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Matrices à mineurs principaux positifs et diagonalisation par matrices orthogonales et diagonales à coefficients ±1
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Le problème étudie une classe de matrices dont tous les sous-déterminants principaux sont strictement positifs, ainsi que leurs liens avec les matrices orthogonales.

  1. 1Première partie : propriétés des matrices à mineurs principaux positifsÉtablir des propriétés générales de l'ensemble des matrices dont tous les sous-déterminants principaux sont strictement positifs, notamment par transposition et conjugaison par une matrice diagonale à coefficients ±1.
  2. 2Deuxième partie : exemple issu d'une série entièreÉtudier la matrice jacobienne d'une application associée à la somme d'une série entière complexe et montrer qu'elle appartient à la classe de matrices étudiée.
  3. 3Troisième partie : unicité de la solution nulle d'un système d'inégalitésDémontrer par récurrence que, pour une matrice à mineurs principaux positifs, un vecteur positif dont l'image par la matrice est négative est nécessairement nul.
  4. 4Quatrième partie : diagonalisation des matrices orthogonales par signesDémontrer par récurrence, à l'aide de la transformation de Cayley entre matrices orthogonales et antisymétriques, que toute matrice orthogonale admet un vecteur strictement positif et une matrice diagonale à coefficients ±1 tels que leur produit soit invariant par la matrice orthogonale.

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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
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Sur certaines matrices à déterminant positif et sur les matrices orthogonales

Pour n un entier ⩾ 1, on note M_n l'espace vectoriel des matrices carrées n × n à coefficients dans R. On note ^t M la matrice transposée d'une matrice M ∈ M_n. On note I_n la matrice identité et D_n l'ensemble des matrices diagonales n × n à coefficients diagonaux dans l'ensemble { − 1, 1}. On identifiera un vecteur de R^n avec la matrice colonne à n lignes correspondante, et une matrice M ∈ M_n avec l'application linéaire R^n → R^n, X ↦ MX.
Soit M = (m_(ij)) une matrice de M_n. Soit Σ un sous-ensemble de [ [1, n] ]. On note M^((Σ)) la sous-matrice obtenue en supprimant la i-ème ligne et la i-ème colonne de M pour tout i ∈ Σ. Par convention, M^((∅)) = M. On note M_n^+l'ensemble des matrices M dans M_n telles que, pour toutes les parties Σ de [ [1, n] ], les déterminants des matrices M^((Σ)) sont strictement positifs.
Soient X = ^t(x_1, …, x_n), Y = ^t(y_1, …, y_n) ∈ R^n. On note X⪰Y (resp., X≻Y ) si pour tout i ∈ [ [1, n] ], x_i ⩾ y_i( resp., x_i > y_i).

Première partie

1.a) Montrer que si M ∈ M_n^+, alors ^t M ∈ M_n^+.
1.b) Montrer que pour toute matrice M ∈ M_n, pour toute matrice diagonale D ∈ D_n et pour tout sous-ensemble Σ de [ [1, n] ], M^((Σ))D^((Σ)) = (MD)^((Σ)).
1.c) Montrer que pour tout M ∈ M_n^+et pour toute matrice diagonale D ∈ D_n, DMD ∈ M_n^+.
2. Montrer que, pour tout X ∈ R^n, il existe D ∈ D_n tel que DX⪰0.
3. Soit M = (a, b; c, d) ∈ M_2^+.
3.a) Soit X = ^t(x_1, x_2) ∈ R^2 tel que 0⪰MX. Montrer que si X≻0 alors b ⩽ 0 et c ⩽ 0.
3.b) Montrer que X⪰0 et 0⪰MX impliquent X = 0.
3.c) Montrer qu'il existe X ∈ R^2, X≻0, tel que MX≻0. [On pourra distinguer les cas b ⩾ 0 et b < 0.]

Deuxième partie

Soit k > 1 un entier. On considère la série de fonctions d'une variable complexe z,
∑_(n = 0)^∞1/(kn + 1)z^(kn + 1)
  1. Montrer que cette série converge pour tout z ∈ O, où O est le disque ouvert de centre 0 et de rayon 1 dans C. Soit f(z) sa somme.
On identifie C à R^2 en posant z = x_1 + ix_2 et f(z) = u(x_1, x_2) + iv(x_1, x_2), où u = Re(f) et v = Im(f). On considère l'application F : O → R^2, définie par
X = ((x_1)/(x_2)) ↦ F(X) = ((u(x_1, x_2))/(v(x_1, x_2)))
5.a) Montrer que l'application F est de classe C^1 et préciser ses dérivées partielles que l'on pourra exprimer en fonction du nombre complexe ζ = (x_1 + ix_2)^k.
5.b) Soit J_F la matrice jacobienne de F. Montrer que, pour tout X ∈ O, J_F(X) ∈ M_2^+.

Troisième partie

On se propose de démontrer par récurrence sur l'entier n ⩾ 1 la propriété (Q_n) suivante :
Si P ∈ M_n^+et X ∈ R^n sont tels que X⪰0 et 0⪰PX, alors X = 0.
On fixe n ⩾ 2 et l'on suppose que la propriété ( Q_(n − 1) ) est satisfaite. Soit P ∈ M_n^+et X = ^t(x_1, …, x_n) ∈ R^n tels que X⪰0 et 0⪰PX.
6.a) On considère l'équation linéaire P(u_1; u_2; ⋮; u_n) = (1; 0; ⋮; 0). Montrer que u_1 > 0.
6.b) Soit C = ^t(c_1, …, c_n) la première colonne de P^(− 1). Montrer que c_1 > 0 et que
m = inf{(x_i)/(c_i)| c_i > 0, i ∈ [ [1, n] ]}
existe et est positif ou nul. On note j un entier tel que m = (x_j)/(c_j).
6.c) On pose Y = X − mC. Montrer que Y⪰0 et que 0⪰PY.
6.d) Soit P˜ = P^(({j})) ∈ M_(n − 1) et soit Y˜ ∈ R^(n − 1) le vecteur obtenu à partir de Y en supprimant la j-ème ligne. Montrer que Y˜ = 0 et en déduire que Y = 0.
6.e) En déduire que PX⪰0.
6.f) Conclure.

Quatrième partie

On se propose de démontrer par récurrence sur l'entier n ⩾ 1 la propriété ( P_n ) suivante :
Pour toute matrice orthogonale M ∈ O(n), il existe X≻0 dans R^n et une matrice diagonale D ∈ D_n tels que MX = DX.
Un tel couple ( D, X ) sera appelé une solution pour M.
7. Étudier (P_n) pour n = 1 et pour n = 2. [Pour n = 2, on pourra supposer d'abord que M est la matrice d'une rotation d'angle θ, 0 ⩽ θ < 2π, et chercher un vecteur X ∈ R^2 de la forme ((cosα)/(sinα)).]
8. Soient X_1 et X_2 ∈ R^n tels que X_1≻0 et X_2≻0. Montrer que si D ∈ D_n satisfait ^t X_1 DX_2 = ^t X_1 X_2, alors D = I_n. En déduire que si ( D_1, X_1 ) et ( D_2, X_2 ) sont deux solutions pour M ∈ O(n), alors D_1 = D_2.
On fixe n ⩾ 2 et l'on suppose que la propriété ( P_(n − 1) ) est satisfaite. On fixe une matrice orthogonale M ∈ M_n que l'on écrit M = (W, U; ^t V, ρ) où W ∈ M_(n − 1), U, V ∈ R^(n − 1) et ρ ∈ R.
9.a) Écrire les relations entre W, U, V et ρ qui expriment que M est une matrice orthogonale. Montrer que |ρ| ⩽ 1.
9.b) Lorsque |ρ| = 1, montrer que W est orthogonale et construire une solution pour M à partir d'une solution pour W.
On suppose désormais que |ρ| < 1 et l'on pose M_1 = W + 1/(1 − ρ)U^t V et M_2 = W − 1/(1 + ρ)U^t V.
10. Démontrer que M_1 et M_2 sont orthogonales.
11. Soit (D_1, X_1) (resp., (D_2, X_2) ) une solution pour M_1 (resp., M_2 ).
11.a) Montrer que
^t X_2 D_2 D_1 X_1 = ^t X_2 X_1 − σ(^t VX_1)(^t VX_2),
où σ est une constante positive que l'on déterminera en fonction de ρ.
11.b) On suppose que D_1 ≠ D_2. Montrer que les réels ^t VX_1 et ^t VX_2 sont non nuls et de même signe. Montrer que l'on peut construire une solution ( D, X ) pour M telle que X est l'un des vecteurs ((X_1)/(1/(1 − ρ)^t VX_1)) ou ((X_2)/(− 1/(1 + ρ)^t VX_2)).
11.c) On suppose que D_1 = D_2. Montrer que l'un des réels ^t VX_1 ou ^t VX_2 est nul. En déduire qu'il existe une matrice D ∈ D_n et un vecteur X⪰0 tel que x_i > 0 pour i ∈ [ [1, n − 1] ] satisfaisant MX = DX.
11.d) On suppose encore que D_1 = D_2. Montrer qu'il existe une matrice D^′ ∈ D_n et un vecteur X^′⪰0 tel que x_i^′ > 0 pour i ∈ [ [2, n] ] satisfaisant MX^′ = D^′ X^′.
12.a) Construire une solution pour M. [On pourra considérer l'égalité M(X + X^′) = DX + D^′ X^′ et utiliser le fait que M est orthogonale pour montrer que l'on peut se ramener au cas où D = D^′.]
12.b) Conclure.
13. Soit N ∈ M_n(R) une matrice antisymétrique.
13.a) Montrer que 0 est la seule valeur propre réelle de N parmi toutes les valeur propres complexes. En déduire que I_n + N est inversible.
13.b) On pose M = (I_n + N)^(− 1)(I_n − N). Montrer que M est orthogonale.
13.c) Soit ( D, X ) une solution pour M. Montrer que Y = X + DX satisfait Y⪰0, NY⪰0 et Y + NY≻0.
14. Soit P une matrice de M_n. En considérant une matrice antisymétrique de M_(2n) adaptée, montrer qu'une des propriétés suivantes est vraie :
  • soit les inégalités larges 0⪰^t PY et Y⪰0 ont une solution non nulle dans R^n,
  • soit les inégalités strictes PX≻0 et X≻0 ont une solution dans R^n.
  1. Soit P une matrice de M_n^+. Montrer que les inégalités strictes PX≻0 et X≻0 ont une solution dans R^n.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de maths X PC 2009 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de maths X PC 2009 ?

Il porte sur l'algèbre linéaire et matricielle (déterminants, matrices orthogonales et antisymétriques) et sur les séries entières complexes, à travers l'étude d'une classe particulière de matrices à mineurs positifs.

Les parties de ce sujet sont-elles indépendantes ?

La deuxième partie constitue un exemple indépendant illustrant la première ; les troisième et quatrième parties reposent sur les résultats des parties précédentes et se démontrent chacune par récurrence.

Ce sujet demande-t-il de connaître les matrices orthogonales ?

Oui, la quatrième partie étudie en détail les matrices orthogonales, leur lien avec les matrices antisymétriques via la transformation de Cayley, et leur diagonalisation par des matrices à coefficients ±1.

Le sujet utilise-t-il les fonctions d'une variable complexe ?

Oui, la deuxième partie étudie la matrice jacobienne associée à la partie réelle et imaginaire de la somme d'une série entière complexe.

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