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E3A Physique PC 2009Sujet et corrigé

Pas encore noté
  • Mélanges de gaz parfaits et pression partielle
  • Potentiels thermodynamiques et équilibres physico-chimiques
  • Potentiel chimique et activité
  • Diffusion de particules (loi de Fick)
  • Diffusion thermique (loi de Fourier) et transferts conducto-convectifs
  • Premier principe et bilans enthalpiques
  • Circuits à diodes et amplificateurs opérationnels
  • Filtrage RC et régime transitoire
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Annales E3A PC PhysiqueE3A PC 2009PC PhysiquePhysique 2009

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Thermodynamique de l'air humide et mesure de l'humidité par psychromètre et hygromètre capacitif
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Le sujet étudie l'humidité de l'atmosphère. La première partie établit les relations entre humidité absolue, relative et pression de vapeur saturante, l'équilibre liquide-vapeur par les potentiels thermodynamiques, puis modélise l'évaporation par diffusion et transferts thermiques couplés. La seconde partie étudie deux appareils de mesure : le psychromètre (écart de température entre thermomètres sec et humide) et l'hygromètre capacitif (condensateur à isolant hygroscopique et montage électronique).

  1. 1A : relations générales sur l'air humideÉtablissement des relations entre pression partielle, humidité absolue et humidité relative pour un mélange idéal air-vapeur d'eau, et étude de la température de rosée.
  2. 2B : équilibre thermodynamique en vase closÉtude de l'équilibre liquide-vapeur d'un système fermé à température et pression constantes à l'aide du potentiel thermodynamique adapté et des potentiels chimiques des constituants.
  3. 3C : évaporation de l'eau liquideModélisation couplée de la diffusion des molécules d'eau dans l'air (loi de Fick) et des transferts thermiques (loi de Fourier, loi de Newton) pour établir l'évolution de la hauteur de liquide et de la température lors de l'évaporation.
  4. 4Deuxième partie A : psychromètreÉtablissement, par un bilan enthalpique sur un système fermé, de la relation entre l'humidité absolue de l'air et l'écart de température entre un thermomètre sec et un thermomètre humide.
  5. 5Deuxième partie B : hygromètre capacitifÉtude d'un montage électronique complet (diodes, amplificateurs opérationnels, filtre RC) exploitant la variation de capacité d'un condensateur à isolant hygroscopique pour mesurer l'humidité relative de l'air.

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CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Physique PC

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est autorisé.

Ce problème étudie l'humidité de l'atmosphère. L'épreuve est divisée en deux parties totalement indépendantes. Divers aspects thermodynamiques d'un air humide sont abordés en première partie. Deux hygromètres, appareils destinés à mesurer l'humidité de l'air, sont étudiés en seconde partie : le psychromètre (appareil développé par Regnault au 19^(ème) siècle) qui utilise deux thermomètres dont la différence de température peut être reliée à l'humidité, puis un hygromètre capacitif, réalisé autour d'un condensateur dont l'isolant électrique est hydrophile.
Remarques préliminaires importantes: il est rappelé aux candidat(e)s que :
  • les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques;
  • tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider à la compréhension du problème mais ne donnent pas lieu à des questions;
  • tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par les candidat(e)s ;
  • les applications numériques seront données avec le nombre de chiffres significatifs adapté en fonction des données de l'énoncé. A défaut, elles seront comptées fausses.
Dans tout le problème, et sauf mention explicite du contraire :
  • la pression sous laquelle sont étudiés les phénomènes est la pression atmosphérique, dont la valeur numérique est P_A = 1, 013 bar;
  • le symbole θ désigne la température en degré Celsius (^∘C), tandis que T représente la température en Kelvin (K) ;
  • la constante des gaz parfaits est R = 8, 31 J.K^(− 1).mol^(− 1).
Il est nécessaire de savoir mesurer et contrôler l'humidité de l'air dans un certain nombre de processus industriels où la teneur en eau d'une phase gazeuse doit être strictement encadrée, mais aussi dans des appareils à usage domestique comme les climatiseurs, les humidificateurs ou encore les contrôleurs d'humidité utilisés dans l'industrie du bâtiment.

PREMIỂRE PARTIE ETUDE THERMODYNAMIQUE DE L'AIR HUMIDE

A / RELATIONS GÉNÉRALES

Considérons un volume V d'air humide à la température T, sous la pression atmosphérique P_A. Cette phase gazeuse homogène est modélisée comme un mélange idéal de gaz parfaits, constitué d'une masse m_(air) d'air sec (de masse molaire M_(air) = 29g. mol^(− 1) ) et d'une masse m_(vap) de vapeur d'eau (de masse molaire M_(vap) = 18 g.mol^(− 1) ).
Etudions les caractéristiques thermodynamiques de ce mélange gazeux.
A1. Justifier que P_A = P_(air) + P_(vap) où P_(air) et P_(vap) représentent respectivement les pressions partielles de l'air sec et de la vapeur d'eau.
Montrer que P_(air)V = m_(air)r_(air)T et que P_(vap)V = m_(vap)r_(vap)T, en explicitant les constantes r_(air) et r_(vap) en fonction de R et des masses molaires M_(air) et M_(vap).
L'humidité absolue est définie par le rapport w = (m_(vap))/(m_(air)).
A2. Montrer que le rapport w peut s'écrire : w = δ(P_(vap))/(P_A − P_(vap)).
Donner l'expression de la constante δ en fonction des masses molaires M_(air) et M_(vap).
En déduire P_(vap) en fonction de P_A, w et δ.
Application numérique : calculer δ.
Un air humide à la température T ne peut rester une phase gazeuse homogène que si la pression partielle de la vapeur d'eau qu'll contient est inférieure à la pression de vapeur saturante de l'eau P_S(T) à cette température : P_(vap) < P_S(T).
P_s(T) représente la valeur maximale de P_(vap) lorsque l'air est en équilibre thermodynamique à la température T. Lorsque P_(vap) = P_S(T) il apparait du liquide sous forme de petites gouttes formant un brouillard ou une buée sur une surface solide. Dans ce cas l'air humide est dit saturé. La courbe donnant P_s (en Pa) en fonction de la température θ(en^∘C) est fournie ci-dessous : (figure 1).
Figure 1 : Pression de vapeur saturante en fonction de la température
L'humidité relative est définie par HU_R = (P_(vap))/(P_S(T)).
A3*a. Quelle est la caractéristique d'un air tel que HU_R = 0 ? De même, quelle est la particularité d'un air pour lequel HU_R = 1 (humidité de 100% ) ?
A3b. La température et la pression étant fixées, déterminer la valeur maximale w_M de I'humidité absolue en fonction de δ, P_A et P_S.
Application numérique : calculer w_M à θ = 25^∘C pour δ = 0, 62.
A3c. Comment évolue w_M lors d'une augmentation isobare de température, puis lors d'une augmentation isotherme de pression?
A4*a. L'intérieur d'un local de volume V = 350 m^3 est à la température θ_1 = 25^∘C, sous la pression atmosphérique P_A. Son humidité relative est HU_R = 0, 40. Calculer les masses m_(vap) de vapeur d'eau, m_(air) d'air sec ainsi que la masse totale m_h d'air humide.
A4*b. Durant la nuit, le local n'est pas chauffé et sa température descend à θ_2 = 5^∘C. Quelle est alors l'humidité relative de l'atmosphère du local, si ce dernier est hermétiquement clos, sous pression constante ? Quelle est la masse meau d'eau condensée?
Considérons à la température T et sous la pression P_A un air humide non saturé, caractérisé par une humidité absolue w. La température de rosée T_R est la température à laquelle il faut refroidir cet air à pression constante pour faire apparaître la première goutte d'eau liquide.
A5a. Quelle est la température de rosée T_R (ou θ_R ) de l'air du local étudié en A4a?
A5*b. Une lame métallique en contact avec de l'air humide est refroidie progressivement sous la pression constante P_A. Il apparaît de la buée à la surface de la lame lorsque la température de celle-ci est descendue à 8, 0^∘C. En déduire les humidités relative HU_R et absolue w de cet air lorsqu'il est à la température de 25^∘C.

B / ÉTUDE DE L'ÉQUILIBRE THERMODYNAMIQUE EN VASE CLOS (UTILISATION DES POTENTIELS THERMODYNAMIQUES)

Considérons un système fermé (&) formé de n_(liq) moles de l'eau liquide à la température T et sous la pression P, surmontées d'une phase gazeuse à la même température et sous la même pression, renfermant n_(air) moles d'air sec et n_(vap) moles de vapeur d'eau (figure 2). II est admis que cette phase gazeuse se comporte comme un mélange idéal de gaz parfaits.
Figure 2
B1. Rappeler la définition d'un potentiel thermodynamique.
Le système ( Θ^−) est placé dans un cylindre fermé par un fond et dont les parois sont diathermanes. Ce cylindre est en contact avec un thermostat de température T_A et il est limité par un piston sans masse, mobile sans frottement, dont la face externe est en contact avec l'atmosphère de pression constante P_A = 1, 013 bar.
Soient U, S et V respectivement l'énergie interne, l'entropie et le volume de ( 𝒴 ). Introduisons le potentiel thermodynamique G^∗ = U − T_A S + P_A V.
B2. Montrer que G^∗ est un potentiel adapté aux transformations monothermes et monobares.
Supposons que ( ∅ ) soit le siège d'une transformation infinitésimale à température et pression constantes. A chaque instant, la température T de (Я) et sa pression P restent égales à T_A et P_A. Seules les quantités de matière varient au cours de cette transformation : n_(liq) devient n_(liq) + dn_(liq) et le nombre de moles de vapeur d'eau passe de n_(vap) à n_(vap) + dn_(vap). Le nombre n_(air) de moles d'air demeure constant.
B3*a. Montrer que dans cette transformation particulière dG^∗ = dG ( G étant l'enthalpie libre du système) et en déduire que :
dG^∗ = μ_(liq) dn_(liq) + μ_(vap) dn_(vap)
où μ_(liq) et μ_(vap) sont les potentiels chimiques de l'eau liquide et de la vapeur d'eau.
Rappelons que, d'après le cours de chimie, l'expression générale du potentiel chimique d'un constituant A_i est de la forme :
μ_i = μ_i^0(T) + RTLna_i
où μ_i^0(T) désigne le potentiel chimique standard (grandeur qui ne dépend que de la nature du constituant A_i et de la température T ) et où a_i est l'activité chimique du constituant. Lorsque le constituant est seul dans une phase liquide, a_i vaut 1,00. D'autre part, lorsque le constituant est un gaz parfait, a_i s'écrit : a_i = P_i/P^0 où P_i est la pression partielle du constituant et P^0 la pression de référence ( P^0 = 1, 00 bar).
D'autre part, la pression de vapeur saturante de l'eau P_S(T) à la température T peut être définie par la relation thermodynamique suivante:
μ_(vap)^0(T) − μ_(liq)^0(T) + RTLn((P_S(T))/(P^0)) = 0
B3*b. En déduire l'expression de dG^∗ en fonction des seules grandeurs R, T, P vap (pression partielle de vapeur d'eau), P_S(T) et dn_(vap).
Considérons un état initial dans lequel les nombres de moles de liquide et de vapeur d'eau sont respectivement n_(liq)(0) = n_0 et n_(vap)(0) = n_1. Désignons par P_(vap)(0) la pression partielle en vapeur d'eau dans cet état et supposons P_(vap)(0) ≠ P_S(T).
B3*c. Comment le système évolue-t-il si P_(vap)(0) < P_S(T). Exprimer la condition sur n_0, P et n_(liq) pour qu'un équilibre diphasé puisse être atteint dans l'état final.
B3*d. La température du thermostat est θ_A = 60^∘C, température pour laquelle la pression de vapeur saturante vaut: P_S(60^∘C) = 1, 98.10^4 Pa. Calculer la composition finale de (𝒜) lorsque les quantités de matière initiales sont:
i) n_0 = 0, 20 mol; n_1 = 0, 20 mol; n_(air) = 1, 5 mol,
ii) n_0 = 0, 12 mol; n_1 = 0, 15 mol; n_(air) = 1, 5 mol.

C / ÉVAPORATION DE L'EAU LIQUIDE

Etudions maintenant quelques caractéristiques physiques de l'évaporation de l'eau liquide dans l'atmosphère. Contrairement à l'ébullition qui est un phénomène nécessitant un apport d'énergie sous forme de chaleur et qui se produit à une température bien définie (température de vaporisation) pour une pression donnée, l'évaporation de l'eau liquide dans l'atmosphère est un phénomène très lent qui se produit à toute température. Ce phénomène résulte d'un couplage entre la diffusion particulaire des molécules d'eau dans l'air et des transferts thermiques entre le liquide et l'atmosphère.
Considérons un modèle unidimensionnel dans lequel une couche d'eau liquide possède une surface libre plane en contact avec l'atmosphère. Du fait de l'évaporation, la hauteur h(t) de cette surface libre décroît au cours du temps. Le liquide repose sur un fond (situé en z = 0 ), pour lequel la température T_A est supposée constante et identique à celle de l'atmosphère.
Figure 3
Les hypothèses du modèle sont les suivantes:
  • la pression est uniforme et constante ;
  • l'air constitue un milieu immobile à la température constante T_A, au sein duquel diffusent les molécules d'eau avec une densité particulaire n_(vap)[z, t]; le vecteur densité de courant particulaire est noté j⃗ et le coefficient de diffusion D;
  • la phase liquide est immobile et la densité particulaire de molécules d'eau nliq est supposée stationnaire et uniforme.
C1* Rappeler la loi de Fick et en donner le sens physique.
En raisonnant sur un cylindre de hauteur élémentaire dz et de surface de base S, établir l'équation dite de diffusion vérifiée par la densité particulaire n_(vap)[z, t] de la vapeur d'eau.
Considérons un instant to donné et définissons le cylindre (%) dont la première base repose sur le fond et dont l'autre base est située au niveau de la surface libre du liquide à cet instant. Ce cylindre possède une hauteur H constante qui est égale à la hauteur h(to) de liquide à l'instant considéré, ainsi que deux bases de même surface S. (figure 3)
C2*a. Déterminer la variation dN du nombre de molécules d'eau contenues dans (%) entre les instants t_0 et t_0 + dt et montrer que, lorsque dt devient très petit, cette variation peut s'écrire de façon approchée :
dN = {n_(liq) − n_(vap)[h(t_0), t_0]}(dh)/(dt)(t_0)dt
C2*b. Compléter ce bilan en reliant dN à la densité de courant j des molécules de vapeur d'eau sur la base supérieure du cylindre ( 𝒞 ) et établir ainsi que :
(dh)/(dt)(t_0) = D/(n_(liq) − n_(vap)[h(t_0), t_0])(∂n_(vap))/(∂z)[h(t_0), t_0]
(l'instant t_0 étant quelconque, cette relation est bien entendu valable à tout instant t )
L'évaporation de l'eau liquide entraîne des transferts thermiques à la fois au sein du liquide et à l'interface liquide-atmosphère. Pour modéliser ces échanges, supposons que l'eau liquide est caractérisée par une conductivité thermique λ_(liq), une masse volumique ρ_(liq) et que sa température varie de façon unidimensionnelle selon T[z, t].
C3. Rappeler l'expression de la loi de Fourier et établir l'équation de diffusion thermique à laquelle obéit la température au sein du liquide.
Précisons en outre que les échanges thermiques entre le liquide et l'air sont régis par la loi de Newton : la puissance thermique qui traverse une surface élémentaire dS située à la surface libre du liquide est donnée par: dP = K_(cc)[T_s − T_A]dS, où T_S est la température du liquide sur la surface libre et K_(cc) le coefficient de conducto-convection, supposé constant.
C4. Considérons une tranche élémentaire de liquide d'épaisseur dz et de surface S qui se vaporise entre les instants t et t + dt. Expliciter l'épaisseur dz en fonction de la dérivée de h(t). Grâce à un bilan énergétique effectué sur cette tranche, montrer que :
λ_(liq)(∂T)/(∂z)[h(t), t] + K_(cc)(T[h(t), t] − T_A) = ρ_(liq)L_V(dh)/(dt)(t)
où L_v est l'enthalpie massique de vaporisation de l'eau (supposée constante).
Par la suite, notons v(t) = − (dh)/(dt) la vitesse d'évaporation et intéressons-nous au régime quasi-stationnaire : (∂T)/(∂t) ≈ 0.
C5*a. Montrer que T[z, t] peut alors s'écrire sous la forme : T[z, t] = a(t)z + T_A où a(t) est un coefficient qui varie très lentement avec le temps.
C5*b. Déduire de l'étude précédente que le coefficient a(t) vérifie la relation suivante:
a(t) = (− v(t)ρ_(liq)L_V)/(λ_(liq) + K_(cc)h(t))
C5*c. Quel est le signe de a ? La température moyenne du liquide est-elle diminuée ou augmentée par le phénomène d'évaporation? Cette modification a-t-elle tendance à renforcer ou à limiter le phénomène ?
La variation de température induite par évaporation peut être utilisée pour mesurer l'humidité de l'air, comme nous le verrons dans la partie suivante.

DEUXIEME PARTIE MESURE DE L'HUMIDITE DE L'AIR HUMIDE

A / PSYCHROMÈTRE

Un psychromètre est un appareil destiné à mesurer l'humidité de l'air par la mesure d'une différence de température.
La pointe d'un thermomètre, entourée d'un coton imbibé d'eau liquide, est placée dans un courant d'air humide, ce qui a pour effet de provoquer l'évaporation du liquide et l'enrichissement de la phase gazeuse en vapeur d'eau (figure 4).
La température de l'eau liquide (indiquée par le thermomètre) est constante et vaut T_h (température humide). Initialement, l'air humide est à la température T et possède une humidité absolue w. Après son passage sur le coton, cet air est saturé en vapeur d'eau et son humidité absolue devient w_M (correspondant à une humidité relative de 100 %). Sa
Figure 4
température est alors T_h.
La transformation s'effectue sous la pression atmosphérique constante P_A = 1, 013 bar.
Définissons le système (%) constitué d'une masse mair d'air sec mélangé à une masse m_(vap) de vapeur d'eau en proportion telle que m_(vap) = wm_(air), où w est l'humidité absolue initiale. Au cours de son passage sur le coton, ( 𝒪_0 ) s'enrichit d'une masse m_(ev) de vapeur d'eau provenant de l'évaporation du liquide.
( 𝒪_0 ) n'étant pas un système fermé, il est possible de le compléter en lui adjoignant la masse m_(év) d'eau initialement à l'état liquide. Le système fermé ainsi défini sera appelé (of).
A1. Expliciter la relation existant entre m_(év), m_(air) et les humidités absolues w et w_M.
La transformation est suffisamment rapide pour que les échanges de chaleur entre ( 𝒮 ) et le milieu extérieur soient négligeables.
A2. Montrer que l'enthalpie H de ( ℱ ) se conserve au cours de cette transformation.
L'air humide étant un mélange idéal de gaz parfaits, son enthalpie est la somme des enthalpies de chaque constituant du mélange ; c_(p(air)) et c_(p(vap)) sont respectivement les capacités thermiques massiques à pression constantes de l'air sec et de la vapeur d'eau (supposées indépendantes de la température). L'enthalpie massique de vaporisation de l'eau liquide à la température T sera notée L_v(T).
D'autre part, l'étude de la première partie a permis d'établir que w_M était reliée à δ = M_(vap)/M_(air), P_S(T) (pression de vapeur saturante) et P_A par l'équation :
w_M = δ(P_S(T))/(P_A − P_S(T))
A3. Montrer l'égalité suivante: (w_M − w)L_V(T_h) = (c_(p(air)) + wc_(p(vap)))(T − T_h)
A4*a. En déduire que l'humidité absolue w initiale est donnée par :
w = (δ(P_S(T_h))/(P_A − P_S(T_h))L_V(T_h) − C_(ρ (air))(T − T_h))/(L_V(T_h) + C_(ρ(vap))(T − T_h))
A4*b. En réalité, la variation de température n'excède pas quelques degrés. Compte tenu des ordres de grandeur des différents termes et à l'aide des données numériques ci-dessous, simplifier l'équation précédente et montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme :
w = δ(P_S(T_h))/(P_A − P_S(T_h))[1 − A(T − T_h)].
Donner l'expression de la constante A en fonction de P_A, P_s(T_h), δ, L_v(T_h) et c_(p(air)). Calculer A pour T_h = 286 K, P_S(T_h) = 1500 Pa et δ = 0, 62.
Données numériques :
L_v(T) = 3225 − 2, 65T, (L_v en KJ ⋅ kg^(− 1), avec T en K); C_(p(air)) = 1006 J ⋅ Kg^(− 1) ⋅ K^(− 1), C_(p(vap)) = 1840 J ⋅ kg^(− 1) ⋅ K^(− 1)
Cette méthode est utilisée pour mesurer l'humidité relative HU_R. En remplaçant w par l'expression donnée dans la première partie, en A2* et compte tenu de l'approximation P_A − P_v ≈ P_A − P_S(T_h), l'équation précédente peut être mise sous la forme approchée :
HU_R ≈ (P_s(T_h))/(P_s(T))[1 − A(T − T_h)]
Le psychromètre est constitué de deux thermomètres soumis au même courant d'air. Le premier est au contact direct de l'air et mesure T. Le second est entouré de coton imbibé d'eau et mesure T_h.
A5. Une mesure particulière a donné pour l'air d'un local : T_h = 280 K et T = 288 K. Calculer I'humidité relative HU_R de cet air en prenant A = 6, 6.10^(− 2) K^(− 1) et en utilisant la courbe représentée sur la figure 1.
En pratique, l'humidité relative HU_R se lit directement dans une table (table psychrométrique) à partir des deux valeurs de T et T_h.

B / HYGROMÈTRE CAPACITIF

Certains oxydes métalliques comme Al_2 O_3 (alumine) sont hygroscopiques, c'est-à-dire qu'ils peuvent absorber l'eau contenue dans un gaz humide. En conséquence, leurs propriétés électriques, notamment leur permittivité diélectrique ε sont modifiées. L'utilisation de ces substances comme isolant électrique d'un condensateur permet de réaliser des capacités C_h qui dépendent de l'humidité relative HU_R selon la loi approchée :
C_h = C_0(1 + a ⋅ HU_R)
où C_0 et a sont deux constantes.
Ce type de condensateur est réalisé à partir d'une lame d'aluminium constituant l'une des armatures, sur laquelle est déposée une couche d'alumine poreuse. La seconde armature du condensateur est une lame d'or. La mesure de la capacité de ce type de condensateur constitue actuellement une technique fiable et précise pour déterminer l'humidité relative.
Etudions dans cette partie un montage électrocinétique permettant la mesure de C_h. Le montage complet est représenté sur la figure 5 et ses différents éléments seront abordés successivement au cours du problème.
Figure 5 : Schéma électrique complet de l'hygromètre
Les diodes utilisées (fiqure 6) sont supposées idéales, ce qui signifie :
i_d = 0 lorsque u_d ≤ 0 (état bloqué)
u_d = 0 lorsque i_d ≥ 0 (état passant)
Figure 6
B1. Quelle est l'origine physique de la variation de la constante diélectrique de l'alumine Al_2 O_(3(s)) lorsqu'elle absorbe de l'eau?
B2. La capacité étudiée varie de 110 pF à 250 pF lorsque l'humidité relative HU_R passe de la valeur 0 à la valeur 1 . Calculer les valeurs numériques de C_0 et a.
Considérons le dipôle (AB) représenté sur la figure 7, pour lequel ( D_a ) et ( D_b ) sont deux diodes idéales identiques.
B3. Montrer que les deux diodes ne peuvent pas être simultanément dans le même état. Déterminer, selon le signe de la tension u, le résistor ohmique équivalent à (AB).
Figure 7
Figure 8
Ce dipôle est maintenant inséré dans le montage de la figure 8 dans lequel u_θ(t) est une tension nulle pour t < 0 et t > T_1 et égale à une constante E > 0 lorsque 0 < t < T_1. A l'instant t = 0, le condensateur est déchargé.
B4*a. Établir l'équation différentielle vérifiée par u_c(t) puis exprimer sa solution pour 0 < t < T_1, en faisant apparaître une constante de temps, notée τ_a.
À partir de l'instant T_1, u_e(t) redevient nulle.
B4*b. Quelle est alors l'équation différentielle vérifiée par u_c(t) ? Expliciter dans ce cas u_c(t) pour t > T_1, en fonction des paramètres E, T_1, R_a, R_b et C_h.
B4*c. Représenter l'allure de u_c(t) en fonction du temps dans le cas particulier où R_b = 10R_a. Faire figurer sur ce schéma les asymptotes et les points remarquables.
Dans le montage de la figure 9a, l'amplificateur opérationnel (AO1) est supposé idéal et fonctionne en régime de saturation. Les tensions de saturation haute et basse sont notées respectivement + U_(SAT) et − U_(SAT).
u_e(t) est maintenant une tension créneau périodique de période T, maintenue à une valeur constante E > 0 pendant une durée T_1(T_1 < T) et nulle pendant le reste de la période, schématisée sur la figure 9b.
Figure 9a
Figure 9b
Le régime permanent est supposé établi : toutes les tensions sont périodiques avec la même période T. Celle-ci est choisie de sorte que R_b C_h≪T, ce qui entraîne que le condensateur est déchargé à la fin de chaque période. Le fonctionnement du montage sera donc étudié entre les instants 0 et T.
B5*a. Expliciter la condition reliant τ_a = R_a C_h et la durée T_1, pour que la tension u_1(t) en sortie de l'AO1 puisse basculer de + U_(SAT) à − U_(SAT) durant la phase où u_e = E. (cette condition sera supposée vérifiée par la suite)
Déterminer, en fonction de τ_a, l'instant T_2 qui correspond au basculement de u_1(t) de la valeur + ⋃_(SAT) à la valeur − U_(SAT).
B5*b. Évaluer la valeur minimale de T_1 assurant le fonctionnement correct du montage, sachant que R_a = 2, 70MΩ. Calculer les deux valeurs extrêmes de T_2 qui correspondent respectivement à C_h = 110pF et C_h = 250pF.
B5*c. En choisissant les valeurs numériques suivantes : T = 1, 0 ms, T_1 = 1, 0 ms, C_h = 110pF, E = 5, 0 V et U_(SAT) = 12, 6 V, représenter en concordance de temps les tensions u_c(t) et u_1(t) sur un intervalle de temps de deux périodes.
Le montage représenté sur la figure 10 est destiné à mettre en forme la tension u_1(t) délivrée par le circuit précédent. II comprend un amplificateur opérationnel idéal (AO2) en régime linéaire et une diode (D) idéale.
Figure 10
Figure 11
B6. Déterminer, selon le signe de u_1(t), l'expression de la tension u_2(t) en sortie de l'AO2. Représenter le chronogramme de u_2(t) sur un intervalle de temps de deux périodes.
Cette tension u2 est appliquée à l'entrée du filtre passif représenté sur la figure 11 et constitué de deux résistances R_2 et R_3, ainsi que d'un condensateur de capacité C.
Le régime permanent étant établi, la tension u_3(t) est périodique de période T : elle évolue entre une valeur minimale U_(min) atteinte aux temps nT ( n entier) et une valeur maximale U_(max) atteinte aux temps nT + T_2, où T_2 est la durée déterminée à la question B5^∗ a.
Etant donnée une fonction f(t) périodique de période T, sa valeur moyenne est définie par:
< f(t)>=1/T∫_0^T f(t)dt
B7a. Calculer la valeur moyenne de u_2(t) en fonction de U_(SAT), T et T_2.
B7b. Montrer que la valeur moyenne ⟨i_c(t)⟩ de l'intensité qui traverse le condensateur est nulle. En déduire la valeur moyenne ⟨u_3(t)⟩ en fonction de U_(sat), T, T_2, R_2 et R_3.
Afin d'alléger les expressions littérales intervenant dans les questions suivantes, posons la quantité τ = (R_2 R_3)/(R_2 + R_3)C.
B8*a. Écrire l'équation différentielle du premier ordre à laquelle obéit u_3(t) lorsque 0 < t < T_2. Expliciter sa solution en fonction de U_(min), U_(SAT), R_2, R_3 et τ. (ne pas chercher à déterminer U_(min) dans cette question)
B8*b. Quelle est l'équation différentielle satisfaite par u_3(t) lorsque T_2 < t < T ? Déterminer sa solution en fonction de U_(max), τ et T_2. (sans chercher à déterminer U_(max) dans cette question)
B8*c. Montrer que U_(max) et U_(min) prennent les valeurs suivantes :
U_(max) = (R_3)/(R_2 + R_3)U_(SAT)(1 − exp(− T_2/τ))/(1 − exp(− T/τ)); U_(min) = (R_3)/(R_2 + R_3)U_(SAT)exp[ − (T − T_2)/τ](1 − exp(− T_2/τ))/(1 − exp(− T/τ)).
Le taux d'ondulation ρ est défini par le quotient : ρ = (U_(max) − U_(min))/(⟨U_3(t)⟩).
B8*d. Déterminer l'expression du taux ρ en fonction de T, T_2 et τ.
Application numérique: calculer ρ dans le cas le plus défavorable, avec pour valeurs numériques T = 1, 0 ms et τ = 20 ms. Conclure.
B8*e. Sur quels facteurs est-il possible de jouer pour diminuer le taux d'ondulation ρ ?
Au contact de l'air ambiant d'un local, le dispositif délivre une tension u_3 = 3, 72 V.
B9. Déterminer l'humidité relative HU_R dans le local, en utilisant les données numériques suivantes : R_2 = 56, 0 KΩ, R_3 = 140kΩ, R_a = 2, 70MΩ, USAT = 12, 6 V et T = 1, 0 ms.

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique e3a PC 2009 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique e3a PC 2009 ?

Le sujet porte sur la thermodynamique de l'air humide (mélanges de gaz parfaits, équilibres liquide-vapeur, diffusion) et l'électronique (diodes, amplificateurs opérationnels, filtrage), à travers l'étude de la mesure de l'humidité atmosphérique.

Les deux parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Oui, l'énoncé précise que l'épreuve est divisée en deux parties totalement indépendantes, la thermodynamique de l'air humide d'une part et la mesure de l'humidité par deux hygromètres d'autre part.

Quel résultat de cours faut-il connaître pour la partie sur l'évaporation de l'eau ?

Il faut maîtriser la loi de Fick pour la diffusion de particules, la loi de Fourier pour la diffusion thermique, ainsi que les bilans de matière et d'énergie sur un système ouvert en évolution quasi-stationnaire.

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