E3A Mathématiques A PC 2011Sujet et corrigé

Concours ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques A PC

Durée 4 h

L'usage de calculatrices est interdit.

Problème.

• La présentation, la lisibilité, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements, l'énoncé exact des théorèmes de cours utilisés entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
  ⇔ Les quatre parties sont très largement indépendantes.
• Dans tout le problème :
• f désigne la fonction définie sur ℝ par f(x) = 1/(√(1 + x^4)).
• F désigne l'unique primitive de f qui s'annule en 0 donc F(x) = ∫_0^x f(t)dt.
  ∗α = ∫_0^(+ ∞)(dt)/(√(1 + t^4)).
  ∗ pour tout n ∈ ℕ : a_n = ((2n)!)/(4^n(n!)^2).

Partie I: Résultats préliminaires.

1. Etude de f :
   a) Etudier la fonction f puis tracer sa courbe représentative (C_f).
   b) ( C_f ) possède-t-elle des points d'inflexion? Si oui, les déterminer.
   c) Donner le développement limité à l'ordre 8 en 0 de f.
   d) Donner les valeurs de f^((k))(0) pour k ∈ {1, …, 8}. Enoncer avec soin le ou les théorème(s) utilisé(s).
2. Etude de (a_n)_(n ∈ ℕ) :
   a) Etudier la monotonie de la suite (a_n)_(n ∈ ℕ).
   b) La suite (a_n)_(n ∈ ℕ) est-elle une suite convergente?
   c) Montrer que pour tout n ∈ ℕ, a_n = ((2n)/n)(1/2)^(2n).
   d) Quel est le rayon de convergence de la série entière ∑_(n ≥ 0)a_n z^n ?
3. Etude d'une intégrale impropre:
   a) Justifier l'existence de F. Enoncer avec précision le théorème utilisé.
   b) Justifier l'existence de α.
   c) Montrer que ∫_1^(+ ∞)(dt)/(√(1 + t^4)) = ∫_0^1(dt)/(√(1 + t^4)) (justifier avec soin).
   d) En déduire que α = 2F(1).
   e) i) Montrer que la série de terme général f(n) converge.
   ii) Montrer que α ≤ ∑_(n = 0)^(+ ∞)f(n) ≤ α + 1.

Partie II : Intégrales de Wallis.

1. Calculer I_0 et I_1.
2. Montrer que pour tout n ∈ ℕ, I_n = ∫_0^(π/2)sin^n tdt.
3. Montrer que pour tout n ∈ ℕ, I_n > 0.
4. Montrer que (I_n)_(n ∈ ℕ) est une suite décroissante et convergente.
5. Montrer que pour tout n ∈ ℕ avec n ≥ 2, nI_n = (n − 1)I_(n − 2) (utiliser une intégration par parties).
6. Montrer que la suite ((n + 1)I_(n + 1)I_n)_(n ∈ ℕ) est constante (donner sa valeur).
7. Montrer que pour tout n ∈ ℕ, I_(2n) = π/2a_n et I_(2n + 1) = 1/((2n + 1)a_n).
8. a) Montrer que pour tout n ∈ ℕ avec n ≥ 2, 1 ≤ (I_(n − 1))/(I_n) ≤ (I_(n − 2))/(I_n).
   b) Calculer la limite des suites de terme général : (I_(n − 2))/(I_n), (I_(n − 1))/(I_n) et nI_n^2.
   c) Donner un équivalent de I_n quand n tend vers + ∞.
9. a) Montrer que pour tout n ∈ ℕ^∗, 1/(√π√(n + 1)) ≤ a_n ≤ 1/(√π√n).
   b) En déduire que le terme a_n est équivalent à 1/(√π√n) quand n tend vers + ∞.
   c) Donner la nature des séries de terme général :
   i) a_n
   ii) (a_n)/(4n + 1)
   iii) (− 1)^n a_n
   iv) ((− 1)^n a_n)/(4n + 1)

Partie III: Etude de F :

1. Etude globale de F :
   a) Montrer que F est de classe C^∞ sur ℝ.
   b) Donner le sens de variation de F sur ℝ.
   c) Montrer que F est impaire.
   d) Montrer que pour tout x ≥ 1, F(x) − F(1) ≤ 1 − 1/x.
   e)Enoncer le théorème concernant l'existence de la limite en + ∞ d'une fonction croissante définie sur [A, + ∞[ (où A ∈ ℝ ).
   f) Déduire des 2 questions précédentes que F a une limite finie en + ∞.
2. Etude locale de F :
   a)Donner le développement limité de F en 0 à l'ordre 9 . Enoncer le théorème utilisé.
   b)Donner une équation de la tangente Ta à ( C ) au point d'abscisse 0 et préciser la position de (C) par rapport à T au voisinage de 0 .
   c) La courbe ( C ) possède-t-elle des points d'inflexion ? Si oui, les déterminer.
3. Lien avec α :
   a) Montrer que pour tout x > 0, F(x) − F(1) = F(1) − F(1/x).
   b) En déduire que la limite de F en + ∞ est égale à 2F(1).
   c) En utilisant la partie I)3), montrer que la limite de F en + ∞ est α et retrouver le résultat de III)3)b).
4. Tracé de (C):
   a)Dresser le tableau de variations de F.
   b) Donner une équation de la tangente à (C) au point d'abscisse 1.
   c) Tracer ( C ) en tenant compte des différents points de l'étude précédente. Pour le tracé, prendre α ≈ 1.85.
5. Quelques applications de F :
   a) Résoudre l'équation différentielle ( E ) : (1 + t^4)y^′ + 2t^3 y = 1.
   b) On considère la courbe paramétrée : (Г) {x(t) = F(t); y(t) = 1/t.
   i) Montrer que l'étude de ( Γ ) peut être restreinte à ]0, + ∞[. Préciser alors les symétries de ( Γ ).
   ii) Dresser le tableau de variations de ( Γ ).
   iii) Déterminer de manière précise le comportement de ( Γ ) quand t tend vers + ∞.
   iv) Tracer la courbe ( Γ ).
   c) On considère la fonction φ : {ℝ^2 → ℝ; (x, y) ↦ {(x^2 F(xy))/(x^2 + y^2), si (x, y) ≠ (0, 0); 0, si (x, y) = (0, 0)
   i) Montrer pour tout (x, y) ∈ ℝ^2, les trois inégalités suivantes :

Partie IV : Développement en série entière de F et utilisation.

1. Etude de h:
   a) Donner le rayon de convergence de la série entière définissant h.
   b) Montrer que h(1) et h(− 1) existent.
   c) Enoncer le théorème de continuité de la somme d'une série entière de rayon R > 0 sur le segment [0, R] et en déduire que h est continue sur [ − 1, 1].
   d) i) Montrer que la série de fonctions ∑_(n ≥ 0)((− 1)^n a_n)/(4n + 1)x^(4n + 1) est normalement convergente sur [ − 1, 1].
   ii) Retrouver le résultat de IV)1)c). Enoncer le théorème utilisé.
2. Développement en série entière de F :
   a) Rappeler, si β ∈ ℝ, le développement en série entière de la fonction b définie par b(x) = (1 + x)^β. Sur quel intervalle ce développement est-il valable?
   b) En déduire que f puis F sont développables en série entière au voisinage de 0 et préciser leur développement en série entière.
   c) Montrer que pour tout x ∈ [ − 1, 1] : F(x) = h(x) (on pourra utiliser IV)1)c)).
   d) En déduire que α = 2∑_(n = 0)^(+ ∞)((− 1)^n a_n)/(4n + 1).
3. Valeur approchée de α :