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Polytechnique Physique 1 PC 2010Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Mécanique du point : mouvement à force centrale, moment cinétique
  • Thermodynamique : bilans d'énergie et capacité thermique
  • Équation de la chaleur et diffusion thermique
  • Mécanique des fluides : équation de Navier-Stokes, convection, nombre de Rayleigh
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Annales X-ENS PC PhysiqueX-ENS PC 2010PC PhysiquePhysique 2010

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Présentation du sujet

Difficile
La chaleur des planètes : accrétion, différenciation et refroidissement par conduction puis par convection
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Le problème suit l'existence d'une planète tellurique de sa naissance par accrétion jusqu'à l'évolution de sa distribution de température. Il commence par la genèse de la planète et sa différenciation en couches de densité croissante, puis étudie le refroidissement du manteau terrestre par conduction à l'aide de l'équation de la chaleur, avant de modéliser le refroidissement par convection en tenant compte du chauffage radioactif interne.

  1. 1I. Genèse des planètes telluriquespremière annéeAccrétion de petits corps, chauffage par collision et différenciation planétaire en manteau et noyau.
  2. 2II. Refroidissement par conductionRésolution de l'équation de la chaleur par changement de variable pour obtenir le gradient géothermique et estimer l'âge de la Terre.
  3. 3III. Refroidissement par convectionÉtude de la stabilité de la solution statique du manteau chauffé par le bas puis par radioactivité interne, via le nombre de Rayleigh.

Difficile. Le rapport indique que les parties I et III n'ont recueilli en moyenne que 25 % des points possibles chacune, et que la moyenne générale n'était que de 7,50 sur 1268 copies.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,5 / 20 · écart-type 3,73 · 1 268 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
7,5/ 20
Écart-type
3,73
Copies
1 268
moyenne 7,505101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Ordres de grandeur négligés · Réponse à la mauvaise question · Variable interdite laissée dans le résultat
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Le rapport reprend quasiment à l'identique les remarques de l'année précédente : de nombreux candidats échouent sur des questions simples par erreurs de calcul élémentaire alors qu'ils manient des équations plus complexes, et les estimations d'ordre de grandeur restent le point faible le plus fréquent. La partie II, plus courte et plus simple, a été la mieux traitée avec un peu plus de 50 % des points, tandis que les parties I et III n'ont recueilli que 25 % des points en moyenne.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Ordres de grandeur négligésI.2.1, II.5

    Les estimations d'ordre de grandeur ne présentent aucune difficulté particulière mais requièrent seulement de la rigueur dans l'enchaînement des calculs, et sont pourtant la source d'erreurs la plus fréquente.

  2. 2
    Réponse à la mauvaise questionI.1.2

    Quand l'énoncé demande d'exprimer une grandeur en fonction d'autres, répondre l'inverse entraîne une perte de points pour la question et souvent pour les suivantes.

  3. 3
    Variable interdite laissée dans le résultatI.1.5

    De nombreux candidats laissent une variable dans leur résultat alors que l'énoncé précise explicitement de ne pas l'utiliser.

  4. 4
    Tentatives de fraude sur une démonstration donnéeIII.1.2

    Pour les questions demandant de démontrer une équation donnée dans l'énoncé, plusieurs candidats ont tenté de truquer leur démonstration, ce qui est vivement déconseillé.

  5. 5
    Graphiques peu rigoureux

    Les candidats ont souvent manqué de rigueur dans la justesse des graphiques demandés, en particulier dans la partie III.

Ce qui a été bien réussi

  • La question II.1 de cours n'a posé aucun problème majeur.
  • La question II.3 est élémentaire et très bien traitée dans l'ensemble.
  • La question III.1.1 est bien traitée dans l'ensemble pour l'établissement de la formule.

Conseils du jury

  • S'exercer régulièrement aux estimations d'ordre de grandeur, qui ne présentent pas de difficulté technique mais demandent de la rigueur.
  • Lire l'énoncé avec attention pour répondre exactement à la grandeur demandée et respecter les variables imposées.
  • Ne jamais tenter de forcer un calcul pour retrouver un résultat donné par l'énoncé ; mieux vaut signaler l'écart obtenu.
  • Soigner les schémas et graphiques, même non exigés, car ils aident à trouver la réponse et à expliciter le raisonnement.
  • Porter attention aux questions qualitatives d'interprétation, toujours récompensées si elles ont un fond de pertinence.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2010
filière PC

PREMIÊRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est interdite pour cette épreuve.
Pour les applications numériques, on se contentera d'un seul chiffre significatif.

La chaleur des planètes

Ce problème étudie quelques aspects de la formation des planètes et de leur refroidissement.

I. Genèse des planètes telluriques

Les planètes telluriques telles que Mars ou la Terre se sont formées par la condensation de nuages de poussières sous l'effet de l'interaction gravitationnelle, au cours d'un processus dit d'accrétion.

I.1. Accrétion de petits corps par une planète en formation

I.1.1. Une planète supposée ponctuelle et de masse M est immobile dans le vide à l'origine O d'un référentiel galiléen. Un point matériel de masse m arrive de l'infini avec une vitesse initiale v⃗_0, de norme v_0. On définit b = ‖L⃗‖/mv_0, où L⃗ est le moment cinétique en O de la masse m. Donner l'interprétation géométrique de b à l'aide d'un schéma.
I.1.2. Les deux masses interagissent sous l'effet de la gravitation. On note G la constante newtonienne de gravitation. On suppose m≪M, de telle sorte que la masse M reste pratiquement immobile. Quelle est la nature de la trajectoire de la masse m ? On note r_(min) sa distance minimale d'approche à l'origine. Exprimer b en fonction de r_(min), v_0, G et M.
I.1.3. On considère maintenant le cas où la planète de masse M n'est plus ponctuelle mais est assimilée à une sphère homogène de rayon R. Exprimer la vitesse de libération v_l en fonction de G, M et R. Montrer que la masse m arrivant de l'infini heurte la planète si
b^2 < R^2((v_l^2)/(v_0^2) + 1)
I.1.4. On suppose que l'univers entourant la planète est constitué, à grande distance de celle-ci, d'un grand nombre de points matériels de masse m, répartis aléatoirement et ayant tous la même vitesse v⃗_0. On note n la densité volumique de points matériels (nombre par unité de volume). Exprimer le nombre moyen de points matériels heurtant la surface de la planète par unité de temps en fonction de n, v_0, R, G et M.
I.1.5. On suppose que les points matériels heurtant la planète s'y écrasent, augmentant ainsi sa masse M. On suppose également que la planète reste sphérique, de masse volumique ρ constante, de telle sorte que son rayon R augmente. Donner l'expression de la vitesse d'accrétion dR/dt en fonction de n, v_0, G, ρ, m et R. Analyser l'évolution de R pour v_0≫v_l puis v_0≪v_l. Expliquer pourquoi on parle, pour ce processus, de focalisation gravitationnelle ainsi que d'accrétion galopante.
I.1.6. On considère maintenant deux planètes immobiles de masses M_1 et M_2, à grande distance l'une de l'autre, de même masse volumique ρ et subissant toutes deux le processus d'accrétion décrit ci-dessus. On suppose M_1 > M_2 initialement. Montrer que dans le cas de l'accrétion galopante, le rapport M_1/M_2 augmente au cours du temps. Commenter.

I.2. Chauffage par collision

I.2.1. L'hémisphère nord de Mars présente une vaste dépression, qui pourrait résulter d'une collision avec un gros astéroïde. Calculer l'élévation globale moyenne de température résultant de la collision avec un astéroïde de rayon r = 1000 km et de masse volumique ρ = 3 × 10^3 kg ⋅ m^(− 3), arrivant de l'infini avec une vitesse initiale que l'on prendra nulle. La vitesse de libération de Mars est v_l = 5 km ⋅ s^(− 1), sa masse M = 6 × 10^(23) kg. On supposera que la capacité thermique massique de Mars est constante, C ≃ 10^3 J ⋅ kg^(− 1) ⋅ K^(− 1), et que toute l'énergie cinétique de l'astéroïde est absorbée par Mars lors de la collision.
I.2.2. Expliquer pourquoi l'accrétion étudiée dans la partie I. 1 s'accompagne nécessairement d'une élévation de température importante. Quel mode de transfert thermique permet d'évacuer une partie de l'énergie interne?

I.3. Différenciation planétaire

La Terre est constituée pour deux tiers de sa masse de matériaux légers tels que les silicates, de masse volumique ρ_1, et pour le tiers restant de matériaux lourds tels que le fer, de masse volumique ρ_2. On prendra pour les applications numériques les valeurs approchées ρ_1 = 3 × 10^3 kg ⋅ m^(− 3) et ρ_2 = 9 × 10^3 kg ⋅ m^(− 3). La température initiale de la Terre est élevée, et son intérieur est partiellement fondu.
I.3.1. On assimile pour le moment la Terre à une sphère homogène de rayon R et de masse volumique moyenne ρ_m = (2ρ_1 + ρ_2)/3. Exprimer l'intensité g(r) du champ de gravitation à une distance r ⩽ R du centre de la Terre en fonction de r, R et de sa valeur à la surface g_0 = g(R).
I.3.2. On considère une petite bille de fer de volume V et de masse volumique ρ_2 à la distance r du centre de la Terre. La bille est immergée dans le liquide de masse volumique ρ_m. Calculer la résultante des forces s'exerçant sur la bille. En déduire la variation
d'énergie potentielle du système lorsqu'elle tombe depuis la surface jusqu'au centre de la Terre. La calculer numériquement pour une mole de fer de masse M_(Fe) ≃ 60 g. On donne R = 6000 km, g_0 = 10 m ⋅ s^(− 2). Comparer la variation d'énergie potentielle à l'ordre de grandeur caractéristique d'une enthalpie de réaction chimique.
I.3.3. Les matériaux les plus denses ont tendance à s'enfoncer vers le centre alors que les matériaux moins denses migrent vers la surface. Ce processus conduit à la différenciation du globe terrestre en un manteau externe, constitué des espèces les plus légères et recouvert d'une fine écorce, et un noyau interne, constitué des espèces plus lourdes. Calculer le rayon du noyau. Que peut-on dire, qualitativement, de la distribution de température dans le noyau à l'issue du processus de différenciation planétaire?

II. Refroidissement par conduction

On suppose dans cette partie que le manteau terrestre est indéformable. Le seul mécanisme par lequel il peut évacuer son énergie interne est donc la diffusion thermique. On suppose pour simplifier que le manteau est homogène et que sa température au temps initial t = 0 est uniforme, de valeur T_c = 4000 K (valeur actuelle de la température à la limite entre le manteau et le noyau). On suppose également qu'un mécanisme externe maintient la température de surface T_s constante pour t > 0, avec T_s≪T_c. On admet enfin (ce qu'on justifiera par la suite) que la courbure de la planète est négligeable. Sa surface est par conséquent assimilée au plan d'équation z = 0, où z est la profondeur comptée positivement à partir de la surface.
II.1. On suppose que la température T ne dépend que de la profondeur z et du temps t. Écrire l'équation aux dérivées partielles régissant l'évolution de la température T(z, t) pour z > 0 et t > 0. Cette équation fait apparaître un coefficient κ, dit coefficient de diffusivité thermique, dont on donne la valeur numérique κ = 10^(− 6) m^2 ⋅ s^(− 1).
II.2. On cherche une solution de cette équation de la forme T(z, t) = f(ξ), où ξ = z/(2√(κt)). Écrire l'équation différentielle que doit vérifier f. Vérifier que la solution générale de cette équation est
f(ξ) = A∫_0^ξ exp(− s^2)ds + B
où A et B sont des constantes d'intégration.
II.3. On donne l'intégrale ∫_0^(+ ∞)exp(− s^2)ds = √π/2. Déterminer les expressions de A et B en fonction de T_c et T_s.
II.4. Donner l'expression du gradient de température en z = 0, dit gradient géothermique, à l'instant t.
II.5. Les mesures actuelles de la température dans le sous-sol donnent un gradient géothermique de 30 K ⋅ km^(− 1). En déduire que l'approximation qui consiste à négliger la courbure de la Terre est justifiée. Estimer numériquement l'âge de la Terre, en années, suivant ce modèle. Une année vaut approximativement 3 × 10^7 s. Le résultat obtenu vous paraît-il satisfaisant?

III. Refroidissement par convection

Le modèle de la partie précédente est incomplet pour deux raisons. D'une part, le manteau terrestre se comporte comme un fluide très visqueux, qui peut évacuer la chaleur par convection. D'autre part, la radioactivité constitue une source importante d'énergie, qui ne peut être négligée.
Dans cette partie, on se propose de modéliser le phénomène de convection dans le manteau terrestre. On modélise celui-ci comme un fluide contenu entre les plans z = 0 et z = a. Comme dans la partie précédente, z désigne la profondeur comptée à partir de la surface. Le champ de vitesses eulérien du fluide v⃗(r⃗, t) satisfait l'équation de Navier-Stokes
(Dv⃗)/(Dt) = − 1/ρgrad^(→−)P + g⃗ + νΔv⃗
où D/Dt désigne la dérivée particulaire, ρ la masse volumique du fluide, supposée ne dépendre que de la température, P sa pression, g⃗ le champ de gravitation, supposé constant et uniforme, ν la viscosité cinématique du fluide, et Δ l'opérateur laplacien.
On admet que l'équation d'évolution de la température T(r⃗, t) dans le fluide est donnée par l'équation de la diffusion thermique, dans laquelle on remplace la dérivée ∂T/∂t par la dérivée particulaire DT/Dt. Comme dans la partie II, on note κ le coefficient de diffusivité thermique, supposé constant et uniforme.

III.1. Chauffage par le bas

On modélise dans un premier temps le chauffage du manteau terrestre par le noyau. On note T_s la température en z = 0 et T_c la température en z = a, supposées constantes, avec T_c > T_s.
III.1.1. Montrer que ces équations admettent une solution statique avec v⃗ = 0→. On notera P_0(z), ρ_0(z) et T_0(z) les valeurs de P, ρ et T pour cette solution. Déterminer T_0(z) et dessiner le profil de température.
III.1.2. Pour déterminer si la solution statique est stable, on étudie l'évolution au cours du temps d'une petite perturbation. On pose P(r⃗, t) = P_0(z) + P_1(r⃗, t), ρ(r⃗, t) = ρ_0(z) + ρ_1(r⃗, t), T(r⃗, t) = T_0(z) + T_1(r⃗, t), et on traite P_1, ρ_1, T_1 et la vitesse du fluide v⃗ comme des perturbations du premier ordre. On suppose que la masse volumique ρ ne dépend que de la température, et on note α = − (1/ρ)(dρ/dT) le coefficient de dilatation thermique, supposé indépendant de T dans la gamme de température considérée. Linéariser l'équation de Navier-Stokes et l'équation de la diffusion thermique. Vérifier qu'elles se mettent sous la forme
(∂v⃗)/(∂t), = − 1/(ρ_0(z))grad^(→−)P_1 − αg⃗T_1 + νΔv⃗; (∂T_1)/(∂t), = − βv_z + κΔT_1
où β est une constante dont on donnera l'expression. Expliquer quels sont, dans le membre de droite de ces équations, les termes qui favorisent la convection et ceux qui s'y opposent.
Figure 1. Cellules de convection.
III.1.3. La résolution complète de ces équations linéarisées, auxquelles il faudrait ajouter la conservation de la masse, est complexe et montre que des rouleaux de convection, représentés sur la figure 1, peuvent apparaître sous certaines conditions. Nous allons nous contenter d'une solution simplifiée qui est correcte au milieu du manteau, au voisinage de z = a/2. On admet que le champ de vitesses y est principalement vertical, v_x = v_y = 0, et on cherche une solution ne dépendant que de x et t de la forme, en notation complexe
v_z(x, t), = Re[Aexp(λt + ikx)]; T_1(x, t), = Re[Bexp(λt + ikx)]; P_1(x, t), = Re[Cexp(λt + ikx)],
où A, B et C sont des amplitudes complexes, et λ et k sont réels. En insérant les trois relations ci-dessus dans les équations obtenues à la question III.1.2, obtenir la relation entre λ et k pour que le système ait des solutions non nulles.
III.1.4. On cherche la condition sous laquelle peuvent apparaître des rouleaux de convection cylindriques (voir figure 1), qui correspondent à la valeur k = π/a. Montrer que pour cette valeur de k, la solution statique est instable si le nombre de Rayleigh, défini par Ra = αβga^4/νκ, est supérieur à un seuil qu'on précisera.
III.1.5. On donne les valeurs numériques a = 3000 km, T_c − T_s = 2000 K, α = 2 × 10^(− 5) K^(− 1), g = 10 m ⋅ s^(− 2), κ = 10^(− 6) m^2 ⋅ s^(− 1), ν = 10^(17) m^2 ⋅ s^(− 1). Comparer la valeur de ν à son ordre de grandeur pour un liquide ordinaire. Calculer le nombre de Rayleigh et montrer que la convection dans le manteau est possible. Quelle caractéristique de ce système compense sa grande viscosité?

III.2. Chauffage interne

On étudie maintenant le chauffage du manteau terrestre par la radioactivité interne. On note H la puissance par unité de masse dégagée par les désintégrations radioactives dans le manteau terrestre, supposée constante et uniforme. On néglige le chauffage par le noyau, et on considère par conséquent qu'il n'y a pas de transfert thermique à travers le plan z = a. Comme précédemment, on note T_s la température en z = 0, supposée constante.
III.2.1. Comment est modifiée l'équation de la diffusion thermique en présence de la source de chaleur? On notera C la capacité thermique massique, supposée constante. Déterminer la solution statique T_0(z) de cette équation en tenant compte des nouvelles conditions aux limites. Dessiner le profil de température.
III.2.2 Comme dans la partie III.1., on étudie l'évolution d'une petite perturbation autour de cette solution statique. Montrer que les équations obtenues à la question III.1.2 sont toujours valables, à ceci près que β est une fonction de z. Exprimer la valeur de β au milieu du manteau (z = a/2) en fonction de H, C, κ et a.
III.2.3. Calculer numériquement le nombre de Rayleigh associé au chauffage interne. On donne H = 8 × 10^(− 12) W ⋅ kg^(− 1) et C = 10^3 J ⋅ kg^(− 1) ⋅ K^(− 1). Le chauffage interne suffit-il à produire de la convection?
III.2.4. La réaction radioactive la plus importante est la désintégration β du noyau ^(40) K, qui a une demi-vie d'environ 10^9 années. Que peut-on en conclure sur l'importance de la convection au début de l'histoire du globe terrestre?

III.3. Épilogue

III.3.1. Des deux mécanismes de chauffage étudiés, lequel vous semble le plus important?
III.3.2. La convection dans le manteau transporte l'énergie thermique depuis le noyau vers les couches supérieures du manteau, à des profondeurs d'environ 30 km , où la température est voisine de 1000 K . La convection conduit-elle à un gradient géothermique plus grand ou plus petit que la conduction thermique seule, étudiée dans la partie II?

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique 1 PC Polytechnique 2010 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de physique 1 PC Polytechnique 2010 ?

Le sujet porte sur la chaleur des planètes : mécanique du point pour l'accrétion, thermodynamique et équation de la chaleur pour le refroidissement, et mécanique des fluides avec le nombre de Rayleigh pour la convection.

Le sujet X physique 1 PC 2010 est-il difficile ?

Oui, le rapport le qualifie de difficile : les parties I et III n'ont recueilli en moyenne que 25 % des points possibles, pour une moyenne générale de 7,50 sur 20.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Le jury relève surtout des erreurs sur les estimations d'ordre de grandeur, des réponses ne respectant pas exactement la question posée, et des tentatives de forcer une démonstration donnée par l'énoncé.

Quelle partie du sujet sur la chaleur des planètes est la mieux réussie ?

La partie II sur le refroidissement par conduction, plus courte et plus simple, a été la mieux traitée avec un peu plus de 50 % des points possibles.

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