E3A Mathématiques B PC 2013Sujet et corrigé

CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques B PC

Durée 3 h

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

Exercice n^∘1 :

• M_n(ℝ) l'espace vectoriel des matrices réelles carrées d'ordre n .
• GL_n(ℝ) le groupe des matrices inversibles de M_n(ℝ), I_n désigne la matrice identité.
• O_n(ℝ) le sous-groupe de GL_n(ℝ) constitué des matrices orthogonales.
• S_n(ℝ) le sous-espace vectoriel de M_n(ℝ) constitué des matrices symétriques réelles.
• Si E est un ℝ-espace vectoriel et (f_1, …, f_k) une famille de vecteurs de E, Vect(f_1, …, f_k) désigne le sous espace vectoriel engendré par la famille (f_1, …, f_k).
• Pour A ∈ M_n(ℝ), Sp(A) désigne l'ensemble des valeurs propres réelles de A et ^t A la transposée de A .
• S_n^(+ +)(ℝ) l'ensemble des matrices symétriques réelles définies positives.

• T_n^(+ +)(ℝ) l'ensemble des matrices réelles triangulaires supérieures à coefficients diagonaux strictement positifs.
• ℝ^n sera identifié à M_(n, 1)(ℝ) ensemble des matrices réelles avec n lignes et 1 colonne.
  Lorsque ℝ^n est muni de sa structure euclidienne canonique, ‖. ‖désignelanorme euclidienne associée au produit scalaire canonique : ‖X‖^2 = ^t XX.
• Les candidats seront amenés à utiliser le théorème suivant: Théorème d'orthonormalisation de Schmidt: Si (E, ( . . . . )) est un espace préhilbertien réel, p ∈ ℕ^∗ et (f_1, …, f_p) une famille libre de E , alors il existe une unique famille orthonormale (g_1, …, g_p) telle que pour tout k ∈ {1, …, p} :

1. Enoncer le théorème qui permet de justifier qu'il existe une matrice O ∈ O_3(ℝ) telle que ^t OSO = D où D est une matrice diagonale.
2. Déterminer O et D telles que det(O) = 1_– et D = (α, 0, 0; 0, β, 0; 0, 0, γ) où α < β < γ_– puis justifier que S ∈ S_3^(+ +)(ℝ).
3. Démontrer qu'il existe une unique matrice T ∈ T_3^(+ +)(ℝ) telle que S = ^t TT. On explicitera la matrice T.
   II. Résultats préliminaires:
4. On considère S ∈ S_n^(+ +)(ℝ), montrer que :

2. Proposition: T_n^(+ +)(ℝ) est un sous-groupe de GL_n(ℝ).

III. Une caractérisation des matrices symétriques réelles définies positives:

1. Montrer que B ∈ S_n(ℝ).
2. Montrer que si λ ∈ Sp(B) et x ∈ ℝ^n est un vecteur propre associé à λ, alors

3. En déduire que A ∈ GL_n(ℝ) si, et seulement si, B ∈ S_n^(+ +)(ℝ).

IV. Décomposition de Cholesky:

1. Montrer que s'il existe T ∈ T_n^(+ +)(ℝ) telle que S = ^t TT alors S ∈ S_n^(+ +)(ℝ).
2. On suppose qu'il existe T_1, T_2 deux matrices de T_n^(+ +)(ℝ) telles que ^t T_1 T_1 = ^t T_2 T_2.
   a) Montrer que Δ = T_1(T_2)^(− 1) est une matrice diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs. (utiliser II.2) )
   b) En déduire, en utilisant ^t T_l T_l = ^t T_2 T_2, que Δ^2 = I_n.
   c) En déduire que T_1 = T_2.
3. On suppose S ∈ S_n^(+ +)(ℝ) et on considère φ_S le produit scalaire de ℝ^n défini en II.1). Soit b = (e_1, …, e_n) la base canonique de ℝ^(′′) et b^′ = (v_1, …, v_n) l'orthonormalisée de Schmidt de b pour le produit scalaire φ_s. On note T la matrice de passage de la base b' à la base b.
   a) Montrer T ∈ T_n^(+ +)(ℝ).
   b) Montrer que S = ^t TT.

Exercice n^∘2 :

1. Enoncer le théorème de dérivation pour les fonctions définies par : F : x ∈ I ↦ ∫_J f(x, t)dt où I et J sont des intervalles de ℝ.
2. Etude de g:
   a) Montrer que g est continue sur ℝ.
   b) Montrer que g a un développement limité en 0 à l'ordre 1. En déduire que g est dérivable sur ℝ et préciser g^′(0).
   c) Déterminer le signe pour t ∈ ℝ de (1 + t)e^(− t) − 1.
   d) Dresser le tableau de variations de g et tracer le graphe de g.
   e) i) Donner le développement en série entière au voisinage de 0 de la fonction g, préciser le rayon de convergence de la série entière.
   ii) Montrer que g est de classe C^∞ sur ℝ et préciser pour tout k ∈ ℕ, g^((k))(0) (énoncer le (ou les) théorème(s) utilisé(s)).
3. On considère la fonction h définie par h(x) = ∫_0^(+ ∞)(1 − e^(− xt))/tsin(t)dt.
   a) Montrer que l'intégrale impropre ∫_0^(+ ∞)(sin(u))/udu converge (on pourra utiliser une intégration par parties).

Exercice n^∘3 :

• F un point du plan.
• D une droite du plan ne contenant pas F.
• Δ la droite perpendiculaire à D passant par F et A le point d'intersection de D et Δ.
• p la distance AF.
• S le milieu du segment [AF].

Le but de cet exercice est l'étude de la parabole P de foyer F et de directrice D.
Par définition P est l'ensemble des points équidistants de F et de D :
M ∈ 𝒫 si, et seulement si, MF = MH où H est le projeté orthogonal de M sur D.
On considère le repère orthonormé direct ℜ = (S, i⃗, j⃗) où i⃗ = 1/pAF^(→−).
1)
a)Donner les coordonnées dans ℜ de A, S, F et une équation de la droite D.
b) On considère M de coordonnées | x; y dans ℜ, montrer que M ∈ P ssi y^2 = 2px.
2) P est alors paramétrée par {x(t) = (t^2)/(2p); y(t) = t(t ∈ ℝ). On considère t_0 ∈ ℝ et M_0 le point de P de paramètre t_0.
a)Donner une équation de T_0 la tangente à P en M_0 et de N_0 la normale à P en M_0.
b)On note H_0 le projeté orthogonal de M_0 sur D.
i) Donner la nature du triangle FH_0 M_0.
ii) Vérifier que T_0 est la médiatrice du segment [FH_0].
3)
a)Déterminer en M_0 le repère de Frenet de P noté (M_0, T_0^(→−), N_0^(→−)).
b) Déterminer en M_0 le rayon de courbure de P noté R_0.
c) On appelle centre de courbure en M_0 à P noté Ω_0 le point défini par M_0 Ω_0^(→−) = R_0 N_0^(→−), déterminer dans ℜ les coordonnées de Ω_0.
4) On considère la courbe paramétrée (C) définie sur ℝ par {x(t) = 2 + 3/4t^2; y(t) = − (t^3)/4.
a)Etudier la symétrie de (C).
b) Dresser le tableau de variations des fonctions x et y.
c) Etudier avec précision le point stationnaire de (C).
d) Etudier la branche infinie de (C) lorsque t tend vers + ∞.
e) Tracer la courbe (C) et la courbe (P) (pour p = 2 ) sur une même figure.