Centrale Mathématiques 2 PC 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

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Notations

Dans tout le problème, $n$ est un entier naturel fixé, supérieur ou égal à 2 .
On note $M_(n, p)(ℝ)$ l'ensemble des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes et à coefficients réels.
En particulier, $M_(n, 1)(ℝ)$ désigne l'ensemble des matrices colonnes à $n$ lignes et à coefficients réels. Selon l'usage, on pourra librement identifier les espaces vectoriels $M_(n, 1)(ℝ)$ et $ℝ^n$ .
On note $M_(i, j)$ le coefficient sur la $i$ -ème ligne et $j$ -ème colonne d'une matrice $M$ .
L'espace $M_(n, 1)(ℝ)$ est muni de sa structure euclidienne usuelle. En particulier, si $(V, W) \in M_(n, 1)(ℝ)^2$ , on pose

⟨V, W⟩ = \sum_(i = 1)^n V_(i, 1)W_(i, 1) et ‖V‖_2 = (\sum_(i = 1)^n V_(i, 1)^2)^(1/2)

La notation $^t M$ désigne la transposée d'une matrice $M, rg(M)$ son rang et, lorsque $M$ est carrée, $tr(M)$ sa trace. On rappelle que $tr(AB) = tr(BA)$ pour tout $A \in M_(k, l)(ℝ)$ et $B \in M_(l, k)(ℝ)$ .
On note également $O_n(ℝ)$ le groupe des matrices orthogonales d'ordre $n, O_n^+(ℝ)$ le sous-groupe de $O_n(ℝ)$ formé des matrices de $O_n(ℝ)$ de déterminant positif et $O_n^-(ℝ)$ l'ensemble des matrices de $O_n(ℝ)$ de déterminant négatif.
Par définition, une rotation est un automorphisme orthogonal de l'espace $M_(n, 1)(ℝ)$ de déterminant 1 .

Objectif du problème

On se donne des vecteurs

X_1, \dots, X_m, Y_1, \dots, Y_m

M_(n, 1)(ℝ)

, et on cherche à déterminer, si c'est possible, une rotation

r

M_(n, 1)(ℝ)

telle que

r(X_i) = Y_i pour 1 ⩽ i ⩽ m

Cela revient à déterminer une matrice

W \in O_n^+(ℝ)

réalisant

WX_i = Y_i pour 1 ⩽ i ⩽ m

Sans hypothèse sur les vecteurs

X_i

Y_i

, une telle rotation n'a pas de raison d'exister, ni d'être unique. C'est pourquoi on s'intéressera plutôt, dans la suite, au problème plus faible suivant : trouver une matrice

W \in O_n^+(ℝ)

minimisant la quantité

\sum_(i = 1)^m‖WX_i - Y_i‖_2^2

, autrement dit telle qu'en un sens les

WX_i

soient «aussi proches que possible » des

Y_i

I Questions préliminaires

I.A - Généralités sur les matrices orthogonales

I.A.1) Quel est le déterminant d'une matrice de

O_n^+(ℝ)

? de

O_n^-(ℝ)

? On justifiera les réponses.
I.A.2)

O_n^-(ℝ)

est-il un sous-groupe de

O_n(ℝ)

?
I.A.3) Montrer que les valeurs absolues des coefficients d'une matrice orthogonale sont inférieures ou égales à 1 .

I.B - Un exemple numérique

Dans cette section,

n = m = 2

. On pose

X_1 = (2/0), X_2 = ((\sqrt2)/(\sqrt2)), Y_1 = ((1/2)/((\sqrt3)/2)), Y_2 = ((- 1/2)/((\sqrt3)/2))

On introduit les affixes respectives des vecteurs

X_1, X_2, Y_1, Y_2

α_1 = 2, α_2 = \sqrt2 + i\sqrt2, β_1 = 1/2 + i(\sqrt3)/2, β_2 = - 1/2 + i(\sqrt3)/2

I.B.1) Exprimer ces affixes sous forme trigonométrique puis simplifier pour tout réel

θ

la quantité

f(θ) = |β_1 - e^(iθ)α_1|^2 + |β_2 - e^(iθ)α_2|^2

I.B.2) Déterminer les valeurs de

θ

qui minimisent

f(θ)

. Illustrer le résultat par un dessin.

II Un problème d'optimisation

Dans cette partie, on fixe des éléments

X_1, \dots, X_m, Y_1, \dots, Y_m

M_(n, 1)(ℝ)

, et on se propose d'obtenir une matrice

W \in O_n(ℝ)

minimisant

\sum_(i = 1)^m‖WX_i - Y_i‖_2^2

et, dans certains cas, une matrice

W \in O_n^+(ℝ)

minimisant

\sum_(i = 1)^m‖WX_i - Y_i‖_2^2

.
Dans toute cette partie, on note

X

(respectivement

Y

) la matrice de

M_(n, m)(ℝ)

dont les colonnes sont

X_1, \dots, X_m

(respectivement

Y_1, \dots, Y_m

II.A - Un produit scalaire matriciel

II.A.1) Montrer que l'application

M_(n, m)(ℝ)^2 \to ℝ, (M, N) \mapsto tr((^t M)N)

est un produit scalaire sur

M_(n, m)(ℝ)

. On pose désormais

⟨M, N⟩_F = tr((^t M)N) et ‖M‖_F = ⟨M, M⟩_F^(1/2)

II.A.2) Montrer que, pour toute matrice

W \in M_n(ℝ)

, on a

\sum_(i = 1)^m‖WX_i - Y_i‖_2^2 = ‖WX - Y‖_F^2

II.A.3) Simplifier

⟨WM, WN⟩_F

‖WM‖_F

pour

W \in O_n(ℝ)

(M, N) \in M_(n, m)(ℝ)^2

.
II.A.4) Simplifier aussi

⟨MW, NW⟩_F

‖MW‖_F

pour

W \in O_m(ℝ)

(M, N) \in M_(n, m)(ℝ)^2

.
II.B - Dans cette section, on suppose que

m = n

.
II.B.1) Calculer

‖W‖_F

pour

W \in O_n(ℝ)

.
II.B.2) Montrer que si une suite

(M_k)_(k \in ℕ)

d'éléments de

O_n(ℝ)

converge vers

M \in M_n(ℝ)

, alors

M \in O_n(ℝ)

et en déduire que

O_n(ℝ)

est une partie fermée de

M_n(ℝ)

.
II.B.3) Montrer que

O_n(ℝ)

est une partie compacte de

M_n(ℝ)

.
II.C - Dans cette section,

m

n

ne sont plus supposés égaux.
II.C.1) Justifier l'existence d'une matrice

W \in O_n(ℝ)

minimisant

‖WX - Y‖_F^2

, c'est-à-dire vérifiant

\forallZ \in O_n(ℝ), ‖WX - Y‖_F^2 ⩽ ‖ZX - Y‖_F^2

II.C.2) Montrer que les matrices

W \in O_n(ℝ)

minimisant

‖WX - Y‖_F^2

sont les matrices

W \in O_n(ℝ)

maximisant

⟨WX, Y⟩_F

.
II.C.3) Déterminer à l'aide de

X

Y

une matrice

A \in M_n(ℝ)

telle que, pour toute matrice

W \in O_n(ℝ)

⟨WX, Y⟩_F = ⟨W, A⟩_F

II.D - Dans cette section,

Δ

désigne une matrice diagonale d'ordre

n

à coefficients positifs.
II.D.1) Déterminer une matrice

W^' \in O_n(ℝ)

maximisant

⟨W^', Δ⟩_F

.
II.D.2) On suppose de plus que les coefficients diagonaux de la matrice

Δ

vérifient :

Δ_(1, 1) ⩾ \dots ⩾ Δ_(r, r) > 0 et Δ_(i, i) = 0 pour r + 1 ⩽ i ⩽ n

(avec éventuellement

r = n

dans le cas où tous les coefficients diagonaux de

Δ

sont non nuls). Déterminer toutes les matrices

W^' \in O_n(ℝ)

maximisant

⟨W^', Δ⟩_F

.
II.E - Dans cette section, on admet que

A

peut s'écrire sous la forme

QΔ(^t P)

avec

(Q, P) \in O_n(ℝ)^2

Δ \in M_n(ℝ)

diagonale avec des coefficients diagonaux vérifiant

Δ_(1, 1) ⩾ \dots ⩾ Δ_(n, n) ⩾ 0

. Ce résultat sera démontré dans la partie III.
II.E.1) Déterminer à l'aide de

P

Q

une matrice

W \in O_n(ℝ)

maximisant

⟨W, A⟩_F

, et appartenant à

O_n^+(ℝ)

si et seulement si

detP \cdot detQ > 0

.
II.E.2) Montrer que si

detA > 0

, il existe une unique matrice

W \in O_n^+(ℝ)

maximisant

⟨W, A⟩_F

, au sens où

\forallZ \in O_n^+(ℝ), ⟨W, A⟩_F ⩾ ⟨Z, A⟩_F

II.E.3) Dans cette question, on suppose que

Δ_(n, n) = 0

. Déterminer une matrice

W^' \in O_n^-(ℝ)

maximisant

⟨W^', Δ⟩_F

.
II.E.4) Dans cette question, on suppose que

detA = 0

et que

detP \cdot detQ < 0

. Déduire de la question précédente une matrice

W \in O_n^+(ℝ)

maximisant

⟨W, A⟩_F

III Une décomposition matricielle

L'objectif de cette partie est d'établir le résultat admis dans la partie précédente.
Soit

M \in M_(n, p)(ℝ)

de rang

r ⩾ 1

.
III.A - Soit

B = (^t M)M

.
III.A.1) Montrer que

B

est une matrice symétrique réelle. Que peut-on en déduire ?
III.A.2) Montrer que

B

est positive, c'est-à-dire que pour tout

V \in M_(p, 1)(ℝ), (^t V)BV ⩾ 0

. En déduire que les valeurs propres de

B

sont positives.
III.A.3) Montrer que

kerB = kerM

. En déduire que

rg(B) = r

. (

M

étant une matrice de

M_(n, p)(ℝ)

, on pose

kerM = {X ∈ M_(p, 1)(ℝ), MX = 0}

.)
III.B - Dans la suite de cette partie, on note:

$f$ l'application linéaire de $ℝ^p$ dans $ℝ^n$ canoniquement associée à $M$ ,
$g$ l'endomorphisme de $ℝ^p$ canoniquement associé à $B$ ,
$λ_1, \dots, λ_p$ les valeurs propres (distinctes ou non) de $g$ rangées par ordre décroissant:

λ_1 ⩾ λ_2 ⩾ \dots ⩾ λ_r > 0 = λ_(r + 1) = \dots = λ_p

et enfin $(v_1, \dots, v_p)$ une base orthonormée de $ℝ^p$ formée de vecteurs propres de $g$ associés respectivement aux valeurs propres $λ_1, \dots, λ_p$ .
III.B.1) On pose $μ_i = \sqrt(λ_i)$ pour $1 ⩽ i ⩽ p$ et $u_i = 1/(μ_i)f(v_i)$ pour $1 ⩽ i ⩽ r$ . Montrer que ( $u_1, \dots, u_r$ ) est une base orthonormée de $Im(f)$ .
III.B.2) Soit $Δ = (Δ_(i, j)) \in M_(n, p)(ℝ)$ la matrice dont les seuls coefficients non nuls sont $Δ_(1, 1), \dots, Δ_(r, r)$ qui valent $μ_1, \dots, μ_r$ . Montrer qu'il existe $Q \in O_n(ℝ)$ et $P \in O_p(ℝ)$ telles que

M = QΔP^(- 1) = QΔ(^t P)

IV Sur la trace des matrices orthogonales

Dans cette partie, on étudie la trace maximale d'une matrice de

O_n^-(ℝ)

, ce qui va permettre d'aboutir dans les cas laissés en suspens dans la partie II à une matrice

W \in O_n^+(ℝ)

minimisant

\sum_(i = 1)^m‖WX_i - Y_i‖_2^2

IV.A -

IV.A.1) Déterminer la trace maximale d'une matrice de

O_n(ℝ)

.
IV.A.2) Soit

E

un espace vectoriel euclidien, et

w

un automorphisme orthogonal de

E

. Justifier que les seules valeurs propres possibles pour

w

sont 1 et -1 .
IV.A.3) Montrer que -1 est valeur propre de toute matrice

W \in O_n^-(ℝ)

.
IV.A.4) Montrer que si

F

est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel euclidien

E

, stable par un automorphisme orthogonal

w

E

, alors l'orthogonal de

F

est aussi stable par

w

.
IV.A.5) Montrer que pour tout

W \in O_n^-(ℝ)

, il existe

P_1 \in O_n(ℝ)

W_1 \in O_(n - 1)^+(ℝ)

tels que

W = P_1(- 1, 0_(1, n - 1); 0_(n - 1, 1), W_1)(^t P_1)

où

0_(k, l)

désigne la matrice nulle dans

M_(k, l)(ℝ)

.
IV.A.6) Conclure sur la trace maximale d'une matrice de

O_n^-(ℝ)

IV.B - On rappelle que minimiser \sum_(i = 1)^m‖WX_i - Y_i‖_2^2

revient à maximiser

⟨W, A⟩_F

avec

A \in M_n(ℝ)

une certaine matrice qui peut s'écrire sous la forme

QΔ(^t P)

avec

(P, Q) \in O_n(ℝ)^2

Δ \in M_n(ℝ)

diagonale, à coefficients diagonaux vérifiant

Δ_(1, 1) ⩾ \dots ⩾ Δ_(n, n) ⩾ 0

IV.B.1) Déterminer une matrice

W^' \in O_n^-(ℝ)

maximisant

⟨W^', Δ⟩_F

en commençant par écrire

⟨W^', Δ⟩_F

à l'aide de

tr(W^')

et des coefficients

W_(i, i)^'

, pour

1 ⩽ i ⩽ n - 1

.
IV.B.2) En déduire, lorsque

detP \cdot detQ < 0

, une matrice

W \in O_n^+(ℝ)

maximisant

⟨W, A⟩_F

V Calcul numérique

Dans cette partie, on étudie un algorithme permettant de calculer de manière approchée une matrice

W \in O_n^+(ℝ)

minimisant

\sum_(i = 1)^m‖WX_i - Y_i‖_2^2

pour certaines matrices

Y

V.A - Étude d'une suite de réels

On considère

E

l'ensemble des suites

(x_k)_(k \in ℕ)

de réels vérifiant :

x_0 > 0 et x_(k + 1) = x_k \cdot (x_k^2 + 3)/(3x_k^2 + 1) pour k \in ℕ

V.A.1) Écrire une instruction en Maple ou Mathematica permettant de calculer les trente premiers termes de la suite

(x_k)_(k \in ℕ) \in E

telle que

x_0 = 0, 1

.
V.A.2) Représenter graphiquement le comportement d'une suite

(x_k)_(k \in ℕ) \in E

pour un

x_0 > 0

quelconque. On effectuera les calculs nécessaires à une représentation soignée.
V.A.3) Démontrer la convergence d'une telle suite et préciser sa limite.

V.B - Étude d'une suite de matrices

On considère

F

l'ensemble des suites

(Z_k)_(k \in ℕ)

de matrices de

M_n(ℝ)

vérifiant les deux conditions suivantes :
i.

Z_0

est inversible ;
ii.

Z_(k + 1) = Z_k(^t Z_k Z_k + 3I_n)(3^t Z_k Z_k + I_n)^(- 1)

pour

k \in ℕ(I_n

désigne la matrice identité d'ordre

n)

.
V.B.1) Montrer que pour toute matrice

Z \in M_n(ℝ)

, la matrice

3^t ZZ + I_n

est bien inversible.
V.B.2) Soit

(Z_k)_(k \in ℕ) \in F

. D'après la deuxième partie,

Z_0

peut s'écrire sous la forme

QD(^t P)

avec

(Q, P) \in O_n(ℝ)^2

D \in M_n(ℝ)

diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs. On définit, pour tout

k \in ℕ

, l'assertion

P_k

ainsi: «

Z_k

peut s'écrire sous la forme

QD_k(^t P)

avec

D_k

diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs

» »

. Montrer que pour tout

k \in ℕ, P_k

est vraie.
V.B.3) Déterminer la limite de la suite

(Z_k)_(k \in ℕ)

V.C - Une application

On fixe

X_1, \dots, X_m

des éléments de

M_(n, 1)(ℝ)

, et on note

X

la matrice de

M_(n, m)(ℝ)

dont les colonnes sont

X_1, \dots, X_m

. On fixe également

W_0 \in O_n^+(ℝ)

, et on pose

Y_0 = W_0 X

. On suppose de plus la matrice

X

de rang

n

.
V.C.1) Montrer qu'il existe un ouvert

U

M_(n, m)(ℝ)

contenant

Y_0

tel que pour tout

Y \in U

, l'on ait

det(Y(^t X)) > 0

.
V.C.2) Dans le cas où

Y \in U

, quelle valeur donner à

Z_0

pour que la suite

(Z_k)_(k \in ℕ) \in F

converge vers

W \in O_n^+(ℝ)

minimisant

\sum_(i = 1)^m‖WX_i - Y_i‖_2^2

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