+, lim_(n → + ∞)(H_n(x)).
4. Dans la figure 1 de la page 2 , on peut visualiser certaines des représentations graphiques des fonctions de la suite (f_n)_(n ∈ ℕ) dont celle de f_1 et f_5.
4.a. Lesquelles des courbes 𝒞_a, 𝒞_b, 𝒞_c, 𝒞_d ou 𝒞_e de la figure 1 correspondent respectivement aux représentations graphiques de f_1 et de f_5 ?
4.b. Pouvez-vous faire le lien entre cette figure et certaines propriétés analysées dans les questions précédentes ?
5.
5.a. Montrer que la série de fonctions ∑f_n converge simplement sur ℝ_+.
5.b. Montrer que, pour tout a ∈ ℝ_+^∗, la série de fonctions ∑f_n converge normalement sur le segment [0, a].
5.c. Montrer que la série de fonctions ∑f_n ne converge pas normalement sur ℝ_+.

Soit (X_n)_(n ∈ ℕ^∗) une suite de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé ( Ω, 𝒜, P ) et mutuellement indépendantes. On admet que dans ce cas, pour tout n ⩾ 2, X_1 + ⋯ + X_n et X_(n + 1) sont indépendantes.

On suppose de plus que, pour tout n ∈ ℕ^∗, X_n suit la loi de Poisson de paramètre 1 .
On rappelle que si X est une variable aléatoire définie sur (Ω, 𝒜, P) et qui suit une loi de Poisson de paramètre λ, alors X(Ω) = ℕ et pour tout entier k ∈ ℕ, P(X_n = k) = e^(− λ)(λ^k)/(k!).

On pose, pour tout n ∈ ℕ^∗, S_n = ∑_(k = 1)^n X_k et S_n^∗ = (S_n − n)/(√n).
1.
1.a. Montrer que S_n suit une loi de Poisson de paramètre n et en déduire son espérance et sa variance.
1.b. Déterminer l'espérance et la variance de S_n^∗.
1.c. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗, P(S_n^∗ ⩽ 0) = e^(− n)∑_(k = 0)^n(n^k)/(k!).
2. Soit r ∈ ℕ, I un intervalle de ℝ et (a, b) ∈ I^2. On rappelle que si f est une fonction de classe 𝒞^(r + 1) sur I, alors on a :

Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗, on a :

3.a. Montrer que : P(S_n^∗ ⩽ 0) = 1/(n!)∫_n^(+ ∞)e^(− t)t^n dt = H_n(n) où H_n est définie dans la partie 1 .
3.b. Etablir que, pour tout n ∈ ℕ^∗,

3.c. En déduire que la suite (P(S_n^∗ ⩽ 0))_(n ∈ ℕ^∗) est une suite décroissante qui converge vers une limite ℓ ∈ [0, 1[.
3.d. Proposer une méthode numérique et une méthode probabiliste pour conjecturer la valeur de ℓ. Quels sont les avantages et les inconvénients respectifs de ces deux méthodes ?
4. Pour n ∈ ℕ^∗, on note G_(S_n) la série génératrice de S_n. On rappelle que, pour tout t ∈ ℝ, G_(S_n)(t) = E(t^(S_n)) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)P(S_n = k)t^k.
4.a. Donner, pour tout n ∈ ℕ^∗ et t ∈ ℝ, une expression simple de G_(S_n)(t).
4.b. Vérifier que, pour tout t ∈ ℝ_+^∗ et n ∈ ℕ^∗, t^(S_n^∗) admet une espérance, notée E(t^(S_n^∗)), et que :

4.c. Déterminer, pour tout t ∈ ℝ_+^∗, lim_(n → + ∞)(E(t^(S_n^∗))).

On propose d'étudier, dans ce second problème, différents aspects des matrices à coefficients dans { − 1, 1} (matrices binaires) : inversibilité, orthogonalité des colonnes (matrices de Hadamard) et propriétés du spectre.

Dans tout le problème, n désigne un entier naturel tel que n ⩾ 2.

On débute l'étude par des exemples en petite dimension. En dimension n, on aboutit notamment à trois résultats sur de telles matrices :

Notons ℳ_n(ℝ) l'espace vectoriel des matrices réelles carrées d'ordre n,
ℳ_(n, 1)(ℝ) l'espace vectoriel des matrices réelles à n lignes et 1 colonne,
A^T la matrice transposée d'une matrice A,
I_n la matrice identité d'ordre n,
Sp(A) l'ensemble des valeurs propres d'une matrice carrée A.

Dans tout le problème, on munit ℳ_(n, 1)(ℝ) du produit scalaire canonique défini de la façon suivante :

Pour A ∈ ℳ_n(ℝ) et (i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, on note :
A_(i, j) le coefficient situé à la i-ème ligne et à la j-ème colonne de A,
C_j(A) la j-ème colonne de A et L_i(A) la i-ème ligne de A.

On définit les trois ensembles suivants :

On admettra que le déterminant d'une matrice dont les coefficients sont des entiers relatifs est aussi un entier relatif.

La matrice A_3 appartient-elle à ℬ_3 ? à ℋ_3 ? à 𝒢_3 ?
3. Soit A_4 = (1, 1, − 1, − 1; 1, 1, 1, 1; − 1, 1, − 1, 1; − 1, 1, 1, − 1) et S = 1/2A_4.

On note φ l'endomorphisme de ℝ^4 canoniquement associé à S.
3.a. Montrer que A_4 est une matrice de ℋ_4.
3.b. Montrer que φ est une symétrie et en déduire Sp(S).
3.c. Montrer que A_4 est diagonalisable et établir que Sp(A_4) = { − 2, 2}.
3.d. Proposer une méthode pour trouver une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D telles que A_4 = PDP^(− 1).
4. Vérifier que ℋ_n ⊂ 𝒢_n ⊂ ℬ_n et que ℬ_n est un ensemble fini dont on donnera le cardinal.
5. Montrer que, pour une matrice A ∈ ℬ_n, les propositions suivantes sont équivalentes :
i) A ∈ ℋ_n;
ii) (C_j(A))_(1 ⩽ j ⩽ n) est une famille orthogonale de l'espace euclidien ℳ_(n, 1)(ℝ);
iii) 1/(√n)A est une matrice orthogonale.
6. Soit A ∈ 𝒢_n. On transforme A en une matrice A^′ par les opérations sur les lignes de A suivantes: ∀i ∈ [ [2, n] ], L_i ← A_(1, 1) ⋅ L_i − A_(i, 1) ⋅ L_1 si bien que L_i(A^′) = A_(1, 1) ⋅ L_i(A) − A_(i, 1) ⋅ L_1(A).
6.a. Donner la relation entre det(A) et det(A^′).
6.b. Montrer que A^′ = (A_(1, 1), A_(1, 2), ⋯, A_(1, n); 0; ⋮, B^′; 0) avec B^′ une matrice carrée d'ordre n − 1, qui est inversible et dont tous les coefficients sont dans l'ensemble { − 2, 0, 2}.
6.c. Montrer que det(A) est un multiple de 2^(n − 1).
6.d. On suppose, dans cette question, que A ∈ ℋ_n et que n ⩾ 3.

Montrer que |det(A)| = n^(n/2) et en déduire que n est un multiple de 4 .
7. Soient n ∈ ℕ tel que n ⩾ 4 et r = n − 1. On définit la fonction τ_r : ℝ^r ⟶ ℝ^r par :

7.a. Montrer que τ_r définit un automorphisme de ℝ^r.
7.b. Déterminer la matrice, notée T_r, associée à τ_r dans la base canonique de ℝ^r.

On pose alors A = (1, 1, ⋯, 1; 0; ⋮, 2T_r; 0).
On transforme A en A^′ par les opérations sur les lignes de A suivantes : ∀i ∈ [ [2, n] ], L_i ← L_1 − L_i si bien que L_i(A^′) = L_1(A) − L_i(A).
7.c. Montrer que A^′ est un élément de 𝒢_n.
8. Donner un exemple explicite de matrice A qui soit dans 𝒢_6 mais pas dans ℋ_6.
9. Soit A ∈ ℬ_n et soit λ ∈ ℂ tel que λ soit une valeur propre de A.
9.a. Montrer qu'il existe (x_1, …, x_n) ∈ ℂ^n tel que :
i) pour tout i ∈ [ [1, n] ], ∑_(j = 1)^n A_(i, j)x_j = λx_i,
ii) il existe k ∈ [ [1, n] ] tel que : x_k ≠ 0 et pour tout j ∈ [ [1, n] ], |x_j| ⩽ |x_k|.
9.b. Montrer que |λ| ⩽ n.
9.c. Montrer que : sup({|λ| tel que λ ∈ Sp(A) et A ∈ ℬ_n}) = n.