Centrale Mathématiques 2 PC 2010Sujet, corrigé et rapport du jury

Systèmes de racines, triplets admissibles

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Présentation du sujet

Difficile

Systèmes de racines et sous-algèbres de Cartan des algèbres de Lie

Le problème introduit la notion de système de racines, un ensemble fini de formes linéaires aux propriétés géométriques remarquables intervenant dans la classification des algèbres de Lie. Il étudie ensuite les propriétés de l'espace des matrices de trace nulle, puis esquisse une étude systématique des sous-algèbres de Cartan, jusqu'à l'exemple de l'algèbre de type B2.

1Partie I : systèmes de racinesÉtudier les propriétés géométriques (angles, longueurs) des systèmes de racines d'un espace euclidien et en représenter des exemples.
2Partie II : propriétés de M0(n, K)Étudier l'espace des matrices de trace nulle, un isomorphisme associé, et caractériser les matrices nilpotentes.
3Partie III : systèmes de racines et triplets admissiblesÉtudier systématiquement les sous-algèbres de Cartan en dimension quelconque, puis l'exemple de l'algèbre de type B2.

Difficile. Le rapport décrit un sujet de nature conceptuelle, rompant avec des sujets plus calculatoires des sessions précédentes, avec des passages délicats comme l'équivalence de trois assertions en II.C et une récurrence en III.A.3.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées

Implications inutiles démontrées pour une équivalence · Sous-espace confondu avec les matrices à diagonale nulle · Récurrence sur un ensemble non fini

Le sujet a davantage testé la capacité des candidats à formuler des raisonnements complets que leurs connaissances, la plupart des questions portant sur l'algèbre linéaire et la réduction des endomorphismes, notions jugées familières par le jury.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Implications inutiles démontrées pour une équivalenceII.C
Beaucoup de candidats perdent du temps à montrer une implication qui ne sera d'aucune utilité pour l'équivalence visée, au lieu de choisir un cycle d'implications minimal.
2
Sous-espace confondu avec les matrices à diagonale nulleII.A
La définition de M0(n,K) comme noyau d'une forme linéaire n'apparaît pas assez, ce qui conduit un bon nombre de candidats à le confondre avec l'espace des matrices à diagonale nulle.
3
Récurrence sur un ensemble non finiIII.A.3
Il fallait éviter de parler de bases et la tentation de faire une récurrence sur le nombre d'éléments, qui n'est pourtant pas supposé fini.
4
Contre-exemple en dimension 3 absentII.D
Pratiquement aucune copie ne donne un contre-exemple valable en dimension 3 pour la seconde partie de la question.

Ce qui a été bien réussi

La question I.C.1a a constitué une bonne surprise, beaucoup de candidats ayant su voir que le résultat devant être entier, il suffisait de montrer qu'il ne pouvait être supérieur ou égal à 4.
La propriété fondamentale de la trace paraît bien connue en II.B.
La question III.A.2 a été bien traitée le plus souvent.

Conseils du jury

Choisir un cycle d'implications minimal pour démontrer une équivalence plutôt que de multiplier les implications.
Privilégier les décompositions en somme directe de sous-espaces plutôt que le choix explicite de bases.
Prendre le temps de bien comprendre les quantificateurs, même exprimés en langage courant.
Prendre soin de la norme du générateur dans une formule de projection orthogonale sur une droite.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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Les parties I et II sont indépendantes. La partie III est pour une large part indépendante des deux autres.

I Systèmes de racines

Les systèmes de racines interviennent dans divers domaines des mathématiques et en cristallographie.
Le couple (

E, ⟨.,

é ⟩)désigneunespaceeuclidiendedimensionn \geq 1

. On note

‖

é ‖lanormeassociéeauproduit

scalaire

⟨.,

é ⟩.Onrappellequ^' uneréflexiondeE

est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan de

E

. Pour tout élément

α

non nul de

E

, on note

τ_α

la réflexion de

E

par rapport à l'orthogonal de la droite

Vect(α)

I.A

- Soit

α

un élément non nul de

E

. Montrer, pour tout vecteur

x

E

, l'identité :

τ_α(x) = x - 2(⟨α, x⟩)/(⟨α, α⟩)α

Pour tout sous-espace vectoriel

F

E

, on appelle système de racines de

F

une partie non vide

R

F

vérifiant les quatre propriétés suivantes :

$R$ est fini, engendre $F$ et ne contient pas le vecteur nul;
pour tout $α$ dans $R$ , on a $τ_α(R) = R$ ;
pour tout $α$ dans $R$ , les seuls éléments de $R$ colinéaires à $α$ sont $α$ et $- α$ ;
pour tout couple $(α, β)$ dans $R^2$ , on a $2(⟨α, β⟩)/(⟨α, α⟩) \in ℤ$ .
$I.B$ - On suppose dans cette question que l'espace $E$ est de dimension 1.
Montrer que les systèmes de racines de $E$ sont les ensembles ${α, - α}$ , avec $α \in E∖{0}$ .
$I.C$ - Dans cette question, l'espace $E$ est de dimension $n \geq 2$ .
Pour tout couple ( $α, β$ ) de vecteurs non nuls de $E$ , soit $θ_(α, β)$ l'angle géométrique entre $α$ et $β$ , c'est-à-dire l'unique élément de $[0, π]$ donné par : $‖α‖.‖β‖cosθ_(α, β) = ⟨α, β⟩$ .
I.C.1) Soit $R$ un système de racines de $E$ et soient $α, β$ deux éléments de $R$ non colinéaires.
a) Montrer, à l'aide de la propriété 4, que : $2(‖α‖)/(‖β‖)|cosθ_(α, β)|.2(‖β‖)/(‖α‖)|cosθ_(α, β)| \leq 3$ .
b) On suppose $‖α‖ \leq ‖β‖$ . Montrer que le couple ( $α, β$ ) se trouve dans l'une des configurations recensées dans le tableau ci-dessous (chaque ligne correspondant à une configuration) :

$θ_(α, β)$	$cosθ_(α, β)$	$‖β‖/‖α‖$
$π/2$	0	$\geq 1$
$π/3$	$1/2$	1
$2π/3$	$- 1/2$	1
$π/4$	$\sqrt2/2$	$\sqrt2$
$3π/4$	$- \sqrt2/2$	$\sqrt2$
$π/6$	$\sqrt3/2$	$\sqrt3$
$5π/6$	$- \sqrt3/2$	$\sqrt3$

I.C.2) Réciproquement, on suppose qu'un couple (

α, β

) de vecteurs non colinéaires de

E

se trouve dans
l'une des configurations recensées dans le tableau ci-dessus. Montrer que le réel

2(⟨α, β⟩)/(⟨α, α⟩)

est un entier relatif; en préciser la valeur.

I.D

- Dans cette question, l'espace

E

est de dimension

n = 2

.
Pour tout système de racines

R

E

, on pose

θ_R = min{θ_(α, β)|(α, β) ∈ R^2, α ≠ β et α ≠ − β}

I.D.1) Montrer que

θ_R

est bien défini et est égal à

π/2, π/3, π/4

π/6

.
I.D.2) Pour chaque valeur de

k \in {2, 3, 4, 6}

, représenter graphiquement un système de racines

R_k

tel que

θ_(R_k) = π/k

. Il n'est pas nécessaire de justifier que les figures tracées représentent bien des systèmes de racines. Quel est le cardinal de

R_k

? Aucune justification n'est attendue.
I.E - Dans cette question, l'espace

E

est de dimension

n = 3

Soient (

e_1, e_2, e_3

) une base orthonormale de

E

R_0 = {e_i − e_j|1 ≤ i, j ≤ 3, i ≠ j}

.
I.E.1) Montrer que le sous-espace vectoriel de

E

engendré par la partie

R_0

est un plan vectoriel.
I.E.2) Représenter graphiquement

R_0

dans le plan

Vect(R_0)

. Reconnaître l'un des systèmes de racines représentés à la question I.D.2.

II Propriétés de $M_0(n, 𝕂)$

La lettre $n$ désigne un entier supérieur ou égal à 1 .
On note $𝕂$ le corps des nombres réels ou le corps des nombres complexes.
On note respectivement $M(n, 𝕂), GL(n, 𝕂), D(n, 𝕂)$ l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients dans $𝕂$ , le groupe des matrices inversibles de $M(n, 𝕂)$ , le sous-espace vectoriel de $M(n, 𝕂)$ formé des matrices diagonales.
On désigne par $M_0(n, 𝕂)$ l'ensemble des matrices de $M(n, 𝕂)$ de trace nulle.
On note $I_n$ la matrice identité et 0 la matrice nulle de $M(n, 𝕂)$ .
On dit qu'une matrice $A$ de $M(n, 𝕂)$ est nilpotente s'il existe un entier naturel non nul $r$ tel que $A^r = 0$ . De la même manière, on dit qu'un endomorphisme $f$ est nilpotent s'il existe un entier naturel non nul $r$ tel que $f \circ \dots \circ f_()_(r fois) = 0$ .
Pour tout couple ( $A, B$ ) d'éléments de $M(n, 𝕂)$ , le crochet $[A, B]$ est défini par $[A, B] = AB - BA$ .
Pour tout $A \in M(n, 𝕂)$ , on définit l'endomorphisme

Φ_A : M(n, 𝕂), ⟶ M(n, 𝕂); B, ⟼ [A, B]

On dit qu'un triplet ( $X, H, Y$ ) de trois matrices non nulles de $M(n, 𝕂)$ est un triplet admissible si les trois relations suivantes sont vérifiées :

[H, X] = 2X; [X, Y] = H; [H, Y] = - 2Y

On pose :

X_0 = (0, 1; 0, 0); H_0 = (1, 0; 0, - 1); Y_0 = (0, 0; 1, 0); J_0 = (0, 1; - 1, 0)

II.A - Généralités

II.A.1) Montrer que

M_0(n, 𝕂)

est un

𝕂

-espace vectoriel ; en préciser la dimension.
II.A.2) Justifier que, pour tout couple

(A, B)

d'éléments de

M(n, 𝕂)

, la matrice

[A, B]

appartient à

M_0(n, 𝕂)

II.B - Un isomorphisme

Montrer que l'application

j :, 𝕂^3 ⟶ M_0(2, 𝕂); (x; y; z) ⟶ (x, y + z; y - z, - x).).

est un isomorphisme de

𝕂

-espaces vectoriels.

II.C - Caractérisation des matrices nilpotentes

Soit

A

une matrice non nulle de

M_0(2, 𝕂)

. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
i. La matrice

A

est nilpotente ;
ii. Le spectre de

A

est égal à

{0}

;
iii. La matrice

A

est semblable à la matrice

(0, 1; 0, 0)

II.D - Le cas complexe

On suppose dans cette question que

𝕂

est égal à

ℂ

.
II.D.1) Montrer que deux matrices non nulles de

M_0(2, ℂ)

sont semblables si et seulement si elles ont le même polynôme caractéristique.
II.D.2) Ce résultat reste-t-il vrai pour deux matrices non nulles de

M_0(n, ℂ)

, avec

n \geq 3

II.E - Le cas réel

On suppose dans cette question que

𝕂

est égal à

ℝ

.
II.E.1) Soit

A

une matrice de

M_0(2, ℝ)

. On suppose que son polynôme caractéristique vaut

X^2 + r^2

, où

r

est un réel non nul.
a) Justifier l'existence d'une matrice

P \in GL(2, ℂ)

vérifiant : ir

H_0 = P^(- 1)AP

. Que vaut la matrice

A^2 + r^2 I_2

?
b) Soit

f

l'endomorphisme de

ℝ^2

canoniquement associé à la matrice

A

, c'est-à-dire qui à un vecteur colonne

u

ℝ^2

associe le vecteur

Au

. Soit

w

un vecteur non nul de

ℝ^2

. Prouver que la famille (

1/rf(w), w

) est une base de

ℝ^2

, et donner la matrice de

f

dans cette base.
II.E.2) Montrer que deux matrices non nulles de

M_0(2, ℝ)

sont semblables dans

M(2, ℝ)

si et seulement si elles ont le même polynôme caractéristique.
II.E.3) On munit l'espace vectoriel

ℝ^3

de sa structure affine euclidienne canonique et de son repère canonique. Pour toute matrice

A

M_0(2, ℝ)

, on note

Q_A

l'ensemble des points de

ℝ^3

dont l'image par l'application

j

possède le même polynôme caractéristique que

A

.
a) Soit

r

un réel strictement positif. Montrer que chacune des parties

Q_(X_0), Q_(rJ_0)

Q_(rH_0)

est une quadrique dont on précisera une équation.
b) Représenter graphiquement l'allure des quadriques

Q_(X_0), Q_(J_0)

Q_(H_0)

sur un même dessin.

II.F - Un lemme

Soient

A, B

M

trois éléments de

M_0(2, 𝕂)

.
II.F.1) Exprimer la trace de la matrice

M^2

en fonction du déterminant de

M

.
II.F.2) Démontrer que la matrice

M

est nilpotente si et seulement si la trace de la matrice

M^2

est nulle.
II.F.3) On suppose que les matrices

A

[A, B]

commutent.

Démontrer que la matrice

[A, B]

est nilpotente.
II.G - Description des triplets admissibles de

M_0(2, 𝕂)

II.G.1) Déterminer les matrices

M

M(2, 𝕂)

qui commutent avec

X_0

. Quelles sont les matrices

M

M_0(2, 𝕂)

qui commutent avec

X_0

?
II.G.2) Soit

P

une matrice de

GL(2, 𝕂)

. Vérifier que (

PX_0 P^(- 1), PH_0 P^(- 1), PY_0 P^(- 1)

) est un triplet admissible. On se propose de démontrer que, réciproquement, tous les triplets admissibles de

M_0(2, 𝕂)

sont de cette forme. Pour toute la suite de la question II.G, soient

X, H, Y

trois éléments de

M_0(2, 𝕂)

tels que (

X, H, Y

) forme un triplet admissible.
II.G.3) Montrer en utilisant les questions II.F et II.C qu'il existe une matrice

Q \in GL(2, 𝕂)

vérifiant

X = QX_0 Q^(- 1)

.
On fixe pour la suite de la question II.G une telle matrice

Q \in GL(2, 𝕂)

.
II.G.4) On définit les vecteurs

u = Q(1/0)

v = Q(0/1)

.
a) En calculant le vecteur

[H, X]u

de deux manières différentes, démontrer que

u

est un vecteur propre de la matrice

H

.
b) En calculant le vecteur

[H, X]v

de deux manières différentes, prouver l'existence d'un scalaire

t

vérifiant l'identité :

H = Q(1, t; 0, - 1)Q^(- 1)

.
c) Trouver une matrice

T \in GL(2, 𝕂)

commutant avec

X_0

et vérifiant la relation

H = QTH_0(QT)^(- 1)

On pose désormais

P = QT

.
II.G.5) Soit

Y^' \in M_0(2, 𝕂)

telle que (

X, H, Y^'

) soit un triplet admissible.
a) Déduire de la question II.G. 1 les matrices de

M_0(2, 𝕂)

qui commutent avec

X

.
b) Calculer les matrices

Φ_X(Y - Y^')

Φ_H(Y - Y^')

.
c) En déduire que l'on a

Y^' = Y

.
II.G.6) Démontrer l'identité

(X, H, Y) = (PX_0 P^(- 1), PH_0 P^(- 1), PY_0 P^(- 1))

III Systèmes de racines et triplets admissibles d'un sous-espace de

M(n, 𝕂)

III.A - Diagonalisation simultanée

Soit

V

𝕂

-espace vectoriel de dimension finie non nulle.
III.A.1) Soient

f

un endomorphisme de

V

diagonalisable et

W

un sous-espace non nul de

V

stable par

f

. Montrer que l'endomorphisme de

W

induit par

f

est diagonalisable.
III.A.2) Soient

f

g

deux endomorphismes de

V

qui commutent, c'est-à-dire tels que

f \circ g = g \circ f

. Montrer que les sous-espaces propres de

f

sont stables par

g

.
III.A.3) Soit

I

un ensemble non vide et soit

{f_i|i ∈ I}

une famille d'endomorphismes de

V

diagonalisables commutant deux à deux. Montrer qu'il existe une base de

V

dans laquelle les matrices des endomorphismes

f_i

, pour

i \in I

, sont diagonales. Indication : on pourra traiter d'abord le cas où tous les endomorphismes

f_i

sont des homothéties, puis raisonner par récurrence sur la dimension de

V

III.B - Application

On reprend dans cette partie les notations de la partie II.
Soit

A

un sous-espace vectoriel non nul de

M(n, 𝕂)

stable par crochet, c'est-à-dire vérifiant :

\forall(A, B) \in A \times A, [A, B] \in A

On note

E

l'intersection de

A

D(n, 𝕂)

.
III.B.1) Soit

H

un élément de

E

.
a) Calculer l'image par

Φ_H

de la base canonique de

M(n, 𝕂)

. En déduire que

Φ_H

est un endomorphisme diagonalisable de

M(n, 𝕂)

.
b) Montrer qu'il existe une base de

A

dans laquelle les matrices des endomorphismes de

A

induits par les

Φ_H

, pour

H \in E

, sont diagonales.
Pour toute application

λ

E

dans

𝕂

, on pose :

A_λ = {M ∈ A|Φ_H(M) = λ(H)M pour tout H ∈ E}

III.B.2) Soit

λ

une application de

E

dans

𝕂

.
a) Montrer que

A_λ

est un sous-espace vectoriel de

A

.
b) Montrer que si

A_λ

est non réduit à

{0}

, alors

λ

est une forme linéaire de

E

On note

E^*

l'espace vectoriel des formes linéaires de

E

S(A)

l'ensemble des éléments

λ

E^∗∖{0}

tels que

A_λ

est différent de

{0}

III.C - Un exemple

On reprend dans cette question les notations des parties I et II ainsi que de la question III.B. On suppose désormais

A = {(A, B; C, − ^t A)| (A, B, C) ∈ (M(2, ℝ))^3, B = ^t B et C = ^t C}

où, pour tout

M \in M(2, ℝ)

, le symbole

^t M

désigne la transposée de

M

.
On a donc

E = {(D, 0; 0, - D)| D \in D(2, ℝ)}

.
III.C.1) Montrer que

A

est un sous-espace vectoriel de

M(4, ℝ)

stable par crochet. Montrer qu'on a

A_0 = E

, où

A_0

désigne

A_λ

lorsque

λ

est la forme linéaire nulle. Donner une base de

A_0

.
III.C.2) Pour

k \in {1, 2}

, on note

e_k

l'élément de

E^*

qui à toute matrice

(D, 0; 0, - D)

,
où

D = (d_1, 0; 0, d_2) \in D(2, ℝ)

, associe le coefficient

d_k

.
a) Vérifier que (

e_1, e_2

) forme une base de

E^*

On munit

E^*

de l'unique produit scalaire faisant de (

e_1, e_2

) une base orthonormale.
b) Soit

R = {e_1 − e_2, e_2 − e_1, e_1 + e_2, − e_1 − e_2, 2e_1, − 2e_1, 2e_2, − 2e_2}

. Montrer que l'ensemble

R

est un système de racines de

E^*

. On pourra pour cela dessiner la partie

R

dans le plan euclidien

E^*

et reconnaître l'un des systèmes de racines rencontrés dans la question I.D
III.C.3) Soit

α \in R

. Déterminer par le calcul le sous-espace vectoriel

A_α

. Vérifier que

A_α

est une droite vectorielle.
III.C.4) Établir la relation

A = A_0 \oplus ⨁_(α \in R)A_α

.
III.C.5) Démontrer l'égalité

S(A) = R

.
III.C.6) On pose désormais

α = e_1 - e_2, β = 2e_2, H_α = (1, 0, 0, 0; 0, - 1, 0, 0; 0, 0, - 1, 0; 0, 0, 0, 1)

H_β = (0, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0; 0, 0, 0, 0; 0, 0, 0, - 1)

.
a) En utilisant les résultats de la question III.C.3, montrer qu'il existe un couple

(X_α, X_(- α)) \in A_α \times A_(- α)

et un couple

(X_β, X_(- β)) \in A_β \times A_(- β)

tels que (

X_α, H_α, X_(- α)

) et (

X_β, H_β, X_(- β)

) soient des triplets admissibles de

A

.
On fixe deux tels triplets admissibles.
b)

Montrer que

A

est le plus petit sous-espace vectoriel de

M(4, ℝ)

stable par crochet et contenant les matrices

X_α, H_α, X_(- α), X_β, H_β

X_(- β)

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 Centrale PC 2010 ?

Le sujet porte sur l'algèbre linéaire, la réduction des endomorphismes et les espaces euclidiens, à travers l'étude des systèmes de racines et des sous-algèbres de Cartan des algèbres de Lie.

Le sujet de maths 2 Centrale PC 2010 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme un sujet de nature conceptuelle et exigeant en rédaction, rompant avec des sujets plus calculatoires des sessions précédentes.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 Centrale PC 2010 ?

Le jury signale des implications inutiles démontrées pour une équivalence, une confusion entre M0(n,K) et les matrices à diagonale nulle, et une récurrence tentée sur un ensemble non fini.

Faut-il connaître les algèbres de Lie pour ce sujet de maths 2 Centrale PC 2010 ?

Non, le sujet introduit progressivement les systèmes de racines et les sous-algèbres de Cartan ; il mobilise surtout l'algèbre linéaire et la réduction du programme des deux années.

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I Systèmes de racines

II Propriétés de M_0(n, 𝕂)

II.A - Généralités

II.B - Un isomorphisme

II.C - Caractérisation des matrices nilpotentes

II.D - Le cas complexe

II.E - Le cas réel

II.F - Un lemme

III Systèmes de racines et triplets admissibles d'un sous-espace de

III.A - Diagonalisation simultanée

III.B - Application

III.C - Un exemple

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 Centrale PC 2010 ?

Le sujet de maths 2 Centrale PC 2010 est-il difficile ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 Centrale PC 2010 ?

Faut-il connaître les algèbres de Lie pour ce sujet de maths 2 Centrale PC 2010 ?

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II Propriétés de $M_0(n, 𝕂)$