E3A Mathématiques A PC 2009Sujet et corrigé

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Concours ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques A PC

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Problème.

La présentation, la lisibilité, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements, l'énoncé exact des théorèmes de cours utilisés entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Ce problème a pour but d'étudier les crochets de Lie sur un R espace vectoriel de dimension 1, 2 ou 3.
Les parties I et II sont indépendantes, la partie III utilise certains résultats de la partie I.
E étant un R espace vectoriel :

Une application B de

E \times E

dans E est dite antisymétrique ssi

(\forall(u⃗, v⃗) \in E^2)(B(u⃗, v⃗) = - B(v⃗, u⃗))

.
On appelle crochet de Lie sur E noté [, ] toute application telle que :

[, ]: $E \times E \to E$
[, ] est bilinéaire
[, ] est antisymétrique
$(\forall(u⃗, v⃗, w⃗) \in E^3)([u⃗, [v⃗, w⃗]] + [v⃗, [w⃗, u⃗]] + [w⃗, [u⃗, v⃗]] = 0\to)$

Dans ce problème l'ensemble des vecteurs de la géométrie plane est identifié à l'espace vectoriel $ℝ^2$ et l'ensemble des vecteurs de la géométrie dans l'espace à l'espace vectoriel $ℝ^3$ . Si $E$ est le $ℝ$ espace vectoriel $ℝ^2$ ou $ℝ^3$ la notation de la géométrie vectorielle pour les éléments de $E$ sera adoptée : ils seront notés avec une flèche.
Dans les parties I et III, l'espace vectoriel $ℝ^3$ est muni de sa structure euclidienne canonique, le produit scalaire usuel de vecteurs $u⃗$ et $v⃗$ sera noté $u⃗ \cdot v⃗$ et le produit vectoriel de ces deux vecteurs sera noté $u⃗ \land v⃗$ .
On rappelle la formule : $(\forall(u⃗, v⃗, w⃗) \in ℝ^3)(u⃗ \land (v⃗ \land w⃗) = (u⃗ \cdot w⃗)v⃗ - (u⃗ \cdot v⃗)w⃗)$ .
$b_0 = (i⃗, j⃗, k⃗)$ désigne la base orthonormale directe canonique de $ℝ^3$ .
$\to$ Si $n \in ℕ^*, m_n(ℝ)$ représente l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre $n, S_n(ℝ)$ le sous espace vectoriel de $m_n(ℝ)$ constitué des matrices symétriques et $A_n(ℝ)$ le sous espace vectoriel de $m_n(ℝ)$ constitué des matrices antisymétriques.
$⋆$ Si b est une base de $ℝ^3, u⃗ \in ℝ^3$ et f un endomorphisme de $ℝ^3, m_b(u⃗)$ désigne le vecteur de $ℝ^3$ formé par les coordonnées de $u⃗$ dans la base $b$ et $m_b(f)$ la matrice de $f$ dans la base $b$ .
Si $A \in M_3(ℝ)$ , $φ_A$ désignera l'endomorphisme de $ℝ^3$ canoniquement associé à $A$ c'est-à-dire l'endomorphisme de $ℝ^3$ dont la matrice dans la base $b_0$ est $A$ .

Questions de cours.

Montrer que $A_3(ℝ)$ et $S_3(ℝ)$ sont supplémentaires dans $m_3(ℝ)$ , en particulier si $C \in M_3(ℝ)$ donner l'unique décomposition de C en $C = S_C + A_C$ où $S_C \in S_3(ℝ)$ et $A_c \in A_3(ℝ)$ .
Si $S \in S_3(ℝ)$ avec rang(S) $\leq 2$ , montrer qu'il existe une base $b$ de $ℝ^3$ orthonormée directe telle que $m_b(φ_s)$ est de la forme $(0, 0, 0; 0, β, 0; 0, 0, γ)$ où $β, γ \in ℝ$ .
Application : on considère $S = (0, 1, 0; 1, 0, 1; 0, 1, 0)$ , déterminer une base $b$ et les valeurs de $β$ et $γ$ . Calculer pour tout $n \in ℕ^*$ , la matrice $S^n$ (distinguer $n$ pair et $n$ impair).

Partie I: Exemples de crochets de Lie et premières propriétés.

Exemples de crochet de Lie.:
a) On considère E un R espace vectoriel quelconque, montrer que

[, ] : {E \times E \to E; (u⃗, v⃗) \mapsto 0\to est un crochet de Lie sur E.

b) Montrer que

[] :, {E \times E \to E; (A, B) \mapsto AB - BA

est un crochet de Lie sur

E = m_n(ℝ)

et sur

E = A_n(ℝ)

où

n \in ℕ^*

. Est-ce un crochet de Lie sur

E = S_n(ℝ)

? (justifier la réponse)
2) Crochet de Lie usuel sur

ℝ^3

:
a) Montrer que

(\forall(u⃗, v⃗, w⃗) \in (ℝ^3)^3)(u⃗ \land (v⃗ \land w⃗) + v⃗ \land (w⃗ \land u⃗) + w⃗ \land (u⃗ \land v⃗) = 0\to)

.En déduire que [, ]

{ℝ^3 × ℝ^3 → ℝ^3; (u⃗, v⃗) ↦ u⃗ ∧ v⃗

est un crochet de Lie

surℝ^3

.
b) On considère

a⃗ \in ℝ^3, a⃗ \neq 0\to

ψ_(a⃗){ℝ^3 → ℝ^3; u⃗ ↦ a⃗ ∧ u⃗

.
i)

Montrer que

ψ_(a⃗)

est un endomorphisme de

ℝ^3

.
ii) Déterminer le noyau et le rang de

ψ_(a¯)

.
iii) Dans la suite de cette question, on pose

a⃗ = αi⃗ + βj⃗ + γk⃗

où

α, β, γ \in ℝ

, donner la matrice

A_(a˙)

ψ_(a˙)

dans la base

b_0

, vérifier que

A_a \in A_3(ℝ)

.
iv) Calculer le polynôme caractéristique de

A_a

.
v)

ψ_(a⃗)

est-il diagonalisable dans

m_3(ℝ)

?
vi) On considère une matrice antisymétrique quelconque

A \in A_3(ℝ)

montrer qu'il existe un unique

a⃗ \in ℝ^3

tel que

A = A_a

Partie II: Détermination des crochets de Lie en dimension 1 et 2.

On considère $E$ un $ℝ$ espace vectoriel quelconque muni d'un crochet de Lie [, ].
a) Montrer que si $(u⃗, v⃗)$ est une famille liée de E alors $[u⃗, v⃗] = 0\to$ .
b) La réciproque est-elle vraie ?
Détermination des crochets de Lie en dimension 1 .

On considère

E

ℝ

espace vectoriel de dimension 1 .
a) Si E est muni d'un crochet de Lie [, ], montrer que

(\forall(u⃗, v⃗) \in E^2)([u⃗, v⃗] = 0\to)

.
b) Quels sont tous les crochets de Lie sur E?
3) Détermination des crochets de Lie en dimension 2 .

On considère E un R espace vectoriel de dimension 2 muni d'une base

B = (u_0^(\to-), v_0^(\to-))

. Le déterminant de deux vecteurs

(u⃗, v⃗)

de E dans la base B sera noté

det_B(u⃗, v⃗)

.
a) On suppose dans cette question que E est muni d'un crochet de Lie [, ] quelconque. Si

(x⃗, y⃗) \in E^2

avec

x⃗ = x_1 u_0^(\to-) + x_2 v_0^(\to-)

y⃗ = y_1 u_0^(\to-) + y_2 v_0^(\to-)

où

x_1, x_2, y_1, y_2 \in ℝ

, montrer que

[x⃗, y⃗] = det_B(x⃗, y⃗)k_0^(\to-)

où

k_0^(\to-) = [u_0^(\to-), v_0^(\to-)]

.
b) Dans cette question, on considère

k⃗

un vecteur quelconque de E et on pose si

(x⃗, y⃗) \in E^2 : [x⃗, y⃗] = det_B(x⃗, y⃗)k⃗

, le but de cette question est de montrer que c'est un crochet de Lie sur E.
i) Montrer que

(\forall(u⃗, v⃗, w⃗) \in E^3)(det_B(u⃗, v⃗)w⃗ + det_B(v⃗, w⃗)u⃗ + det_B(w⃗, u⃗)v⃗ = 0\to).

ii)

Montrer que

(\forall(u⃗, v⃗, w⃗) \in E^3)([u⃗, [v⃗, w⃗]] = [det_B(v⃗, w⃗)u⃗, k⃗])

.
iii) En déduire que [, ] est un crochet de Lie sur

E

.
c) Quels sont tous les crochets de Lie sur E?

Partie III: Etude des crochets de Lie en dimension 3.

Les questions 1) et 2) sont indépendantes. On rappelle que

b_0 = (i⃗, j⃗, k⃗)

désigne la base orthonormale directe canonique de

ℝ^3

Expressions des crochets de Lie sur $ℝ^3$ .

Dans toute la question 1), [, ] représente un crochet de Lie quelconque sur

ℝ^3

.
On pose alors

c_1\to = [j⃗, k⃗] = (c_(11); c_(21); c_(31)), c_2\to = [k⃗, i⃗] = (c_(12); c_(22); c_(32)), c_3\to = [i⃗, j⃗] = (c_(13); c_(23); c_(33))

C = (c_(11), c_(12), c_(13); c_(21), c_(22), c_(23); c_(31), c_(32), c_(33))

avec

C \in M_3(ℝ)

.
a) Le but de cette question est de montrer qu'il existe un unique endomorphisme f de

ℝ^3

tel que pour tout

(x⃗, y⃗) \in (ℝ^3)^2, [x⃗, y⃗] = f(x⃗ \land y⃗)

.
i)

Montrer que si

x⃗ = (x_1; x_2; x_3)

y⃗ = (y_1; y_2; y_3)

alors

[x⃗, y⃗] = (x_2 y_3 - x_3 y_2)c_1\to + (x_3 y_1 - x_1 y_3)c_2\to + (x_1 y_2 - x_2 y_1)c_3\to

ii) En déduire que pour tout

(x⃗, y⃗) \in (ℝ^3)^2, [x⃗, y⃗] = φ_C(x⃗ \land y⃗)

.
iii) Montrer que

φ_c

est l'unique endomorphisme f de

ℝ^3

tel que pour

tout (x⃗, y⃗) \in (ℝ^3)^2, [x⃗, y⃗] = f(x⃗ \land y⃗)

b) D'après la question de cours 1) il existe un unique

S_c \in S_3(ℝ)

A_c \in A_3(ℝ)

tels que

C = S_C + A_C

.
i) D'après (Partie I)2)b)vi)), il existe un unique

a⃗ \in ℝ^3

tel que

A_c = A_a

c'est-à-

dire \forallu⃗ \in ℝ^3 : φ_(A_C)(u⃗) = a⃗ \land u⃗. Montrer que 2a⃗ = (c_(32) - c_(23); c_(13) - c_(31); c_(21) - c_(12))

ii) Montrer que

2a⃗ = i⃗ \land c_1\to + j⃗ \land c_2\to + k⃗ \land c_3\to

.
iii) Montrer que

[i⃗, c_1\to] + [j⃗, c_2\to] + [k⃗, c_3\to] = 0\to

.
iv) En déduire que

φ_C(2a⃗) = 0\to

et que

a⃗ \in Ker(φ_(S_C))

.
c) Déduire des questions précédentes que

(\forall(x⃗, y⃗) \in (ℝ^3)^2)

([x⃗, y⃗] = φ_(S_C)(x⃗ \land y⃗) + (a⃗ \cdot y⃗)x⃗ - (a⃗ \cdot x⃗)y⃗)

2) Réciproque:

Dans cette question, on considère

S \in S_3(ℝ)

a⃗ \in Ker(φ_S)

quelconques.
On définit [, ] par:

(\forall(x⃗, y⃗) \in (ℝ^3)^2)([x⃗, y⃗] = φ_S(x⃗ \land y⃗) + (a⃗ \cdot y⃗)x⃗ - (a⃗ \cdot x⃗)y⃗)

et l'on veut montrer que [ , ] est un crochet de Lie sur

ℝ^3

( dit crochet de Lie associé à S).
a) Montrer que [, ] est bilinéaire antisymétrique.
b) On suppose dans cette question

a⃗ \neq 0\to

, on pose

ρ = ‖a⃗‖

. Dans la question de cours 2), a été établie l'existence d'une base

b

R^3

orthonormale directe telle que

m_b(φ_S) = (0, 0, 0; 0, β, 0; 0, 0, γ)

où

β, γ \in ℝ

.
i) Montrer que le premier vecteur de b peut-être choisi égal à

1/ρa⃗

Dans la suite de cette question, le premier vecteur de b est

1/ρa⃗

.
ii) Si

u⃗, v⃗ \in ℝ^3

, on note

m_b(u⃗) = (u_1; u_2; u_3)

m_b(v⃗) = (v_1; v_2; v_3)

, montrer que

ù [u⃗, v⃗] = (u_3 v_1 - u_1 v_3)d⃗ + (u_1 v_2 - u_2 v_1)e⃗ où m_b(d⃗)(0; β; ρ) et m_b(e⃗)(0; - ρ; γ).

iii) Si

x⃗ \in ℝ^3

, on note

m_b(x⃗) = (x_1; x_2; x_3)

, calculer

[x⃗, d⃗]

[x⃗, e⃗]

.
iv) En déduire que si

x⃗, y⃗, z⃗ \in ℝ^3

avec

m_b(x⃗) = (x_1; x_2; x_3), m_b(y⃗) = (y_1; y_2; y_3)

ù m_b(z⃗) = (z_1; z_2; z_3) alors [x⃗, [y⃗, z⃗]] = x_1((y_1 z_2 - y_2 z_1)d^'\to + (y_1 z_3 - y_3 z_1)e^'\to) où; m_b(d^'\to)(0; ρ^2 - βγ; - 2ργ) et m_b(e^'\to)(0; 2ρβ; ρ^2 - βγ).

v) Montrer que [, ] est un crochet de Lie sur

ℝ^3

.
vi) Application : En utilisant la partie Question de cours)2), donner

é à l'expression d'un crochet de Lie sur ℝ^3 associé à S = (0, 1, 0; 1, 0, 1; 0, 1, 0).

c) On suppose dans cette question

a⃗ = 0\to

, montrer par un raisonnement similaire à III)2)b) que [, ] est un crochet de Lie sur

ℝ^3

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