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Polytechnique Physique A PC 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

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Annales X-ENS PC PhysiqueX-ENS PC 2011PC PhysiquePhysique 2011

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Présentation du sujet

Difficile
Interactions dipolaires entre particules colloïdales magnétisables
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Le sujet étudie les interactions entre dipôles magnétiques induits dans des particules colloïdales. Après l'établissement de la force d'interaction dipolaire, il traite la cinétique d'agrégation d'une suspension, la mesure du module d'Young d'un gel et le mouvement d'un dimère dans un champ tournant. Seule la première partie est nécessaire pour les suivantes, qui sont indépendantes.

  1. 1Partie I : interaction dipôle-dipôleChamp et potentiel d'un dipôle électrique, énergie d'interaction, force entre dipôles puis polarisabilité magnétique de sphères magnétisables.
  2. 2Partie II : cinétique d'agrégation entre deux particulesMouvement de deux particules sous force dipolaire et frottement de Stokes, puis comparaison avec la diffusion brownienne et concentration critique.
  3. 3Partie III : mesure de propriétés élastiques à l'échelle submicroniqueCompression d'un gel entre deux cylindres magnétiques pour estimer son module d'Young.
  4. 4Partie IV : mouvement dans un champ tournantCouple magnétique et couple visqueux sur un dimère, régime stationnaire et fréquence de décrochage.

Difficile. Le jury qualifie la partie II de plus longue et sans doute la plus difficile, et relève que la question IV.3 n'a été traitée correctement par aucun candidat.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,59 / 20 · écart-type 3,79 · 1 481 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
7,59/ 20
Écart-type
3,79
Copies
1 481
moyenne 7,5905101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Champ du dipôle électrique non maîtrisé · Démonstration arrangée pour retrouver le résultat · Bilan des forces incomplet
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Les quatre parties, de longueur et de difficulté inégales, ont toutes été abordées, ce qui a permis un étalement satisfaisant des notes. Le jury note moins d'erreurs d'inattention et des progrès dans les applications numériques, mais regrette que le cours ne soit pas mieux su et que les démonstrations manquent de rigueur.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Champ du dipôle électrique non maîtriséI.2

    Moins de la moitié des candidats retrouvent le potentiel et le champ d'un dipôle, et le tracé des lignes de champ n'est correct que dans un tiers des copies.

  2. 2
    Démonstration arrangée pour retrouver le résultatI.4

    Compenser une erreur de signe par une autre pour aboutir au résultat donné a été sanctionné et a rendu les correcteurs plus sévères ensuite.

  3. 3
    Bilan des forces incompletII.1

    Poids, poussée d'Archimède ou force de viscosité ont souvent été oubliés ; environ un candidat sur quatre seulement a répondu complètement.

    « Archimède a dû se retourner dans sa baignoire. »
  4. 4
    Réponse qui paraphrase la questionII.6

    Dire que les interactions sont faibles parce que les particules sont petites et éloignées n'apporte aucun argument physique ; il fallait invoquer la dilution et la taille des particules.

  5. 5
    Termes négligeables non supprimésIII.3

    La simplification de l'expression par les ordres de grandeur a posé problème à de très nombreux candidats, et peu ont proposé le protocole de mesure du module d'Young.

  6. 6
    Référentiel d'étude confondu avec le référentiel de projectionIV.3

    Il fallait se placer dans le référentiel barycentrique du dimère et introduire son moment d'inertie ; aucun candidat n'a traité correctement cette question.

Ce qui a été bien réussi

  • Les erreurs de calcul dans la transformation d'équations sont moins nombreuses et les applications numériques en progrès.
  • La loi de Fick et l'application numérique associée sont bien connues (II.7).
  • La question II.4 est plutôt réussie et l'ordre de grandeur du temps caractéristique souvent bien évalué.
  • L'équilibre entre force magnétique et force de compression est correctement écrit par une large majorité (III.3).

Conseils du jury

  • Respecter les consignes : « rappeler » ou « donner » n'exige pas de démonstration, « montrer » en exige une.
  • Répondre aux questions qualitatives par un argument physique plutôt qu'en reprenant l'énoncé.
  • Utiliser des schémas, même non demandés, pour définir clairement les coordonnées et les angles.
  • Simplifier les formules en supprimant les termes négligeables.
  • Lire attentivement l'énoncé et s'y conformer, comme pour la polarisabilité des cylindres en III.1.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

COMPOSITION DE PHYSIQUE - A - (XE)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Interactions dipolaires entre particules colloïdales

On s'intéresse dans ce problème aux interactions entre des sphères colloïdales diélectriques (resp. magnétiques) plongées dans un champ électrique (resp. magnétique). La partie 1 a pour but de déterminer quelles sont les forces d'interaction entre deux sphères colloïdales plongées dans un champ externe. Dans la partie 2 , nous cherchons à déterminer les caractéristiques de l'agrégation d'une suspension de telles particules sous champ magnétique. Dans la partie 3, nous montrons comment ces objets peuvent être utilisés pour déterminer les propriétés mécaniques de gels à l'échelle microscopique. Enfin, la partie 4 traite du mouvement de dimères dans un champ magnétique tournant. Les parties 2,3 et 4 sont largement indépendantes.
Remarque importante : À plusieurs reprises au cours de ce problème, on demande au candidat de raisonner par analyse dimensionnelle ou d'évaluer un ordre de grandeur. Dans ce cas, le candidat n'essaiera pas d'évaluer les coefficients multiplicatifs sans dimension, qui seront omis. De l'ordre de l'unité, ils n'influencent pas l'ordre de grandeur du résultat.

Données :

Constante de Boltzmann : k = 1, 38 × 10^(− 23) J ⋅ K^(− 1); Température ambiante: T = 300 K; Viscosité de l'eau: η = 10^(− 3) Pa ⋅ s; Perméabilité magnétique du vide : μ_0 = 4π × 10^(− 7)H ⋅ m^(− 1); Permittivité diélectrique du vide : ε_0 = 8, 9 × 10^(− 12) F ⋅ m^(− 1)

I. Interaction dipôle-dipôle

I. 1 Rappeler les expressions du potentiel et du champ électriques créés par une charge ponctuelle q située à l'origine d'un repère 0xyz. On précisera soigneusement les notations utilisées. Représenter sur un schéma l'allure des équipotentielles et des lignes du champ électrique.
I. 2 On cherche maintenant à déterminer le champ créé par un dipôle électrique. On considère deux charges − q et + q situées respectivement à l'origine et au point de coordonnées ( x = 0, y = 0, z = δ ), et on note le moment dipolaire p⃗ = qδe⃗_z. Déterminer le potentiel et le champ électriques créés par ce dipôle au point M repéré par ses coordonnées sphériques ( r, θ, φ ) (voir figure 1). On donnera leurs expressions dans le cadre de l'approximation dipolaire, c'est-à-dire dans le cas où δ≪r. Nous supposerons dans toute la suite de ce problème que cette condition de champ lointain est vérifiée. Représenter les lignes du champ dipolaire sur un schéma.
I. 3 Quelle est l'énergie électrostatique d'un dipôle p⃗ placé dans un champ électrique E⃗ ? Expliquer qualitativement pourquoi des dipôles libres de se déplacer ont tendance à s'aggréger.
I. 4 On considère maintenant deux dipôles électriques (de même moment dipolaire) alignés selon l'axe Oz(p⃗ = pe_z→ = qδe_z→), l'un étant situé à l'origine du repère, l'autre à la position r⃗, comme indiqué sur la figure 1. Chaque dipôle est soumis au champ créé par l'autre dipôle. Dans un système de coordonnées sphériques, r⃗ = (r, θ, φ), donner l'expression de l'énergie électrostatique d'interaction entre ces deux dipôles. En déduire les composantes de la force subie par le dipôle situé en r⃗ :
F_r = (3p^2)/(4πε_0 r^4)(1 − 3cos^2 θ); F_θ = − (3p^2)/(2πε_0 r^4)cosθsinθ
Figure 1. Deux dipôles situés à l'origine et en r⃗ = (r, θ, φ).
En suivant un raisonnement strictement identique, il est possible de montrer que ce résultat décrit également les interactions entre des dipôles magnétiques m⃗ = me_z→ plongés dans un milieu non magnétique (c'est-à-dire dont la perméabilité magnétique est égale à μ_0 ). Dans ce cas le résultat précédent devient :
F_r = (3μ_0 m^2)/(4πr^4)(1 − 3cos^2 θ); F_θ = − (3μ_0 m^2)/(2πr^4)cosθsinθ
Dans toute la suite de ce problème, nous considérerons le cas de dipôles magnétiques et nous utiliserons cette expression de la force magnétique entre particules.
I. 5 On considère maintenant des sphères magnétisables de rayon a. Soumises à un champ magnétique externe B⃗, celles-ci acquièrent une aimantation qui résulte en un moment dipolaire induit m⃗ = 1/(μ_0)α_m B⃗ où α_m est la polarisabilité magnétique de la particule. Montrez que α_m est homogène à un volume.
Pour une particule sphérique de volume V = 4/3πa^3 constituée d'un matériau très magnétisable, on peut montrer que α_m = 3V = 4πa^3. Expliquez la dépendance de cette expression avec la taille a des particules.
On considère ici que le moment dipolaire des sphères magnétiques est dû uniquement au champ uniforme appliqué B⃗ = B_0 e_z→ et n'est pas modifié par les interactions entre sphères. Donner alors l'expression du moment magnétique des sphères plongées dans ce champ. En déduire la force d'interaction entre ces particules.

II. Cinétique d'agrégation entre deux particules

Dans cette partie, on cherche à comprendre la cinétique d'agrégation de particules magnétiques suspendues dans de l'eau et soumises à un champ magnétique externe uniforme. On supposera ici que les masses volumiques des particules et du fluide environnant sont égales.
II. 1 On s'intéresse au cas de deux particules. Quelles forces agissent sur les sphères? Écrire l'équation du mouvement.
II. 2 Par un raisonnement dimensionnel, donner l'expression de la force de friction visqueuse sur une sphère de rayon a en translation à la vitesse v⃗ dans un liquide de viscosité η. On admettra que dans cette loi, le préfacteur vaut 6π. Dans quelle limite cette expression est-elle valable?
II. 3 On suppose maintenant que le champ magnétique est dirigé selon l'axe Oz : B⃗ = B_0 e_z→. On admet également que les deux particules sont situées sur cet axe. Dans le cas où l'inertie est négligeable, à quoi se réduit l'équation du mouvement d'une des particules? On précisera le domaine de validité de cette dernière approximation, en exprimant le temps caractéristique lié à la friction visqueuse.
II. 4 À l'instant initial, les particules sont séparées d'une distance r_0 qu'on supposera grande devant leur rayon : r_0≫a. Montrer que l'équation du mouvement est à variables séparables. L'intégrer et montrer que le mouvement suit une loi de la forme suivante :
1 − (r^5)/(r_0^5) = t/(τ_b)
où τ_b est un temps caractéristique du mouvement dont on donnera l'expression en fonction de r_0, a, η, B_0 et μ_0. Évaluer l'ordre de grandeur de τ_b pour a = 1μ m, r_0 = 10μ m, B_0 = 10mT.
II. 5 Dans le cas d'une assemblée de nombreuses particules identiques, on observe que le temps τ issu du modèle à deux particules décrit bien la cinétique d'agrégation de suspensions dont la
distance interparticulaire moyenne est r_0. On note n le nombre moyen de particules par unité de volume de la suspension. Quel est le lien entre n et r_0 ? Donner en fonction de n le temps τ d'agrégation d'une suspension de sphères.
II. 6 Dans des suspensions diluées de petites particules, les interactions dipolaires sont très faibles. Expliquez pourquoi.
Les déplacements des petites particules sont alors dominés par l'agitation thermique. Elles sont animées d'un mouvement incessant et aléatoire, leurs trajectoires sont très irrégulières : c'est le mouvement brownien, décrit pour la première fois par le botaniste Robert Brown en 1827. À l'échelle macroscopique, la concentration en particules évolue alors en suivant un processus de diffusion, comme celle d'un soluté.
II. 7 Rappeler la loi de Fick (on notera D le coefficient de diffusion). En faisant un bilan de quantité de particules adapté, établir l'équation de diffusion régissant l'évolution temporelle de la concentration en particules.
Einstein a montré en 1905 que le coefficient de diffusion de particules de rayon a suspendues dans un liquide de viscosité η à la température T est D = (kT)/(6πηa) où k est la constante de Boltzmann. Quelle est la dimension de D ? Évaluer D pour des sphères de rayon a = 1μ m suspendues dans de l'eau à température ambiante.
II. 8 En écrivant l'équation de diffusion sous forme dimensionnelle, construire le temps τ_d de diffusion sur une distance typique r_0. Il est aussi possible de donner une interprétation microscopique de τ_d : il s'agit du temps pour qu'en moyenne, une particule s'éloigne d'une distance r_0 de sa position d'origine.
II. 9 En déduire que, pour des solutions diluées de petites particules, le mouvement est séparé en deux phases : un mouvement initial à caractère diffusif suivi d'une trajectoire balistique lorsque les interactions dipolaires dominent l'agitation thermique. Représenter schématiquement la trajectoire d'une particule entre l'instant initial et sa rencontre avec une particule voisine. Quelles sont typiquement les durées respectives τ_d et τ_b de ces deux phases?
II. 10 L'agrégation de suspensions diluées se fait donc essentiellement par un processus brownien, tandis que les suspensions concentrées s'agrègent de manière balistique. Quelle est la concentration critique n^∗ qui sépare ces deux régimes? On exprimera n^∗ fonction de k, T, a, B_0 et μ_0.
Évaluer n^∗ pour des suspensions de particules de rayon a = 1μ m, B_0 = 10mT, T = 300 K.
Quel est l'ordre de grandeur de la distance interparticulaire r^∗ à la concentration critique n^∗ ? Comparer r^∗ au diamètre des particules.

III. Mesure de propriétés élastiques à l'échelle submicronique

Nous cherchons dans cette partie à comprendre comment la manipulation de ces particules magnétiques peut être utilisée pour sonder les propriétés élastiques d'échantillons de taille in-
férieure au micromètre. Par simplicité, nous considérons deux particules cylindriques de rayon R = a et de hauteur h = βa où β est un coefficient numérique d'ordre unité (voir figure 2). Les axes des cylindres coïncident avec l'axe Oz. Nous considérons que l'application d'un champ magnétique induit pour chaque cylindre un moment dipolaire identique à celui qu'aurait une sphère de rayon a. Le matériau à tester (non magnétique), coincé entre les deux cylindres, forme un disque de rayon R. En l'absence de champ appliqué, l'épaisseur de cette lamelle vaut δ_0≪a.
Figure 2. Deux particules magnétiques cylindriques séparées par une couche de matériau test d'épaisseur δ. Le champ magnétique est aligné avec l'axe des cylindres.
III. 1 On applique dans l'axe des cylindres un champ magnétique B⃗ = B_0 e_z→. Dans cette configuration, à quoi se réduit la force d'attraction entre les deux cylindres? On donnera son expression en particulier en fonction de h et de l'épaisseur δ du matériau test.
III. 2 Le matériau test élastique résiste à la compression avec une force F_c qui dépend du taux de compression ε = (δ_0 − δ)/δ_0 :
F_c = πR^2 Yε
où Y est le module d'Young du matériau. Donner la signification physique et l'unité de Y.
III. 3 Montrer alors qu'en mesurant la distance entre les centres des cylindres en fonction du champ magnétique, il est possible de mesurer le module d'Young Y du matériau étudié.
III. 4 Application : on s'intéresse aux propriétés mécaniques d'un gel d'actine, qui est une protéine essentielle dans l'architecture (le cytosquelette) et les mouvements des cellules vivantes. Il est possible de coincer entre des particules magnétiques une couche de ce gel. L'épaisseur de l'échantillon hors charge vaut δ_0 = 100 nm. En présence d'un champ de 10 mT , on mesure δ = 80 nm. En déduire une estimation du module d'Young du gel d'actine.
III. 5 En pratique, les variations d'épaisseur de la couche de gel testé sont très faibles au cours de l'expérience. La distance entre les deux particules (qui sont des sphères dans l'expérience réelle) est réalisée de la façon suivante : sur une image de microscopie à fort grandissement des deux particules, on détecte les contours de ces sphères, et on ajuste ces données par des cercles. Cette méthode permet une détection de la position du centre des particules avec une très grande précision. Expliquez qualitativement pourquoi ce protocole consistant à détecter tout un profil
est plus précis qu'une méthode qui consisterait à mesurer directement la distance entre deux points (les points les plus proches des sphères, par exemple).

Mouvement dans un champ tournant

Dans cette partie, nous nous intéressons au mouvement d'un dimère de particules magnétiques dans un champ magnétique tournant. Des techniques de ce type sont par exemple utilisées pour caractériser les propriétés rhéologiques locales (viscosité et élasticité) de certains fluides complexes comme des cellules vivantes.
IV. 1 On considère un dimère rigide constitué de deux particules magnétiques de rayon a au contact. Cet objet est plongé dans un champ magnétique statique B⃗ contenu dans le plan Oxz et d'intensité B_0(‖B⃗‖ = B_0). On admet que chacune des particules du dimère acquiert un moment dipolaire égal à celui d'une particule libre. L'axe reliant les centres des particules est également contenu dans le plan Oxz. Il fait un angle φ avec le champ magnétique appliqué et un angle θ avec l'axe Oz (voir figure 3). En reprenant l'analogie de la partie I.4, calculer l'énergie magnétique E_B de l'agrégat dans ce champ. En déduire le couple magnétique Γ_B^(→−) = (dE_B)/(dφ)e_y→ = Γ_B e_y→ auquel est soumis ce dimère. Tracer Γ_B en fonction de l'angle φ. Quelles sont les positions d'équilibre de ce dimère? Vous en discuterez brièvement la stabilité.
Figure 3. Dimère de sphères magnétiques de rayon a au contact soumises à un champ magnétique B⃗.
IV. 2 On considère à présent le dimère dans une situation dynamique. La présence du fluide environnant freine l'alignement du dimère avec le champ magnétique. La force de friction visqueuse sur une sphère en translation à vitesse V est connue. Pour un dimère constitué de deux sphères de rayon a au contact, on montre que le couple visqueux résistant à la rotation est de l'ordre de :
Γ_v^(→−) ∼ − ηa^3 θ˙e_y→
où θ˙ est la vitesse angulaire de rotation du dimère. Commentez ce résultat. Le préfacteur numérique qui complète ce résultat dimensionnel est difficile à calculer en pratique, mais c'est un nombre de l'ordre de l'unité. Dans un souci de simplicité, nous le choisirons égal à 1 dans ce qui suit.
IV. 3 On suppose maintenant qu'on applique un champ tournant dans le plan Oxz à la pulsation ω (voir figure 4) : B⃗ = B_0(sin(ωt)e_x^(→−) + cos(ωt)e_z→). À l'instant initial, le champ et l'axe du dimère sont alignés selon l'axe Oz : θ = φ = 0. On admet par ailleurs que le moment dipolaire porté par chacune des deux sphères suit instantanément les variations du champ magnétique. En considérant que seuls les couples magnétique et visqueux sont en jeu, écrire l'équation régissant la rotation du dimère soumis au champ tournant.
Figure 4. Dimère de sphères magnétiques de rayon a au contact soumises à un champ magnétique tournant.
IV. 4 En régime stationnaire, que vaut l'angle φ entre le champ magnétique et l'axe du dimère? En déduire une méthode de mesure de viscosité du liquide dans lequel les particules sont plongées.
IV. 5 À quelle condition existe-t-il un régime stationnaire? On déterminera la fréquence de décrochage ω^∗ au-delà de laquelle le régime stationnaire n'existe plus. Décrire qualitativement le mouvement dans le cas où ω > ω^∗, et tracer la courbe θ(t) correspondante.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique A X-ESPCI PC 2011 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de physique A X-ESPCI PC 2011 ?

Il mobilise l'électrostatique et la magnétostatique (dipôles), la mécanique du point et des fluides avec la force de Stokes, l'équation de diffusion et la mécanique du solide pour un dimère en rotation.

Quelle est la moyenne de la composition de physique A de l'X en PC 2011 ?

Pour les candidats français, le rapport indique 1481 copies, une moyenne de 7,59 sur 20 et un écart-type de 3,79.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique A X PC 2011 ?

Le jury cite le champ du dipôle mal connu, des bilans de forces incomplets en suspension, des réponses qui paraphrasent la question, des simplifications par ordres de grandeur non faites et la confusion entre référentiel d'étude et référentiel de projection.

Quelle est la partie la plus difficile du sujet de physique A X PC 2011 ?

Selon le rapport, la partie II sur la cinétique d'agrégation est la plus longue et sans doute la plus difficile, la question II.3 étant la plus difficile du problème.

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