E3A Mathématiques A PC 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Le problème comporte quatre parties qui peuvent être traitées de façon largement indépendante.
Notations : n est un entier supérieur ou égal à 2 .
ℝ_n[X] est l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n à coefficients réels.
ℝ_+^∗ est l'ensemble des réels strictement positifs.
a est un paramètre réel.
Objectifs : Etude d'une famille d'applications linéaires et d'équations différentielles associées à ces applications linéaires .

1.1 Propriétés élémentaires de A_a.
1.1.1) Montrer que A_a est un endomorphisme de ℝ_3[X].
1.1.2) Ecrire la matrice M_a de A_a dans la base canonique de ℝ_3[X], (X^k, 0 ≤ k ≤ 3).
1.1.3) Etude du cas particulier a = − 4.
a) La matrice M_(− 4) = (0, − 1, 0, 0; 0, − 4, 0, 0; 0, 0, − 6, 3; 0, 0, 0, − 6) est-elle diagonalisable?
b) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de A_(− 4).
1.1.4) a) Déterminer en fonction du réel a les valeurs propres de A_a.
b) Pour quelles valeurs de a l'endomorphisme A_a admet-il des valeurs propres doubles?
c) Existe-t-il une valeur du réel a pour laquelle A_a admet une valeur propre triple ?
1.1.5) Pour quelles valeurs de a, A_a est-il diagonalisable?
1.1.6) Pour quelles valeurs du réel a le degré du polynôme A_a(P) est-il égal au degré de P, pour tout polynôme P non constant de ℝ_3[X] ?

On suppose dans tout ce paragraphe que a n'appartient pas à { − 2, − 1, 0}.
1.2.1) Déterminer Ker(A_a) par la donnée d'une de ses bases.
1.2.2) Montrer que ( − 1 + aX, X^2, X^3 ) est une base de Im(A_a).
1.2.3) Discuter selon p ∈ ℕ, 0 ≤ p ≤ 3, l'ensemble des polynômes de ℝ_3[X] solutions de l'équation :

2.1) Justifier rapidement que A_((a, n)) est un endomorphisme de ℝ_n[X].
2.2) Ecrire la matrice M_a de A_((a, n)) dans la base canonique de ℝ_n[X], ( X^k, 0 ≤ k ≤ n ).
2.3) Soit λ ∈ ℝ. Montrer que λ est une valeur propre de A_((a, n)) si et seulement si il existe k ∈ ℕ, 0 ≤ k ≤ n tel que λ = k(a + k − 1).
2.4) Montrer que si a ∈ ℝ_+^∗, l'endomorphisme A_((a, n)) est diagonalisable.

Dans le cas particulier où a = 0, A_((0, n)) est -il diagonalisable?

Soit E l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles définies dans l'intervalle ouvert ] − 1, + 1 [ et qui sont des sommes de séries entières dans cet intervalle : ainsi f appartient à E s'il existe une série entière ∑a_n x^n telle que pour tout x ∈ ] − 1, + 1[, f(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n.
3.1) Montrer que si f ∈ E alors f est de classe C^∞ sur ] − 1, + 1[.

On considère alors dans toute cette partie l'endomorphisme D_a de E

où D_a(f)(x) = x(x + 1)f^(′′)(x) + (ax − 1)f^′(x) pour tout x ∈ ] − 1, + 1[.
3.2) Soit f ∈ E telle que D_a(f) = af. On pose pour tout x ∈ ] − 1, + 1[, f(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n.
a) Montrer que :

b) Montrer que pour tout n ∈ ℕ, n ≥ 3 :

et dans le cas particulier où a_0 = a_1 = 0 et a_2 = 1, donner les valeurs de a pour lesquelles la série entière est un polynôme ; on déterminera alors son degré et son coefficient dominant en fonction de a.
c) Déterminer, selon a ∈ ℝ, le rayon de convergence de la série entière ∑a_n x^n.
3.3) En déduire l'ensemble des solutions dans E de D_a(f) = af.
3.4) Comparer, selon a ∈ ℝ, les dimensions des sous-espaces propres Ker(A_((a, n)) − aId_(ℝ_n[X])) et Ker(D_a − aId_E).

On note C^∞ l'espace vectoriel des fonctions de classe C^∞ sur ℝ_+^∗ et Δ_a l'endomorphisme de C^∞ :

où pour tout x ∈ ℝ_+^∗, Δ_a(f)(x) = x(x + 1)f^(′′)(x) + (ax − 1)f^′(x).
4.1) On considère l'équation différentielle :

Montrer que toute solution sur ℝ_+^∗ est de classe C^∞ sur ℝ_+^∗.
4.2) Soit φ une solution sur ℝ_+^∗ de l'équation (E), on pose φ(x) = x^2 ⋅ ψ(x) pour tout x ∈ ℝ_+^∗. Montrer que ψ est une fonction de C^∞, et que ψ^′ est solution sur ℝ_+^∗ d'une équation différentielle linéaire du premier ordre. Peut-on prévoir ce résultat?
Déterminer cette équation différentielle.
4.3) Résoudre sur ℝ_+^∗ l'équation différentielle linéaire du premier ordre:

En déduire ψ^′.
4.4) On se place dans le cas particulier a = − 4.
a) Résoudre (E).
b) Comparez les dimensions des sous-espaces propres Ker(A_(− 4) + 6Id_(ℝ_3[X])) et Ker(Δ_(− 4) + 6Id_(C^∞)).