Ondes élastiques dans un solide (modèle microscopique et macroscopique), propagation des ondes sismiques P et détection par un sismographe électromagnétique
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Le sujet de physique E3A PC 2007 comporte trois parties indépendantes. La première établit le lien entre les paramètres microscopiques d'un solide cristallin et le module d'Young macroscopique à partir d'une chaîne d'atomes reliés par des ressorts. La deuxième étudie la propagation des ondes sismiques longitudinales par analogie avec l'optique géométrique, localement puis à l'échelle du globe. La troisième décrit la détection de ces ondes par un sismographe électromagnétique, couplant oscillateur mécanique, induction et filtrage électronique.
1Première partie : onde élastique dans un barreau solideModèle microscopique d'une chaîne d'atomes reliés par des ressorts et relation de dispersion associée, passage au modèle macroscopique via le module d'Young, puis lien entre l'interaction interatomique et ce module, appliqué au tungstène.
2Deuxième partie : étude des ondes sismiques terrestresÉtude locale par hodochrones des ondes directe, réfléchie et réfractée à l'interface croûte-manteau, puis étude à grande échelle avec un noyau et un manteau sphériques, mettant en évidence une zone d'ombre sismique.
3Troisième partie : sismographe électromagnétiqueÉtude d'un oscillateur mécanique forcé par le mouvement du sol, force électromotrice induite dans une bobine plongée dans un champ magnétique, établissement de la fonction de transfert électromécanique et de son diagramme de Bode, conditions de fonctionnement optimal du sismographe.
Difficile. La moyenne de 9,13/20 avec un écart-type de 3,91 traduit une épreuve globalement difficile ; le rapport relève un manque de rigueur mathématique important et des lacunes inquiétantes dans les interprétations physiques, malgré une difficulté des questions très progressive et de nombreux résultats intermédiaires fournis.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Confusion sur la notion de propagation dispersive · Développement limité simple non maîtrisé · Relation entre force et énergie potentielle mal perçue
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Le sujet abordait plusieurs domaines des programmes de première et de seconde année, avec une difficulté très progressive et de nombreuses questions proches du cours. Le jury constate une grande différence entre les candidats possédant une connaissance très superficielle du cours et ceux qui savent restituer des résultats de façon claire et précise. Un manque de rigueur mathématique important est relevé, tout comme des lacunes inquiétantes concernant les interprétations physiques, les questions demandant un commentaire ayant été presque systématiquement évitées.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Confusion sur la notion de propagation dispersiveA3d, première partie
De nombreux candidats concluent à tort que toute propagation est dispersive en observant simplement que la pulsation apparaît dans l'expression de la vitesse de phase, ce qui reviendrait à dire que toute propagation est forcément dispersive.
« ce qui reviendrait donc à dire que toute propagation est forcément dispersive ! »
2
Développement limité simple non maîtriséC2, première partie
Le développement limité demandé, pourtant très simple, a posé de sérieuses difficultés à la quasi-totalité des candidats, ce qui a empêché de traiter correctement les questions suivantes de cette partie.
« Le développement limité demandé, pourtant très simple, a posé de sérieuses difficultés à la quasi-totalité des candidats. »
3
Relation entre force et énergie potentielle mal perçueC1a, première partie
Le lien entre la force et l'énergie potentielle d'interaction est très souvent mal perçu, le jury ayant pu lire que la force valait l'énergie potentielle divisée par la distance, ou encore que la force était la primitive de l'énergie potentielle.
« nous avons pu lire que « F(r) = EP / r » ou encore que « la force est la primitive de l’énergie potentielle »
4
Condition de réflexion totale mal énoncéeB2a, deuxième partie
Cette question de cours pourtant simple reçoit peu de réponses convaincantes, certains candidats affirmant que la réflexion est totale si le sinus de l'angle de réfraction dépasse un, ce qui n'a pas de sens.
« la réflexion est totale si sin r > 1 !! »
5
Caractère galiléen d'un référentiel confondu avec sa translationA1, troisième partie
Beaucoup de candidats estiment que le référentiel du bâti est galiléen simplement parce qu'il a un mouvement de translation rectiligne, sans que l'uniformité de cette translation apparaisse comme une condition essentielle.
« beaucoup estiment que R 0 est galiléen tout simplement parce qu’il a un mouvement de translation rectiligne »
6
Fonction de transfert et diagramme de Bode totalement ratésB4a, B4b, troisième partie
Le calcul d'un argument de fonction de transfert, les représentations du gain et de la phase, ainsi que le tracé d'un diagramme de Bode ne sont plus vraiment maîtrisés par les candidats.
« le calcul d’un argument de fonction de transfert, les représentations du gain et de la phase, ainsi que le tracé d’un diagramme de Bode »
Ce qui a été bien réussi
Les questions A1 et A2 de la première partie sont bien traitées dans l'ensemble.
La question de cours B3 de la première partie est bien traitée dans l'ensemble.
Les questions A2 et A3 de la deuxième partie sont bien traitées dans l'ensemble.
De bonnes copies ont été remarquées, alliant de bonnes connaissances scientifiques, une interprétation claire des modèles et des calculs rigoureux.
Conseils du jury
Apprendre le cours de façon plus exigeante, en comprenant le sens concret des formules et leur domaine d'application, plutôt que de retenir des formules isolées.
Soigner les questions qualitatives et s'y entraîner tout au long de l'année.
S'entraîner au calcul en résolvant soi-même les exercices, plutôt qu'en lisant des corrigés, en menant les calculs jusqu'au bout.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de la calculatrice est autorisé
Ce problème étudie les ondes élastiques dans les milieux solides et leurs applications dans les phénomènes sismiques. Il est constitué de trois parties totalement indépendantes.
La première partie est consacrée aux propriétés microscopiques et macroscopiques des ondes élastiques et établit le lien entre les paramètres microscopiques régissant les interactions entre les atomes du solide et le module d'Young qui décrit le comportement élastique du solide au niveau macroscopique.
La deuxième partie s'intéresse à la propagation d'ondes élastiques longitudinales (ondes P ) qui peuvent se propager à l'intérieur de la Terre après une explosion ou un séisme. L'étude de cette propagation permet d'accéder à des informations importantes concernant la structure géologique interne du globe terrestre.
Enfin, la troisième partie est focalisée sur la détection de ces ondes au moyen d'un sismographe électromagnétique. Bien que ce type d'appareil soit actuellement partiellement remplacé par des sismographes piézoélectriques, son importance historique est considérable et il fut longtemps le seul dispositif à être utilisé.
Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que :
les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques,
tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider à la compréhension du problème mais ne donnent pas lieu à des questions,
tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par les candidat(e)s.
Dans tout le problème, le référentiel terrestre (R_T), supposé galiléen sera utilisé.
PREMIÈRE PARTIE ONDE ELASTIQUE DANS UN BARREAU SOLIDE
A - Modèle microscopique et approximation des milieux continus
À l'échelle microscopique, un matériau solide homogène peut être modélisé par une chaîne infinie d'atomes assimilés à des points matériels de même masse m et reliés entre eux par des ressorts identiques, de longueur à vide a et de raideur K. Ces ressorts modélisent, dans l'approximation linéaire, les interactions électromagnétiques entre les atomes lorsqu'ils se déplacent au voisinage de leur position d'équilibre.
Considérons un modèle unidimensionnel dans lequel tous les atomes se déplacent sans frottement sur un axe Ox. La figure 1 représente cette disposition où chaque atome est numéroté par un entier n. Lorsqu'il est en équilibre mécanique, l'atome référencé ( n ) est situé à l'abscisse x_n( éq ) = n a ; en dehors de l'équilibre, sa position devient x_n(t) = x_n( éq ) + u_n(t).
Figure 1 : Chaîne infinie d'atomes
A1*a. Établir l'expression de la résultante des forces exercées par les atomes (n − 1) et (n + 1) sur l'atome ( n ).
A1*b. En déduire l'équation différentielle du mouvement de l'atome ( n ) et montrer qu'elle peut s'écrire: (d^2 u_n)/(dt^2) = ω_0^2(u_(n + 1) + u_(n − 1) − 2u_n), en explicitant ω_0 en fonction de K et m.
L'équation précédente admet des solutions sinusoïdales de pulsation ω. Afin de les étudier, introduisons la représentation complexe u_–_n(t) et cherchons ces solutions sous la forme u_–_n(t) = U_–_n exp(jωt) où U_–_n désigne l'amplitude complexe du déplacement de l'atome (n).
A2a. Établir la relation entre ω, ω_0, U_–_(n − 1), U_–_n et U_–_(n + 1).
A2b. Quelle est la valeur particulière de ω associée à une solution telle que U_–_(n − 1) = U_–_n pour toute valeur de n ? Quelle interprétation physique peut-on en donner?
A2 ^∗ c. Déterminer de même la pulsation correspondant à U_–_n = − U_–_(n − 1) pour toute valeur de n .
Dans toute la suite de cette partie, nous étudierons une solution particulière de la forme u_–_n(t) = A_–exp[j(ωt − k na) ] où A_– est un nombre complexe indépendant de n et k un nombre réel.
A3*a. Quelle signification physique peut-on attacher à ce type de déplacement ? Quelle hypothèse fait-on en supposant que A_– est indépendant de n ?
A3*b. Vérifier que l'expression proposée est bien solution de l'équation établie en A1^∗ b_–, à condition que k, ω, ω_0 et a soient reliés par une équation à expliciter.
Réaliser un schéma représentant l'évolution de ω en fonction de k . Quel est le domaine de pulsations admissibles ?
A3*c. Pourquoi est-il possible de restreindre les valeurs de k à l'intervalle [ − π/a, π/a [ ?
A3*d. Montrer que le déplacement u_–_n(t) reproduit exactement le déplacement u_–_(n − 1)(t), mais avec un retard temporel τ dont on donnera l'expression en fonction de ω_0, k et a .
En déduire qu'il est possible de définir une vitesse de phase V_φ = ω/k. La propagation est-elle ou non dispersive?
Considérons désormais le cas particulier où k est positif.
A4a. Déterminer la vitesse de phase V_φ et la vitesse de groupe V_g en fonction de ω_0, k et a.
A4b. Quelles sont les valeurs limites de ces deux vitesses lorsque k → 0. Commenter.
A4*c. Étudier de même les limites lorsque k → π/a. Quelle signification physique peut-on attribuer aux résultats obtenus?
L'approximation des milieux continus permet de faire passer une fonction u(x, t) par tous les points représentatifs des atomes de la chaîne à chaque instant (figure 2). Cela est possible lorsque u_n est peu différent de u_(n + 1).
Définissons la fonction continue et dérivable u(x, t) des variables d'espace x et de temps t telle que u(x, t) = u_n(t) lorsque x = na. Supposons que u(x, t) varie peu dans l'espace, à l'échelle de a. En considérant que l'atome ( n ) occupe l'abscisse x, remarquons que:
u(x + a, t) = u(na + a, t) = u_(n + 1)(t)
et
Figure 2: Représentation de u(x, t) à t fixé
u(x − a, t) = u(na − a, t) = u_(n − 1)(t).
A5. En utilisant un développement limité à l'ordre 2 , montrer que la fonction u(x, t) vérifie une équation de d'Alembert de la forme (∂^2 u)/(∂x^2) − 1/(C^2)(∂^2 u)/(∂t^2) = 0 et exprimer la célérité C en fonction de K, m et a . Comparer C à une expression obtenue en A4. et interpréter ce résultat.
B - Modèle macroscopique et module d'Young
Un barreau solide est initialement immobile dans un référentiel galiléen d'axe Ox. Lorsqu'il est au repos, ce barreau est un cylindre homogène d'axe Ox, taillé dans un matériau de masse volumique ρ, dont l'aire de chaque section sera notée S.
Une onde de déformation élastique longitudinale (onde de compression-dilatation) se propage à l'intérieur du barreau dans la direction de Ox; cette onde est caractérisée par le champ scalaire des déplacements u(x,t) tel qu'une section située à l'abscisse x en l'absence d'onde se déplace à l'abscisse x + u(x, t) lors du passage de celle-ci (figure 3 ).
Figure 3 : Onde élastique longitudinale dans un barreau
Dans la limite des petites déformations, la matière située à gauche de la section déplacée en x + u(x, t) exerce sur celle-ci une force de rappel F⃗_g dont l'expression générale est : F⃗_g = − E(∂u)/(∂x)(x, t)Se⃗_x, où E désigne le module d'élasticité d'Young. De même, la matière située à droite de la section exerce sur celle-ci une force F⃗_d.
B1. Etablir la dimension de E et justifier que F⃗_d = − F⃗_g.
En l'absence d'onde, une tranche élémentaire de barreau située entre les abscisses x et x + dx possède un volume dV = Sdx. Lors du passage de l'onde, son volume devient dV'. La dilatation volumique δ de cette tranche est définie comme le quotient δ = (dV^′ − dV)/(dV).
B2. Expliciter la relation entre δ et (∂u(x, t))/(∂x).
B3. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à cette tranche, montrer que dans la limite des petits déplacements u(x, t) satisfait à une équation de d'Alembert de la forme : (∂^2 u)/(∂x^2) − 1/(C^2)(∂^2 u)/(∂t^2) = 0.
Exprimer la célérité C en fonction de E et ρ.
C - Liaison interatomique et module d'Young
Au sein d'un réseau cristallin métallique, l'énergie potentielle d'interaction de deux atomes A et B distants de r peut s'écrire: E_p(r) = − λ/(r^2) + μ/(r^(10)), où λ et μ sont deux constantes positives. La force exercée par A sur B est de la forme F⃗_(AB) = F(r)u⃗, où u⃗ désigne le vecteur unitaire directeur de la droite (AB), dirigé de A vers B.
C1*a. Déterminer l'expression de F(r) en fonction de λ, μ et r. La distance d'équilibre entre deux atomes étant r_0, en déduire une relation entre λ, μ et r_0.
C1*b. Calculer les valeurs numériques de μ (exprimé en eV.nm^(10) ) et de E_P(r_0) (exprimé en eV) dans le cas précis du tungstène, métal pour lequel r_0 = 0, 274 nm, λ = 0, 37eV.nm^2. (rappelons qu'un électron-volt est égal à 1, 6.10^(− 19) J ) Quel sens concret peut on donner à E_p(r_0) ?
C1*C. Tracer l'allure de la courbe E_P(r) en indiquant ses points remarquables. Dans quels domaines de r la force entre les deux atomes est elle attractive ou répulsive?
C2. En effectuant un développement limité de F(r), montrer que pour de petits déplacements autour de la position d'équilibre r_0, la force d'interaction F(r) est équivalente à celle d'un ressort dont on explicitera la raideur K en fonction de λ et r_0. Calculer K (exprimé en N.m^(− 1) ) pour le tungstène.
Le tungstène cristallise dans un système cubique centré. La maille est un cube d'arête a dont les atomes occupent tous les sommets ainsi que le centre. Dans cette structure, chaque atome A possède huit plus proches voisins, tous situés à une même distance r_0 de A, r_0 étant la distance d'équilibre introduite en C1*a.
C3a. Etablir la relation entre r_0 et a puis calculer a (exprimé en nm ).
C3b. Quel est le nombre d'atomes par maille cubique? Donner l'expression de la masse volumique ρ de ce métal en fonction m (masse d'un atome) et de a.
Une étude approfondie de la propagation des ondes élastiques longitudinales dans ce milieu tridimensionnel montre que, dans l'hypothèse des interactions limitées aux atomes les plus proches voisins et dans la limite des grandes longueurs d'onde ( k → 0 ), l'expression de la célérité obtenue en A5 doit être remplacée par:
C = √(K/(3 m))a, où K est la raideur du ressort, calculée en C2_–.
En comparant cette expression aux résultats obtenus dans la partie B, il est possible de relier le module d'élasticité d'Young E aux paramètres microscopiques du métal.
C4a. Exprimer le module E , d'abord en fonction de K , a et m , puis en fonction de λ et r_0.
C4b. Calculer le module E du tungstène, à l'aide des données numériques précédemment fournies.
DEUXIEME PARTIE ETUDE DES ONDES SISMIQUES TERRESTRES
Les ondes sismiques sont des ondes de déformation élastique qui se propagent à l'intérieur du globe terrestre (ondes de volume) ou en surface (ondes de Love et de Rayleigh). Ces ondes peuvent être longitudinales (la déformation se fait dans le sens de la propagation de l'onde) ou transversales (déformation perpendiculaire à la direction de propagation). Dans ce dernier cas, il s'agit d'ondes de cisaillement.
Nous allons étudier dans cette partie un type particulier d'ondes de volume longitudinales : les ondes P (primaires). La propagation de ces ondes dans la Terre, peut être décrite au moyen d'une analogie avec l'optique géométrique: l'onde se propage le long de «rayons sismiques» avec une célérité C. Dans un milieu homogène, les rayons sismiques sont des segments de droite. A l'interface entre deux milieux, il y a réflexion et réfraction du rayon incident, selon les lois de Snell-Descartes (figure 4), notamment :
l'angle entre le rayon réfléchi et la normale au dioptre
Figure 4 : Lois de Snell - Descartes
est égal à l'angle d'incidence,
les angles d'incidence i et de réfraction r vérifient :
(sini)/(C_1) = (sinr)/(C_2)
A - Étude locale
La courbure de la Terre est négligée. Le sol est divisé en deux couches homogènes : la croûte terrestre d'épaisseur h dans laquelle la célérité des ondes est C_1 et le manteau à l'intérieur duquel leur célérité vaut C_2 > C_1. Une explosion a lieu en un point S proche de la surface et les ondes produites sont détectées par un capteur lui aussi en surface, placé en M, à une distance x de S. Le capteur reçoit trois ondes qui sont représentées sur la figure 5.
Figure 5 : Les trois types d'onde arrivant sur le capteur
A1. L'onde qui se propage parallèlement à la surface est l'onde directe. Déterminer son temps de propagation τ_1 en fonction de C_1 et x .
A2. Le capteur reçoit une deuxième onde qui s'est réfléchie en P_1 sur la surface de séparation entre la croûte terrestre et le manteau. Exprimer son temps de propagation τ_2 en fonction de C_1, x et h .
A3*a. Une troisième onde peut se propager jusqu'au capteur après s'être réfractée en P dans le manteau, puis être ressortie en P'. Quel doit être l'angle d'émission α pour que l'onde réfractée se propage le long de l'interface plane (trajet PP') ?
Montrer que cette onde ne peut être détectée que si x est supérieur à une distance minimale x_m que l'on exprimera en fonction de h, C_1 et C_2.
A3*b. Etablir le temps de propagation τ_3 de cette troisième onde en fonction de C_1, C_2, x et h pour x > x_m.
A4. Tracer sur un même graphe les allures des temps de propagation τ_1, τ_2 et τ_3 en fonction de la distance x.
Les courbes ainsi obtenues sont appelées hodochrones. Les géophysiciens les utilisent pour obtenir des informations sur l'épaisseur de la croûte terrestre et les célérités des ondes sismiques dans la croûte et le manteau. En disposant plusieurs capteurs à différentes distances x du lieu de l'explosion et en mesurant le temps de propagation de l'onde qui arrive la première, on obtient la courbe représentée sur la figure 6.
Figure 6 : Résultats expérimentaux
A5*a. Déduire de la figure les vitesses de propagation C_1 et C_2 puis, en considérant l'intersection des deux courbes, évaluer l'épaisseur h de la croûte terrestre.
A5*b. Déterminer une nouvelle valeur numérique de h en exploitant la prolongation de la deuxième courbe jusqu'en x = 0.
Que pensez-vous de la précision des mesures ?
B - Étude à grande échelle
À grande échelle, la courbure de la Terre ne peut plus être négligée : celle-ci est donc assimilée à une boule de centre O et de rayon R_T (figure 7).
Nous supposerons que la Terre est constituée d'un noyau liquide de rayon R_N inférieur à R_T où la célérité des ondes sismiques P vaut C_3 = 9 km.s^(− 1), entouré du manteau solide d'épaisseur R_T − R_N, à l'intérieur duquel la célérité vaut C_2 = 11 km.s^(− 1). Dans cette partie, l'épaisseur de la croûte terrestre sera totalement négligée.
Figure 7 : Noyau et manteau terrestres
Un tremblement de Terre localisé au point S (à la surface de la Terre) émet des ondes sismiques P dans toutes les directions. Des détecteurs sont placés en différents points M de la surface terrestre, situés dans le même plan méridien et repérés par l'angle θ = (OS^(→−), OM^(→−)).
B1*a. Considérons les ondes issues de S qui arrivent en M en empruntant le trajet direct SM. Ces ondes ne se propagent que dans le manteau. Exprimer leur temps de propagation τ en fonction de R_T, θ et C_2.
B1*b. Montrer que ces ondes ne peuvent pas atteindre le point M lorsque θ est supérieur à une valeur θ_(min). Déterminer l'expression de θ_(min) en fonction de R_T et R_N.
B1*C. Des mesures ont montré que θ_(min) = 106^∘. En déduire la valeur numérique de R_N sachant que R_T = 6, 4 ⋅ 10^3 km.
Considérons maintenant les ondes issues de S qui subissent une réfraction en N et pénètrent à l'intérieur du noyau. Ces rayons subissent une deuxième réfraction en N ' et atteignent un point M sur la surface terrestre, repéré par l'angle θ (figure 8).
Posons φ = (OS^(→−), ON^(→−)) et appelons Q le projeté orthogonal de S sur ON. L'angle d'incidence du rayon sismique en N est noté α(α > 0). Son angle de réfraction est appelé r.
Figure 8 : Trajet du rayon réfracté
B2a. Peut-il y avoir une réflexion totale en N ?
B2b. Montrer que ce type de rayon ne peut exister que si φ est inférieur à un angle maximum φ_(max) dont on donnera l'expression en fonction de R_N et R_T.
Calculer φ_(max), connaissant R_N = 3, 9 ⋅ 10^3 km et R_T = 6, 4 ⋅ 10^3 km.
B2*c. En utilisant le point Q comme intermédiaire de calcul, montrer que :
Le graphique ci-dessous (figure 9) donne l'évolution de θ en fonction de φ, selon l'expression obtenue en B2∗d_–. (les angles sont exprimés en degrés) :
Figure 9 : Évolution de l'angle θ en fonction de l'angle φ
B2*e. Expliquer l'existence d'une «zone d'ombre» sur la surface terrestre, à l'intérieur de laquelle aucune onde issue de S ne peut être détectée.
Déterminer numériquement les valeurs limites de θ qui caractérisent cette zone d'ombre.
TROISIEME PARTIE SISMOGRAPHE ELECTROMAGNETIQUE
Un sismographe est un appareil destiné à enregistrer les mouvements du sol associés aux phénomènes sismiques. Ces mouvements sont très variables en amplitude et en fréquence selon la nature de la source, la distance entre le capteur et l'épicentre du séisme et la nature de l'onde enregistrée.
Nous allons étudier dans cette partie un sismographe électromagnétique (figure 10). Ce type d'appareil ne possède qu'un seul degré de liberté: il n'enregistre que les vibrations verticales du sol. Pour obtenir le déplacement total, il est donc nécessaire d'utiliser trois sismographes : un capteur de déplacements verticaux et deux capteurs de déplacements horizontaux.
Le dispositif étudié est composé :
d'un bâti rigide (R_0) reposant sur le sol,
d'un aimant permanent (A) solidaire du bâti et dont la fonction est de créer un champ magnétique radial de norme constante en tout point de son entrefer cylindrique (la norme de ce champ magnétique sera notée B ),
d'une bobine (b) d'inductance propre L, de résistance R_L, constituée de spires circulaires jointives de même rayon. Cette bobine est entièrement plongée dans l'entrefer de l'aimant; elle est éventuellement parcourue par un courant d'intensité i dont l'orientation est précisée sur la figure 11.
d'un solide (S) solidaire de la bobine et mobile par rapport au bâti, suspendu en C à un ressort de raideur K et de longueur à vide L_0. L'autre extrémité du ressort est attachée au bâti en D. L'ensemble { solide + bobine } constitue l'équipage mobile, de masse totale m et de centre d'inertie G.
Figure 11 : Entrefer et bobine (orientation)
En l'absence de secousse sismique, le sol définit un référentiel galiléen (R_T) que l'on munit du repère vertical ( O; e⃗_z ) (niveau de référence). Le passage de l'onde provoque le déplacement du bâti qui repose sur le sol. Ce bâti constitue un second référentiel qui sera noté ( R_0 ) et qui possède un mouvement vertical de translation rectiligne par rapport à (R_T).
( R_0 ) est muni du repère vertical ( O_1; e⃗_z ), parallèle à celui de (R_T), de telle sorte que la cote de O_1 par rapport à O soit Z_S(t) (figure 10).
L'accélération de la pesanteur est supposée uniforme : g→ = − ge→_z.
A - Bobine en circuit ouvert
Dans cette partie la bobine est en circuit ouvert. L'intensité du courant électrique qui la parcourt est donc nulle.
A1. Le référentiel ( R_0 ) est-il galiléen ? Quelles sont, en fonction des dérivées temporelles de Z_s, les expressions de la vitesse d'entraînement v⃗_e et de l'accélération d'entraînement a_e de (R_0) par rapport à (R_T) ?
A2. En l'absence d'onde sismique ( Z_s constant), l'équipage mobile est en équilibre mécanique par rapport à (R_0). Quelle est alors la longueur L_(éq) du ressort en fonction de K, L_0, m et g ?
Les vibrations du sol entraînent un déplacement de l'équipage mobile par rapport à sa position d'équilibre. Les mouvements verticaux étant les seuls étudiés, la cote du centre d'inertie G devient à l'instant t : z_G(t) = z_(éq) + z(t) ( z_(éq) étant la cote à l'équilibre mécanique). La longueur du ressort est alors L(t).
A3. Ecrire la relation entre les grandeurs L(t), L_(éq) et z(t).
A4. En raisonnant dans le référentiel (R_0), établir l'équation différentielle à laquelle satisfait z puis la mettre sous la forme (d^2 z)/(dt^2) + ω_0^2 z = − (d^2 Z_s)/(dt^2) en explicitant ω_0 en fonction de K et m.
B - Étude du dispositif de détection des vibrations
La bobine est constituée d'un enroulement de fil de longueur totale ℓ; elle est maintenant parcourue par un courant électrique d'intensité i.
B1. Déterminer la résultante des actions mécaniques exercées sur la bobine par le champ magnétique B⃗ de l'aimant. En déduire que l'équation différentielle établie en A4. doit désormais être remplacée par l'équation:
Donner l'expression du coefficient γ en fonction de B, ℓ et m .
La bobine est reliée au circuit électronique représenté ci-dessous dans lequel l'amplificateur opérationnel est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire (figure 12).
Figure 12 : Montage électronique
B2*a. Exprimer la force électromotrice e induite dans la bobine par le champ magnétique de l'aimant en fonction de B, dz/dt et ℓ.
B2*b. Quelle est l'origine physique du courant électrique qui traverse la bobine ?
Établir l'équation électrique qui relie, en régime quelconque (pas nécessairement sinusoïdal), l'intensité i à e, L, R_L et R.
Lors du passage d'une onde sismique, le mouvement du bâti est une fonction sinusoïdale du temps de la forme Z_s(t) = Z_0 cos(ωt). Intéressons-nous au régime sinusoïdal forcé de l'ensemble du dispositif : toutes les grandeurs sont donc des fonctions sinusoïdales du temps de même pulsation ω.
Rappelons qu'à toute grandeur sinusoïdale g(t) = Gcos(ωt + φ) il est possible d'associer une représentation complexe g(t) = Gexp(j(ωt + φ)) = G_–exp(jωt), où G_– = Gexp(jφ) désigne l'amplitude complexe de g.
Posons en particulier: Z_–_s(t) = Z_0 exp(jωt) et u_–(t) = U_–exp(jωt).
B3*a. Déterminer la relation entre Z_– et I (amplitudes complexes de Z_– et i_– ).
La résistance R du dispositif électronique étant ajustée de sorte que Lω≪(R + R_L), quelle est alors la relation approchée reliant Z_– et I_– ?
Considérons le montage (E) réalisé autour de l'amplificateur opérationnel (figure 12).
B3b. Quel nom donne-t-on usuellement à ce montage ?
Expliciter la relation entre les amplitudes complexes U_–_L et U_–.
B3c. Déterminer à l'aide de B1. l'équation reliant Z_– et Z_0 et en déduire l'expression de la fonction de transfert électromécanique H_–(jω) = U_–/Z_0 de ce dispositif, en l'écrivant sous la forme :
H_–(jω) = − H_0(ω^2)/(ω_0^2 − ω^2 + 2jλω)
Quelles sont les expressions du coefficient d'amortissement λ et de H_0 ?
Dans toute la suite du problème, les paramètres du sismographe et du montage électronique sont ajustés pour que λ = ω_0.
B4*a. Établir les expressions du gain G(ω) = |H_–(jω)| et de l'argument φ(ω) = arg H_– de la fonction de transfert électromécanique. Représenter leur allure en fonction de ω.
B4*b. Tracer le diagramme de Bode de H_–(jω) (amplitude et phase) en y précisant les asymptotes et les points remarquables.
Quelle est la nature du filtre réalisé par ce dispositif ?
Un sismographe fonctionne de manière optimale lorsque le quotient U/Z_0 entre l'amplitude réelle U de la tension u(t) et l'amplitude Z_0 du déplacement du sol est une constante indépendante de la fréquence des vibrations.
B5*a. Dans ce cas, le sismographe doit-il avoir une pulsation propre ω_0 importante ou au contraire peu élevée ?
Comment doit-on choisir la masse m de l'équipage mobile ainsi que la raideur K du ressort?
B5*b. Pour une fréquence propre f_0 = ω_0/2π donnée, quel est le domaine de fréquences pour lequel le comportement du sismographe diffère de moins de 1% de son comportement optimal?
B5*c. Dans le cas d'un séisme proche, les fréquences de l'onde varient habituellement entre 1 Hz et 10 Hz . En déduire un ordre de grandeur de f_M, valeur maximale de la fréquence propre f_0 permettant d'assurer un fonctionnement idéal.
B5*d. Application numérique : le ressort utilisé a une raideur de l'ordre de 5000 N.m^(− 1). Quelle masse minimale doit posséder l'équipage mobile pour assurer le bon fonctionnement de l'appareil?
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique E3A PC 2007 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique E3A PC 2007 ?
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Le sujet porte sur les ondes élastiques dans un solide (modèle microscopique et module d'Young), la propagation des ondes sismiques P par analogie avec l'optique géométrique, et le fonctionnement d'un sismographe électromagnétique.
Quelle est la moyenne à l'épreuve de physique E3A PC 2007 ?
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La moyenne est de 9,13/20, avec un écart-type de 3,91.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à cette épreuve de physique E3A PC 2007 ?
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Le jury relève un manque de rigueur mathématique, des interprétations physiques presque systématiquement évitées, une confusion sur la notion de propagation dispersive, une relation force-énergie potentielle mal perçue, et un diagramme de Bode non maîtrisé.
Cette épreuve de physique E3A PC 2007 est-elle difficile ?
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Oui, la moyenne de 9,13/20 et l'écart-type de 3,91 traduisent une épreuve difficile, malgré une progressivité des questions et de nombreux résultats intermédiaires fournis dans l'énoncé.
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