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X ENS Mathématiques PC 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

Matrices infiniment divisibles

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Matrices infiniment divisibles : fonction Gamma, matrices symétriques positives et produit de Hadamard
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Le sujet de mathématiques X-ENS PC 2011 étudie les matrices symétriques dont toutes les puissances de Hadamard réelles restent positives. Il commence par la fonction Gamma et sa formule de limite, établit les propriétés des matrices positives et du produit de Hadamard, puis démontre l'infinie divisibilité de plusieurs familles de matrices et termine sur les matrices conditionnellement positives.

  1. 1Première partie : la fonction GammaIntégrabilité, valeurs aux entiers, continuité puis expression de Gamma comme limite par convergence dominée (questions 1 et 2).
  2. 2Deuxième partie : matrices positives et produit de HadamardCaractérisation des matrices symétriques positives par leurs valeurs propres, matrices de Gram et positivité du produit de Hadamard de deux matrices positives (questions 3 à 8).
  3. 3Troisième partie : matrices infiniment divisiblesÉtude d'exemples, passage des puissances rationnelles aux puissances réelles et infinie divisibilité de matrices construites à partir d'intégrales et de la fonction Gamma (questions 9 à 13).
  4. 4Quatrième partie : matrices conditionnellement positivesLien entre infinie divisibilité et positivité conditionnelle du logarithme des coefficients, avec des applications à des matrices définies par des distances entre complexes (questions 14 à 17).

Difficulté moyenne. Le jury jugeait les trois premières parties sans grande difficulté, mais les résultats ont été très décevants et la quatrième partie n'a été abordée que par 1 % des candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,45 / 20 · écart-type 3,17 · 1 595 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,45/ 20
Écart-type
3,17
Copies
1 595
moyenne 8,4505101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Continuité d'une intégrale à paramètre · Fausses caractérisations des matrices positives · Énoncé lu trop vite
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Les correcteurs attendaient un sujet simple et bien découpé, mais les notes ont été si basses que les barèmes ont dû être relevés. Des questions élémentaires ont donné lieu à des rédactions interminables, et la présentation des copies s'est nettement dégradée. La troisième partie a révélé une grande confusion entre puissance de Hadamard et puissance matricielle.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Continuité d'une intégrale à paramètre1c, 2c

    La domination doit distinguer x > 1 et x < 1 ; peu de candidats l'ont vu, et la dépendance de la borne en m a été oubliée en 2c.

  2. 2
    Fausses caractérisations des matrices positives3, 7

    Positivité ramenée aux seuls coefficients diagonaux ou au seul déterminant, et réponses de plusieurs pages à la question 3 pourtant élémentaire.

  3. 3
    Énoncé lu trop vite8a, 8b

    En 8a, il fallait écrire A comme somme de matrices Y tY avec Y colonne, et non comme un seul produit ; la question 8b, accessible et bien notée, n'a presque pas été tentée.

  4. 4
    Puissance de Hadamard et puissance matriciellePartie III

    Beaucoup confondent la puissance de Hadamard avec la puissance usuelle et affirment que ses valeurs propres sont les puissances des valeurs propres.

    « Les candidats ont souvent confondu A∗r avec Ar. »
  5. 5
    Passage à la limite en force11, 13b

    Approcher r par des rationnels ne suffit pas sans justifier soigneusement la limite ; la question 11 a eu un succès quasi nul et 13b a été correctement traitée par très peu.

  6. 6
    Calculs démesurés et incohérences9b

    Pour la valeur critique de r en 9b, des pages de calcul ont abouti à des seuils supérieurs à 1, incompatibles avec la positivité de A.

Ce qui a été bien réussi

  • Le calcul de Gamma aux entiers (1b) et la question 2b n'ont pas posé de difficulté à la plupart des candidats.
  • La caractérisation par les valeurs propres (question 4) est plutôt bien réussie.
  • L'astuce de regroupement de la question 5 a été trouvée par presque tous.
  • Les questions 12a à 12d ont été en général bien traitées.

Conseils du jury

  • Rendre une copie propre, rédigée avec des phrases : la présentation sera prise en compte dans la note.
  • Garder les essais pour le brouillon et écrire à l'encre noire.
  • Chercher les questions qui demandent un peu de réflexion ou de calcul, qui rapportent davantage que les petites questions faciles.
  • Contrôler la cohérence d'un résultat avec ce qui précède.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - (XEULC)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Matrices infiniment divisibles

Notations :

On désigne par R le corps des nombres réels et par R_+l'ensemble des réels positifs ou nuls. Soit n un entier ⩾ 1. On désigne par M_n(R) l'espace vectoriel réel des matrices carrées à n lignes et n colonnes. Si M ∈ M_n(R), on note det(M) son déterminant. On désigne par SM_n(R) le sous-espace vectoriel de M_n(R) des matrices symétriques. On note I_n ∈ M_n(R) la matrice identité. On identifie R^n et l'espace des matrices à n lignes et 1 colonne.

Première partie : la fonction Γ

1a. Montrer que pour réel s > 0, la fonction x ↦ e^(− x)x^(s − 1) est intégrable sur [0, + ∞[. On pose alors Γ(s) = ∫_0^(+ ∞)e^(− x)x^(s − 1) dx.
1b. Calculer Γ(m) pour m entier strictement positif.
1c. Montrer que Γ est continue sur ]0, + ∞[.
2a. Montrer que pour tout entier strictement positif m et pour x ∈ [0, m], (1 − x/m)^m ⩽ e^(− x). Montrer que lim_(m → + ∞)(1 − x/m)^m = e^(− x).
2b. Montrer que ∫_0^m(1 − x/m)^m x^(s − 1) dx = (m!m^s)/(s(s + 1)⋯(s + m)), pour tout réel s > 0 et pour tout entier m. (On pourra procéder par intégrations par parties successives).
2c. Montrer que pour tout réel s > 0, Γ(s) = lim_(m → + ∞)(m!m^s)/(s(s + 1)⋯(s + m)).

Deuxième partie : matrices positives et produit de Hadamard

Soit A = (a_(ij)) ∈ M_n(R). On dit que A est positive si A est symétrique et
∀X = ^t(x_1, ⋯, x_n) ∈ R^n, ⟨X, AX⟩ = ^t XAX = ∑_(1 ⩽ i, j ⩽ n)a_(ij)x_i x_j ⩾ 0
où ⟨.,. ⟩désigneleproduitscalaireeuclidienstandardsurR^n.
3. Soit A = (a, b; b, d) ∈ SM_2(R). Montrer que A est positive si et seulement si a ⩾ 0, d ⩾ 0, det(A) ⩾ 0.
4. Soit A = (a_(ij)) ∈ SM_n(R). Montrer que A est positive si et seulement si ses valeurs propres sont des réels positifs ou nuls.
5. Soit A = (a_(ij)) ∈ SM_n(R) une matrice positive, et λ_1, ⋯, λ_n des réels. Montrer que, posant b_(ij) = λ_i λ_j a_(ij), la matrice B = (b_(ij)) est positive.
6. Soit H un espace vectoriel préhilbertien réel, pour lequel le produit scalaire de deux éléments x, y ∈ H est noté ⟨x, y⟩. Soient u_1, ⋯, u_n ∈ H. On pose a_(ij) = ⟨u_i, u_j⟩. Montrer que la matrice A = (a_(ij)) est positive.
Soient A = (a_(ij)), B = (b_(ij)) ∈ M_n(R). Leur produit de Hadamard est la matrice C = (c_(ij)) ∈ M_n(R) donné par : c_(ij) = a_(ij)b_(ij). On désignera cette opération par le signe *: C = A∗B.
7. Montrer que si A ∈ SM_n(R) est une matrice positive et si B est une matrice diagonale à coefficients diagonaux positifs ou nuls, alors A∗B est une matrice positive.
8a. Montrer que si A ∈ SM_n(R) est une matrice positive, elle peut s'écrire comme somme de matrices de la forme Y^t Y = ^t(y_1, ⋯, y_n)(y_1, ⋯, y_n), où Y = ^t(y_1, ⋯, y_n) ∈ R^n. On pourra commencer par le cas où A est diagonale.
8b. Montrer que si A, B ∈ SM_n(R) sont des matrices positives, alors A∗B est une matrice positive.

Troisième partie : matrices infiniment divisibles

On considère maintenant des matrices A = (a_(ij)) ∈ SM_n(R) dont les coefficients sont des réels positifs ou nuls. Il résulte de la question 8b. que si A est positive, alors pour tout entier r > 0, la matrice A^(∗r) = (a_(ij)^r) est positive. On dit qu'une matrice symétrique A à coefficients a_(ij) positifs ou nuls est infiniment divisible si pour tout réel r > 0, la matrice ( a_(ij)^r ) est positive. On désignera encore, lorsque r est un réel strictement positif, par A^(∗r) la matrice ( a_(ij)^r ).
9a. Soit A ∈ M_2(R) une matrice symétrique positive à coefficients positifs ou nuls. Montrer qu'elle est infiniment divisible.
9b. Soit A = (1, 1, 0; 1, 2, 1; 0, 1, 1). Montrer que A est positive. Déterminer les valeurs de r > 0 pour lesquelles A^(∗r) est positive.
10. Montrer que si A = (a_(ij)) est infiniment divisible et si λ_1, ⋯, λ_n sont des réels strictement positifs, alors posant b_(ij) = λ_i λ_j a_(ij), la matrice B = (b_(ij)) est infiniment divisible.
11. Soit A une matrice symétrique à coefficients positifs ou nuls. Montrer que si pour tout entier m ⩾ 1, A^∗ 1/m est positive, alors A est infiniment divisible.
12. Soient λ_1, …, λ_n des réels strictement positifs. On forme la matrice C = (c_(ij)) avec c_(ij) = 1/(λ_i + λ_j) et on se propose de montrer qu'elle est infiniment divisible.
Soit H l'espace vectoriel des fonctions continues sur R_+à valeurs réelles, dont le carré est intégrable. On munit H du produit scalaire : pour f, g ∈ H, ⟨f, g⟩ = ∫_0^(+ ∞)f(t)g(t)dt. On pose, pour tout t ⩾ 0, u_i(t) = e^(− λ_i t).
12a. Calculer ⟨u_i, u_j⟩ et en déduire que C est positive.
12b. Montrer que pour r > 0 et α > 0, 1/(α^r) = 1/(Γ(r))∫_0^(+ ∞)e^(− tα)t^(r − 1) dt.
12c. Soit, pour r > 0, H_r l'ensemble des fonctions continues u sur R_+à valeurs réelles telles que la fonction t ↦ u(t)^2 t^(r − 1) est intégrable sur R_+. On admet que c'est un espace vectoriel. Montrer que si on pose, pour u, v ∈ H_r, ⟨u, v⟩ = ∫_0^(+ ∞)u(t)v(t)t^(r − 1) dt, on munit H_r d'un produit scalaire.
12d. Montrer que C est infiniment divisible.
13. Soient λ_1, ⋯, λ_n des réels strictement positifs. Pour 1 ⩽ i, j ⩽ n on pose k_(ij) = (Γ(λ_i + λ_j + 1))/(Γ(λ_i + 1)Γ(λ_j + 1)). On se propose de montrer que la matrice K = (k_(ij)) est infiniment divisible.
13a. Montrer que k_(ij) = lim_(m → + ∞)1/(m ⋅ m!)∏_(p = 1)^(m + 1)((λ_i + p)(λ_j + p))/((λ_i + λ_j + p)).
13b. Montrer que pour tout entier p ⩾ 1, la matrice (((λ_i + p)(λ_j + p))/((λ_i + λ_j + p)))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) est infiniment divisible. Conclure.

Quatrième partie : matrices conditionnellement positives

On dit qu'une matrice A = (a_(ij)) de M_n(R) est conditionnellement positive si elle est symétrique et si pour tout X = ^t(x_1, ⋯, x_n) ∈ R^n tel que ∑_(i = 1)^n x_i = 0, on a
^t XAX = ∑_(1 ⩽ i, j ⩽ n)a_(ij)x_i x_j ⩾ 0
  1. Soient λ_1, ⋯, λ_n des réels strictements positifs. Posons a_(ij) = − ln(λ_i + λ_j). Montrer que A = (a_(ij)) est conditionnellement positive. (Pour X = ^t(x_1, ⋯, x_n) ∈ R^n tel que ∑_(i = 1)^n x_i = 0, on pourra introduire la fonction définie sur R_+par :
f(r) = ∑_(1 ⩽ i, j ⩽ n)x_i x_j(1/(λ_i + λ_j))^r
et utiliser les résultats de la question 12.).
15. Notons J la matrice de M_n(R) dont tous les coefficients sont égaux à 1 . Soit B ∈ SM_n(R). Considérons les deux conditions suivantes:
(i) B est conditionnellement positive.
(ii) ∀ε > 0, ∃λ > 0 tel que la matrice B + εI_n + λJ est positive.
Montrer que (ii) implique (i).
On admettra dans la suite que ces deux conditions sont en fait équivalentes.
16a. On suppose que A = (a_(ij)) est infiniment divisible et que tous les coefficients de A sont strictement positifs. Montrer que la matrice ( lna_(ij) ) est conditionnellement positive.
16b. Réciproquement, supposons que la matrice B = (b_(ij)) est conditionnellement positive. En considérant pour tout ε > 0 une matrice C = (c_(ij)) = B + εI_n + λJ comme au 15., montrer que pour tout r > 0, la matrice (exp(rc_(ij))) est positive. En déduire que la matrice (exp(rb_(ij))) est positive.
17a. Soient z_1, ⋯, z_n des nombres complexes. Montrer que la matrice (e^(− |z_i − z_j|^2)) est infiniment divisible.
17b. Soient z_1, ⋯, z_n des nombres complexes. Montrer que pour tout t > 0, la matrice de coefficients 1/(t + |z_i − z_j|^2) est positive, puis que la matrice de coefficients − ∫_0^(+ ∞)t^(− 1/2)(|z_i − z_j|^2)/(t + |z_i − z_j|^2) dt est conditionnellement positive.
17c. Montrer que la matrice (e^(− |z_i − z_j|)) est infiniment divisible.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de maths X-ENS PC 2011 ?
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Sur quoi porte le sujet de maths X-ENS PC 2011 ?

Sur les matrices infiniment divisibles : fonction Gamma, matrices symétriques positives, produit de Hadamard et matrices conditionnellement positives.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths X PC 2011 ?

La moyenne est de 8,45 sur 20 avec un écart-type de 3,17, sur 1595 copies.

Quelles erreurs le jury de maths Polytechnique PC 2011 a-t-il relevées ?

Une domination mal faite pour la continuité de Gamma, de fausses caractérisations des matrices positives, la confusion entre puissance de Hadamard et puissance matricielle et des passages à la limite non justifiés.

Le sujet X-ENS maths PC 2011 est-il abordable ?

Le jury pensait les trois premières parties sans grande difficulté, mais les résultats ont été très décevants et la quatrième partie n'a presque pas été abordée.

Pas de description pour le moment