Mines Physique 1 PC 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

Q: Sur quels chapitres porte l'épreuve Physique I PC Mines 2017 ?

Le sujet porte sur l'électrocinétique des dipôles, un modèle microscopique de conductivité et l'écoulement visqueux dans un tuyau, via l'étude du memristor.

Q: Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Mines Physique I PC 2017 ?

La non-reconnaissance du cycle d'hystérésis sur la courbe u(i) et une erreur d'intégration fréquente à la question 28.

Q: Ce sujet Mines Physique I PC 2017 est-il difficile ?

Non, le rapport indique qu'il ne présentait aucune difficulté technique particulière, les parties de cours ayant été bien réussies.

Q: Le sujet Mines Physique I PC 2017 comporte-t-il des applications numériques ?

Non, le rapport précise que le problème ne comportait, curieusement, aucune application numérique.

Pas encore noté

Circuits électriques, dipôles R, L, C
Conduction électrique, modèle microscopique de la conductivité
Écoulement visqueux, loi de Poiseuille
Impédance complexe

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BanqueMines Année2017 FilièrePC MatièrePhysique

Annales Mines PC Physique Mines PC 2017 PC Physique Physique 2017

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Les memristors : du dipôle électrique fondamental à l'analogie hydraulique

Le problème étudie le memristor, dipôle passif dont la résistance dépend de l'histoire du courant qui l'a traversé. Il comporte trois parties largement indépendantes : les caractéristiques générales du memristor, une analogie hydrodynamique avec un écoulement dans un tuyau, puis l'étude du premier prototype réalisé par HP Labs.

1I. Généralités sur les memristorsÉtude du dipôle memristor, de sa caractéristique courant-tension et d'un modèle microscopique de conductivité.
2II. A memristor is a pipe whose diameter variesAnalogie hydrodynamique avec l'écoulement d'un fluide visqueux dans un tuyau cylindrique.
3III. Le memristor des HP LabsÉtude du prototype réel en dioxyde de titane et de l'évolution de sa memristance.

Accessible. Le rapport indique que le problème ne présentait aucune difficulté technique particulière et que la partie I.B, application directe du cours, n'a posé aucune difficulté.

Ce qu'a observé le jury

3 erreurs relevées

Cycle d'hystérésis non identifié · Erreur d'intégration à la question 28 · Vocabulaire imprécis dans les restitutions de cours

Le problème, de difficulté croissante sur trois parties indépendantes, ne présentait aucune difficulté technique particulière ni aucune application numérique. Les parties directement issues du cours ont été bien réussies, tandis que la partie III a dérouté davantage de candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Cycle d'hystérésis non identifiéQ8, Q9, Q10
Très peu de candidats ont reconnu que la caractéristique u(i) présentait un cycle d'hystérésis, ce qui explique la mémoire du memristor.
« Très peu de candidats ont reconnu qu'il s'agissait d'un cycle d'hystérésis »
2
Erreur d'intégration à la question 28Q28
Un nombre anormalement élevé de candidats a intégré une relation différentielle comme si les grandeurs étaient constantes, révélant des lacunes en calcul différentiel.
3
Vocabulaire imprécis dans les restitutions de cours
Le jury insiste sur la nécessaire rigueur de rédaction des questions de cours, un vocabulaire approximatif n'étant pas acceptable.

Ce qui a été bien réussi

La partie I.B, modèle microscopique de conductivité tiré directement du cours, a été bien réussie.
La majorité des candidats savait calculer le champ de vitesse parabolique de l'écoulement de Poiseuille.

Conseils du jury

S'exercer aux rudiments du calcul différentiel.
Vérifier un calcul par une étude dimensionnelle rapide.
Soigner la copie avec des résultats encadrés et des mots-clés soulignés.
Lire l'énoncé en entier avant de commencer pour repérer les éléments de réponse distillés plus loin.
Toujours discuter les résultats numériques, même sans consigne explicite en ce sens.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

A2017 - PHYSIQUE I PC

CONCOURS MINES COMMUN PONTS

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne), ENSAE PARISTECH.

Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2017

PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

LES MEMRISTORS

En 1971, le professeur Leon Chut - qui exerça à l'Université de Berkeley - prédit l'existence d'un dipôle passif nouveau capable de servir de mémoire

^1

. Ce dipôle venant complèter la liste des trois dipôles fondamentaux de l'électricité à savoir le résistor, la bobine et le condensateur. Le terme de memristor qu'il inventa résulte de la contraction des deux termes memory et resistor.

En 2008, des chercheurs

^2

des HP Labs ont publié un article

^3

dans la revue Nature

^((C))

intitulé The missing memristor is found, dans lequel ils annoncent avoir mis au point un memristor présentant les propriétés prévues par Leon Chuf en 1971. La photographie de la figure 1 montre un ensemble de ces memristors.

En 2015, HP

^®

et SanDisk

^®

se sont associés pour développer la technologie des mémoires à base de memristors. Les atouts espérés de ce type de mémoires peuvent laisser rêveur : 1000 fois plus rapides que les mémoires flashs actuelles, 1000 fois plus de cycles lecture-écriture qu'actuellement et, pour couronner le tout, une densité inégalée au point de pouvoir doter un smartphone d'une mémoire de 100 To en 2020!

Figure 1 - Un ensemble de memristors (échelle nanométrique) © HP Labs

Le problème proposé comporte 3 parties largement indépendantes qui abordent différents aspects des memristors. A toutes fins utiles un formulaire est fourni à la fin du sujet.

I. -Généralités sur les memristors

I.A. - Le quatrième dipôle

Les quatre grandeurs fondamentales de l'électrocinétique sont la charge

q

, le courant

i

, le flux propre magnétique

φ

à travers le circuit et la tension

u

. Elles sont en général dépendantes du temps

t

. On considère les trois dipôles classiques que sont le résistor de résistance

R

, la bobine

Figure 2 - Carré fondamental

d'inductance

L

et le condensateur de capacité

C

. Ces trois dipôles seront supposés parfaits. Il est possible de représenter les quatre grandeurs fondamentales de l'électrocinétique au sommet d'un graphe - carré en l'occurrence - où les arêtes représentent des relations fondamentales ou des relations fonctionnelles des dipôles. Ce carré est représenté sur la figure 2. Avant 1971, on connaissait cinq relations entre les sommets de ce graphe et une était manquante. On se placera systématiquement en convention récepteur pour tout dipôle étudié dans la suite du problème.

1 - Rappeler les relations fonctionnelles de proportionnalité caractérisant les trois dipôles parfaits classiques. Ces relations correspondent aux arêtes 1, 2 et 3 du carré fondamental de la figure 2. On précisera l'unité usuelle de chaque coefficient de proportionnalité.
$◻2$ - Rappeler la relation fondamentale liant $q, i$ et $t$ . A partir d'une équation de Maxwell, justifier que $u = (dφ)/(dt)$ .

$3$ - Déduire des deux questions précédentes une écriture de chaque relation 1 à 5 du carré fondamental de la figure 2 sous la forme $dx = y dz$ .
$◻4$ - Dans son article de 1971, Leon Chus prédit l'existence d'une relation $f(φ, q) = 0$ que l'on peut soit expliciter sous la forme $φ = φ(q)$ , on dit que l'on a un memristor contrôlé par la charge; soit sous la forme $q = q(φ)$ , on dit alors que l'on a un memristor contrôlé par le flux. La sixième relation différentielle est posée sous la forme $dφ = M(q)dq$ où $M(q)$ est la memristance. Quelle unité rencontrée fréquemment en électricité est aussi celle de la memristance? On justifiera précisément sa réponse.
5 - On associe deux memristors de memristances $M_1$ et $M_2$ en série. Quelle est la memristance $M$ du dipôle équivalent? On justifiera sa réponse. Même question si on associe $M_1$ et $M_2$ en parallèle.

Afin de concrétiser la notion de memristor, on propose de le modéliser par la relation

φ(q) = αq + β/3q^3

où

α

β

sont des coefficients réels positifs. On impose dans le memristor une intensité

i(t) = i_0 sinωt

pour

t \geq 0

et on suppose que pour

t < 0, i = 0

. Enfin, on considère qu'à la date

t = 0

, on a

q(t = 0) = 0

Figure 3 - Graphe de

φ(t)

6 - Déterminer l'expression de $q(t)$ et tracer sur un même graphique les courbes représentatives de $i(t)$ et $q(t)$ .
7 - On donne sur la figure 3 la courbe représentative de $φ(t)$ . Reproduire cette courbe en y rajoutant sans calcul l'allure de la courbe représentative de $u(t)$ .
8 - En analysant la courbe $u(i)$ du memristor précédent représentée sur la figure 4, pourquoi peut-on dire, en simplifiant un peu, que le memristor étudié présente deux régimes de fonctionnement : l'un dans lequel il laisse passer le courant et l'autre dans lequel ce n'est pas le cas?
9 - La courbe $u(i)$ de la figure 4 présente donc un phénomène particulier. De quoi dépend la résistance du memristor ? Expliquer la possibilité d'utiliser le memristor pour mémoriser une information.
10 - Leon Chua qualifia le memristor de non volatile memory, c'est-à-dire de mémoire permanente. Quel élément sur le graphique de la figure 4 permet de dire que le memristor est une telle mémoire?

Figure 4 - Courbe

u(i)

du memristor proposé

I.B. - Conductivité

On considère un milieu conducteur où les porteurs de charge possèdent chacun une charge

q

et une masse

m

. Ils sont présents dans le milieu conducteur supposé homogène et isotrope à raison d'une densité volumique

n

m^(- 3)

. Ces porteurs sont soumis à un champ électrique qui va les mettre en mouvement pour créer un courant. Lorsqu'elles se déplacent, ces charges interagissent avec d'autres porteurs en mouvement mais aussi avec leur environnement fixe constitué par le réseau cristallin du conducteur. Elles subissent alors des interactions que l'on peut assimiler à des chocs. Il résulte de l'ensemble des interactions une force de type

- m/τv⃗

où

v⃗

est la vitesse des porteurs mobiles et

τ

la durée moyenne qui sépare deux chocs successifs subis par une charge

q

. Cette durée est de l'ordre de

10^(- 12) s

. Le poids des charges sera négligé.

On étudie un conducteur cylindrique de section

S

, de rayon

a

et de longueur

ℓ

constitué du milieu conducteur défini ci-dessus. Ce conducteur est soumis à une différence de potentiel

U_0

indépendante du temps qui impose un champ électrique

E⃗_0

uniforme et indépendant du temps.

11 - Établir l'équation différentielle à laquelle satisfait la vitesse des porteurs de charge. Donner la solution $v⃗(t)$ sans se préoccuper de déterminer la constante d'intégration. Quelle est l'expression de la vitesse en régime permanent? Sauf précision contraire, on considère que l'on est en régime permanent. Cette hypothèse est-elle contraignante?
12 - La mobilité $μ$ des porteurs de charge est définie de telle sorte que $v⃗ = μE_0^(\to-)$ . Donner l'expression de la mobilité d'une charge $q$ . Après avoir rappelé la définition de la densité volumique de courant $j⃗_0$ , établir l'expression de la conductivité électrique $γ_0$ du conducteur définie par la loi $j⃗_0 = γ_0 E_0^(\to-)$ . Quel est le nom de la loi précédente?
13 - Déterminer l'expression de la résistance électrique $R_0$ du cylindre conducteur en fonction de $γ_0, ℓ$ et $S$ .
14 - Leon Chua indiqua dans son article fondateur que la résistance était un dipôle memory less $^4$ car le signal associé à la tension suivait instantanément les évolutions du signal associé au courant. Justifier cette affirmation.
15 - On impose maintenant au dipôle non plus le champ électrique $E⃗_0$ mais un champ électrique $E⃗_1$ toujours uniforme mais dépendant du temps selon $E⃗_1 = E⃗_(1m)cosωt$ . Montrer que le dipôle peut être décrit au moyen d'une impédance complexe $Z_-$ correspondant à l'association de deux dipôles et que la tension ne suit plus instantanément les évolutions de l'intensité. On exprimera $Z_-$ en fonction, entre autres, de $R_0$ . À quelle condition retrouve-t-on la situation où le dipôle est un résistor de résistance $R_0$ ? Qualifier le comportement du conducteur et l'interpréter.

On revient à la situation où le champ électrique

E⃗_0

imposé est indépendant du temps. On étudie à nouveau la situation du régime permanent.

16 - Quelle est la puissance transférée à la charge $q$ par le champ électrique $E⃗_0$ ? Quelle est la puissance volumique associée à ce transfert d'énergie ?
$◻17$ - En considérant l'ensemble du conducteur cylindrique, montrer que la puissance qu'il reçoit est $p = ui$ . Cette expression peut être généralisée aux régimes lentement variables puisque la puissance instantanée $p(t)$ est alors donnée par : $p(t) = u(t)i(t)$ .
18 - Dans le cas où le dipôle est un memristor, exprimer la puissance qu'il reçoit en fonction de sa memristance et de l'intensité du courant.

FIN DE LA PARTIE I

II. - A memristor is a pipe whose diameter varies

Leon Chua a décrit le memristor comme un tuyau dans lequel s'écoulerait un fluide, tuyau dont le diamètre varierait en fonction de la valeur du débit du fluide et du sens dans lequel le fluide le traverserait.

Dans cette partie du problème, on étudie l'écoulement lent d'un liquide incompressible de viscosité dynamique

η

dans un tuyau cylindrique de section circulaire

S

, de rayon

a

et de longueur

ℓ

. On considère que le tuyau est horizontal. L'écoulement est la conséquence d'un écart de pression entre l'entrée, où la pression est

P_e

, et la sortie, où la pression est

P_s < P_e

. Ces pressions sont supposées maintenues au cours du temps. L'objectif est de déterminer l'expression de la résistance hydraulique correspondant à l'écoulement dans le tuyau et de voir qu'en modifiant le diamètre du tuyau, on a bien une évolution de la résistance hydraulique

permettant de faire l'analogie proposée par Leon Chua pour le memristor en électricité et sa résistance électrique.
Afin d'avoir une approche relativement réaliste de l'écoulement, on prend en compte le fait que le champ des vitesses dans le fluide n'est pas uniforme dans une section donnée de l'écoulement.

II.A. - Modélisation d'un écoulement

19 - Formuler des hypothèses raisonnables pour décrire l'écoulement du fluide dans le tuyau.
20 - En déduire deux équations locales qui sont la conséquence des hypothèses précédentes.
21 - Déterminer l'expression du champ des vitesses au sein de l'écoulement.
22 - En déduire le débit volumique $D_(vol)$ du fluide qui traverse le tuyau.

II.B. - Résistance hydraulique

La résistance hydraulique est définie par la formule

R_(hyd) = (P_e - P_s)/(D_(vol))

$23$ - Montrer qu'il existe une analogie entre la définition de la résistance hydraulique et celle de la résistance électrique, on précisera soigneusement les différents termes de cette analogie. Connaissez-vous, dans un autre domaine de la Physique, une autre résistance? Y a-t-il une analogie possible avec les deux précédentes?
24 - Déterminer l'expression de la résistance hydraulique $R_(hyd)$ dans le cadre du modèle d'écoulement utilisé.
25 - L'image, proposée par Leon Chua, du memristor comme un tuyau dont le diamètre varie est-elle appropriée?

FIN DE LA PARTIE II

III. - Le memristor des HP Labs

Le memristor mis au point aux HP Labs est constitué par un mince film de dioxyde de titane de 5 nm d'épaisseur et de longueur

ℓ = 10 nm

. À chaque extrémité de ce dipôle, le contact électrique est assuré par 2 électrodes de platine. La particularité de ce memristor est que le dioxyde de titane présente dans une zone des lacunes en oxygène, la formule brute du dioxyde de titane étant alors

TiO_(2 - x)

x

représente les lacunes. On admet que cette situation est équivalente à celle d'un milieu dopé dans lequel les charges mobiles portent deux charges élémentaires positives

q = + 2e

. Dans le reste du film, on trouve du dioxyde de titane sans lacune de formule

TiO_2

. Si le film est totalement dopé, sa résistance électrique est faible et vaut

R_(on) ≃ 1kΩ

. Au contraire, si le film n'est pas dopé du tout alors sa résistance électrique est élevée :

R_(off) ≃ 100R_(on)

. Supposons que la frontière entre la zone dopée et la zone non dopée soit située à l'abscisse

z

, voir le schéma de la figure 5 .

$26$ - Donner l'expression de la résistance électrique du memristor lorsque la frontière entre la zone dopée et la zone non dopée se situe à l'abscisse $z_0$ , on notera cette résistance $R_(mem o)$ .

La particularité du film de dioxyde de titane est que la position de la frontière évolue au cours du temps en fonction de l'intensité du courant qui est passée mais aussi en fonction du sens de ce courant. C'est cela qui en fait un memristor. On peut donc passer d'un dispositif bon conducteur à un autre presque isolant. On note dorénavant

z(t)

la position de la frontière entre la zone dopée et la zone non dopée.

Pour le déplacement de la frontière, on reprend le modèle linéaire de la mobilité étudié à la question 12 où l'on note toujours

μ

la mobilité des charges mobiles. On propose alors d'écrire

Figure 5 - Représentation schématique du memristor des HP Labs

la relation

(dz)/(dt) = μ(R_(on)i(t))/ℓ

dans laquelle le courant

i(t)

est algébrique et son sens conventionnel précisé sur la figure 5.

27 - Interpréter la relation précédente.
$◻28$ - On suppose que $i(t < 0) = 0$ , puis que $i(t \geq 0) \neq 0$ et enfin qu'à la date $t = 0$ , la frontière est située en $z = z_0$ . Établir l'expression de $z(t)$ en fonction, entre autres, de la charge $q(t)$ qui a circulé depuis la date $t = 0$ . Quelle est la charge minimale $Q_(min)$ nécessaire, dans le cas le plus défavorable, pour que le memristor soit dans l'état le plus conducteur possible?
29 - Établir l'expression de la memristance $M(q)$ en fonction, entre autres, de $R_(mem _o)$ . Expliquer pourquoi le memristor a été réalisé pour la première fois avec un système nanométrique.
$30$ - Pour simplifier les calculs, on considère que $R_(off)≫R_(on), z_0 = 0$ et $φ(t = 0) = 0$ . On impose dans le memristor, à partir de la date $t = 0$ , un courant d'intensité $i(t) = i_0 sinωt$ . Établir les expressions de $q(t), φ(t)$ et $u(t)$ .

Figure 6 - Courbe

i(u)

expérimentale du film de

TiO_2

$31$ - Dans leur article de 2008, les chercheurs $^5$ des HP Labs ont obtenu expérimentalement la courbe $i(u)$ de la figure 6. Commenter cette courbe.

FIN DE LA PARTIE III

Formulaire

Analyse vectorielle en coordonnées polaires

Dans le système des coordonnées cylindro-polaires (

r, θ, z

) de base associée (

e⃗_r, e⃗_θ, e⃗_z

), on rappelle quelques formules d'analyse vectorielle.
Soit

f

une fonction scalaire telle que

f = f(r, θ, z, t)

, le gradient de cette fonction est :

gradf = (\partialf)/(\partialr)e⃗_r + 1/r(\partialf)/(\partialθ)e⃗_θ + (\partialf)/(\partialz)e⃗_z

Soit

A⃗

un vecteur fonction des coordonnées cylindriques, l'expression la plus générale du vecteur est :

A⃗ = A_r(r, θ, z, t)e⃗_r + A_θ(r, θ, z, t)e⃗_θ + A_z(r, θ, z, t)e⃗_z

La divergence du vecteur

A⃗

est :

divA⃗ = 1/r(\partial(rA_r))/(\partialr) + 1/r(\partialA_θ)/(\partialθ) + (\partialA_z)/(\partialz)

Le rotationnel du vecteur

A⃗

est :

rotA⃗ = (1/r(\partialA_z)/(\partialθ) - (\partialA_θ)/(\partialz))e⃗_r + ((\partialA_r)/(\partialz) - (\partialA_z)/(\partialr))e⃗_θ + 1/r((\partial(rA_θ))/(\partialr) - (\partialA_r)/(\partialθ))e⃗_z

Quelques règles sur les opérateurs :

rotgradf = 0\to et divrotA⃗ = 0; rotrotA⃗ = graddivA⃗ - Δ⃗A⃗ et rot(fA⃗) = frotA⃗ + gradf \land A⃗; div(fA⃗) = fdivA⃗ + (A⃗ \cdot grad)f

Soit

S

une surface fermée entourant un volume

τ

. Le flux d'un vecteur sur la surface

S

orientée vers l'extérieur est égal à l'intégrale de la divergence de ce vecteur sur tout le volume

τ

é è ∯ Théorème de Green - Ostrogradski \int∯ _S A⃗ \cdot dS⃗ = ∭_(τ/S)divA⃗ dτ

Soit

C

une courbe fermée sur laquelle s'appuie une surface

Σ

. La circulation d'un vecteur le long de

C

est égale au flux du rotationnel de ce vecteur à travers

Σ

orientée selon la règle du tire-bouchon.

é è Théorème de Stokes \oint _C A⃗ \cdot dℓ⃗ = \iint_(Σ/C)rotA⃗ \cdot dΣ⃗

Mécanique des fluides

On rappelle l'équation de la Dynamique des fluides telle qu'elle est fréquemment utilisée où

ρ

est la masse volumique du fluide,

η

la viscosité dynamique,

p

la pression et

g⃗

le champ de pesanteur :

ρ[(\partialv⃗)/(\partialt) + (v⃗ \cdot grad)v⃗] = - gradp + ρg⃗ + ηΔ⃗v⃗; avec(v⃗ \cdot grad)v⃗ = grad((v^2)/2) + rotv⃗ \land v⃗

FIN DE L'ÉPREUVE

1. IEEE Transactions on Circuit Theory, vol. CT-18, №5, September, 1971.
2. Dmitri Strukov, Gregory Snider, Duncan Stewart et Stanley Williams
3. Nature, Vol 453-1 May 2008- doi :10.1038/nature06932
1. sans mémoire
1. D. Strukov, G. Snider, D. Stewart & S. Williams The missing memristor is found Nature Vol 453-1 May 2008-doi :10.1038/nature06932

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve Physique I PC Mines 2017 ?

Le sujet porte sur l'électrocinétique des dipôles, un modèle microscopique de conductivité et l'écoulement visqueux dans un tuyau, via l'étude du memristor.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Mines Physique I PC 2017 ?

La non-reconnaissance du cycle d'hystérésis sur la courbe u(i) et une erreur d'intégration fréquente à la question 28.

Ce sujet Mines Physique I PC 2017 est-il difficile ?

Non, le rapport indique qu'il ne présentait aucune difficulté technique particulière, les parties de cours ayant été bien réussies.

Le sujet Mines Physique I PC 2017 comporte-t-il des applications numériques ?

Non, le rapport précise que le problème ne comportait, curieusement, aucune application numérique.

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