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Centrale Mathématiques 2 PC 2011

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Algèbre généraleRéduction
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Notations

  • Dans tout le problème, est un entier naturel fixé, supérieur ou égal à 2 .
  • On note l'ensemble des matrices à lignes et colonnes et à coefficients réels.
  • En particulier, désigne l'ensemble des matrices colonnes à lignes et à coefficients réels. Selon l'usage, on pourra librement identifier les espaces vectoriels et .
  • On note le coefficient sur la -ème ligne et -ème colonne d'une matrice .
  • L'espace est muni de sa structure euclidienne usuelle. En particulier, si , on pose
  • La notation désigne la transposée d'une matrice son rang et, lorsque est carrée, sa trace. On rappelle que pour tout et .
  • On note également le groupe des matrices orthogonales d'ordre le sous-groupe de formé des matrices de de déterminant positif et l'ensemble des matrices de de déterminant négatif.
  • Par définition, une rotation est un automorphisme orthogonal de l'espace de déterminant 1 .

Objectif du problème

On se donne des vecteurs de , et on cherche à déterminer, si c'est possible, une rotation de telle que
Cela revient à déterminer une matrice réalisant
Sans hypothèse sur les vecteurs et , une telle rotation n'a pas de raison d'exister, ni d'être unique. C'est pourquoi on s'intéressera plutôt, dans la suite, au problème plus faible suivant : trouver une matrice minimisant la quantité , autrement dit telle qu'en un sens les soient «aussi proches que possible » des .

I Questions préliminaires

I.A - Généralités sur les matrices orthogonales

I.A.1) Quel est le déterminant d'une matrice de ? de ? On justifiera les réponses.
I.A.2) est-il un sous-groupe de ?
I.A.3) Montrer que les valeurs absolues des coefficients d'une matrice orthogonale sont inférieures ou égales à 1 .

I.B - Un exemple numérique

Dans cette section, . On pose
On introduit les affixes respectives des vecteurs :
I.B.1) Exprimer ces affixes sous forme trigonométrique puis simplifier pour tout réel la quantité
I.B.2) Déterminer les valeurs de qui minimisent . Illustrer le résultat par un dessin.

II Un problème d'optimisation

Dans cette partie, on fixe des éléments de , et on se propose d'obtenir une matrice minimisant et, dans certains cas, une matrice minimisant .
Dans toute cette partie, on note (respectivement ) la matrice de dont les colonnes sont (respectivement ).

II.A - Un produit scalaire matriciel

II.A.1) Montrer que l'application
est un produit scalaire sur . On pose désormais
II.A.2) Montrer que, pour toute matrice , on a
II.A.3) Simplifier et pour et .
II.A.4) Simplifier aussi et pour et .
II.B - Dans cette section, on suppose que .
II.B.1) Calculer pour .
II.B.2) Montrer que si une suite d'éléments de converge vers , alors et en déduire que est une partie fermée de .
II.B.3) Montrer que est une partie compacte de .
II.C - Dans cette section, et ne sont plus supposés égaux.
II.C.1) Justifier l'existence d'une matrice minimisant , c'est-à-dire vérifiant
II.C.2) Montrer que les matrices minimisant sont les matrices maximisant .
II.C.3) Déterminer à l'aide de et une matrice telle que, pour toute matrice ,
II.D - Dans cette section, désigne une matrice diagonale d'ordre à coefficients positifs.
II.D.1) Déterminer une matrice maximisant .
II.D.2) On suppose de plus que les coefficients diagonaux de la matrice vérifient :
(avec éventuellement dans le cas où tous les coefficients diagonaux de sont non nuls). Déterminer toutes les matrices maximisant .
II.E - Dans cette section, on admet que peut s'écrire sous la forme avec et diagonale avec des coefficients diagonaux vérifiant . Ce résultat sera démontré dans la partie III.
II.E.1) Déterminer à l'aide de et une matrice maximisant , et appartenant à si et seulement si .
II.E.2) Montrer que si , il existe une unique matrice maximisant , au sens où
II.E.3) Dans cette question, on suppose que . Déterminer une matrice maximisant .
II.E.4) Dans cette question, on suppose que et que . Déduire de la question précédente une matrice maximisant .

III Une décomposition matricielle

L'objectif de cette partie est d'établir le résultat admis dans la partie précédente.
Soit de rang .
III.A - Soit .
III.A.1) Montrer que est une matrice symétrique réelle. Que peut-on en déduire ?
III.A.2) Montrer que est positive, c'est-à-dire que pour tout . En déduire que les valeurs propres de sont positives.
III.A.3) Montrer que . En déduire que . ( étant une matrice de , on pose .)
III.B - Dans la suite de cette partie, on note:
  • l'application linéaire de dans canoniquement associée à ,
  • l'endomorphisme de canoniquement associé à ,
  • les valeurs propres (distinctes ou non) de rangées par ordre décroissant:
  • et enfin une base orthonormée de formée de vecteurs propres de associés respectivement aux valeurs propres .
    III.B.1) On pose pour et pour . Montrer que ( ) est une base orthonormée de .
    III.B.2) Soit la matrice dont les seuls coefficients non nuls sont qui valent . Montrer qu'il existe et telles que

IV Sur la trace des matrices orthogonales

Dans cette partie, on étudie la trace maximale d'une matrice de , ce qui va permettre d'aboutir dans les cas laissés en suspens dans la partie II à une matrice minimisant .

IV.A -

IV.A.1) Déterminer la trace maximale d'une matrice de .
IV.A.2) Soit un espace vectoriel euclidien, et un automorphisme orthogonal de . Justifier que les seules valeurs propres possibles pour sont 1 et -1 .
IV.A.3) Montrer que -1 est valeur propre de toute matrice .
IV.A.4) Montrer que si est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel euclidien , stable par un automorphisme orthogonal de , alors l'orthogonal de est aussi stable par .
IV.A.5) Montrer que pour tout , il existe et tels que
où désigne la matrice nulle dans .
IV.A.6) Conclure sur la trace maximale d'une matrice de .
revient à maximiser avec une certaine matrice qui peut s'écrire sous la forme avec et diagonale, à coefficients diagonaux vérifiant
IV.B.1) Déterminer une matrice maximisant en commençant par écrire à l'aide de et des coefficients , pour .
IV.B.2) En déduire, lorsque , une matrice maximisant .

V Calcul numérique

Dans cette partie, on étudie un algorithme permettant de calculer de manière approchée une matrice minimisant pour certaines matrices .

V.A - Étude d'une suite de réels

On considère l'ensemble des suites de réels vérifiant :
V.A.1) Écrire une instruction en Maple ou Mathematica permettant de calculer les trente premiers termes de la suite telle que .
V.A.2) Représenter graphiquement le comportement d'une suite pour un quelconque. On effectuera les calculs nécessaires à une représentation soignée.
V.A.3) Démontrer la convergence d'une telle suite et préciser sa limite.

V.B - Étude d'une suite de matrices

On considère l'ensemble des suites de matrices de vérifiant les deux conditions suivantes :
i. est inversible ;
ii. pour désigne la matrice identité d'ordre .
V.B.1) Montrer que pour toute matrice , la matrice est bien inversible.
V.B.2) Soit . D'après la deuxième partie, peut s'écrire sous la forme avec et diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs. On définit, pour tout , l'assertion ainsi: « peut s'écrire sous la forme avec diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs ». Montrer que pour tout est vraie.
V.B.3) Déterminer la limite de la suite .

V.C - Une application

On fixe des éléments de , et on note la matrice de dont les colonnes sont . On fixe également , et on pose . On suppose de plus la matrice de rang .
V.C.1) Montrer qu'il existe un ouvert de contenant tel que pour tout , l'on ait .
V.C.2) Dans le cas où , quelle valeur donner à pour que la suite converge vers minimisant ?

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