Centrale Mathématiques 2 PC 2001Sujet, corrigé et rapport du jury

On désigne par ℳ_(p, q)(ℂ) l'ensemble des matrices à p lignes et q colonnes dont les coefficients sont des nombres complexes. Pour toute matrice A ∈ ℳ_(p, q)(ℂ) on note ^t A la matrice transposée de A, A^– la matrice obtenue en conjuguant tous les coefficients de la matrice A et rg(A) le rang de A.
On fixe un entier n ≥ 2 et on considère V = ℳ_(n, 1)(ℂ), E = ℳ_(n, n)(ℂ) munis des opérations usuelles. Les vecteurs nuls sont notés respectivement 0_V et 0_E.
L'espace vectoriel V admet pour base canonique

Pour (k, m) ∈ [ [1, n] ]^2 on pose E_(k, m) = e_k^t e_m, cequi donne une matrice à n lignes et n colonnes dont le coefficient d'indice ( i, j ) vaut 1si(i, j) = (k, m) et 0 sinon. La base canonique de E est constituée des n^2 matrices E_(k, m), 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ m ≤ n. On note I la matrice identité, I = ∑_(1 ≤ k ≤ n)E_(k, k).
Si A est une matrice élément de E et W un sous-espace vectoriel de V, A(W) désigne l'ensemble {Aw|w ∈ W}.
Si F est un sous-ensemble de E , on dit que W est stable par F si

Pour tout sous-ensemble ℒ de E on s'intéresse aux propriétés suivantes:
P_1 : ℒ contient (au moins) une matrice de rang 1 ,
P_2 : ℒ contient (au moins) une matrice de rang n ,
P_3 : ℒ contient I,
P_4 : ℒ est un sous-espace vectoriel de E ,
P_5 : ℒ est stable par produit de matrices: A, B ∈ ℒ ⇒ AB ∈ ℒ,
P_6 : si W est un sous-espace vectoriel de V stable par ℒ, alors soit W = {0_V} soit W = V.

I.A - Dans cette section I.A - , ℒ est l'ensemble des A ∈ E qui sont inversibles:

I.A.1) Soit x un vecteur non nul de V. Montrer que pour tout vecteur y non nul de V il existe une matrice inversible A telle que Ax = y.
Indication : on peut considérer deux cas,
a) la famille ( x, y ) est liée,
b) la famille ( x, y ) est libre.

En déduire que la propriété P_6 est vérifiée par ℒ.
I.A.2) Indiquer celles des propriétés P_1, …, P_5 qui sont vérifiées par ℒ; justifier les réponses.
I.B - Dans cette section I.B - , ℒ est l'ensemble des matrices T = (t_(k, m)) ∈ E qui sont triangulaires inférieures, c'est-à-dire telles que

I.B.1) Montrer que e_n est vecteur proprede tout T ∈ ℒ. Que peut-on dire de la propriété P_6 pour ℒ ?
I.B.2) Indiquer celles des propriétés P_1, …, P_5 qui sont vérifiées par ℒ; justifier les réponses.
I.C - Dans cette section I.C -, n = 2 et ℒ est un sous-ensemble de E pour lequel P_3 et P_4 sont vérifiées.
1.C.1) On suppose que P_1 n'est pas vérifiée par ℒ (les matrices 2 × 2 de rang 1 appartiennent donc toutes à E∖ℒ le complémentaire de ℒ dans E). Soit A ∈ ℒ et λ ∈ ℂ. Quelles sont les valeurs possibles du rang de A − λI ? Montrer que ℒ est l'ensemble des homothéties vectorielles.
I.C.2) On suppose que P_6 est vérifiée par ℒ. Montrer qu'alors la propriété P_1 est vérifiée par ℒ.

Dans cette partie, les propriétés P_3 et P_6 sont supposées vérifiées par ℒ (en plus de P_4 et P_5 ). On veut montrer qu'alors P_1 aussi est vérifiée.
On note

et on se propose de montrer que m = 1, ce qui établira P_1.
On suppose dans un premier temps que m ≥ 2. On note alors M_0 un élément de ℒ qui vérifie rg(M_0) = m et on considère une base (z_i)_(1 ≤ i ≤ m) de M_0(V). On note x_1, …, x_m des éléments de V tels que ∀i ∈ [ [1, m] ], M_0 x_i = z_i.
II.A - Montrer que {Nz_1|N ∈ ℒ} = V.

On note alors N_0 un élément de ℒ qui vérifie N_0 z_1 = x_2 et on pose M_1 = M_0 N_0 M_0. Montrer que ( M_0, M_1 ) est une famille libre.
II.B - Montrer que M_0(V) est stable par M_0 N_0 puis que ∃(α, z) ∈ ℂ × M_0(V), tel que z ≠ 0_V et M_0 N_0 z = αz.
En déduire que 0 < rg(M_1 − αM_0) < rg(M_0).
Conclure que m = 1.

Dans cette partie on suppose que n > 2 et que la dimension de ℒ est supérieure ou égale à n^2 − 1. On veut montrer que P_3 et P_6 sont vérifiées, puis que ℒ = E, c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'hyperplan de E stable par produit matriciel.
III.A - Soit W un sous-espace vectoriel de V stable par ℒ; on note k la dimension de W. Montrer que {M ∈ E|M(W) ⊂ W} est un sous-espace vectoriel de E qui contient ℒ et dont la dimension vaut n^2 − k(n − k). En déduire que W = {0_V} ou W = V. On a donc démontré P_6.

III.B.1) On supposeici:
(*) ∃k, m ∈ [ [1, n] ]^2, k ≠ m et E_(k, m) ∈ E∖ℒ.

On note alors ℋ = Vect(E_(k, m), l) le sous-espace vectoriel de E engendré par E_(k, m) et I .
Montrer que dim(ℋ ∩ ℒ) ≥ 1 puis que ℒ contient une matrice inversible.
III.B.2) On suppose ici que c'est le contraire de (*) qui est vrai, donc

Trouver une combinaison linéaire deces E_(k, m) qui donneunematriceinversible. En déduire que dans tous les cas ℒ contient une matrice inversible A .
III.C-Montrer que pour la matrice A définie ci-dessus, la famille ( A, A^2, …, A^(n^2 + 1) ) est une famille liée.
En déduire qu'il existe un entier p > 0 et des nombres complexes (λ_i)_(0 ≤ i ≤ p) tels que λ_0 λ_p ≠ 0 et

Montrer alors que 1 ∈ ℒ.
On a donc démontré P_3.
Compte tenu de la partie II -, la propriété P_1 est donc satisfaite. On note alors M_0 une matrice de rang 1 qui appartient à ℒ, matrice que l'on peut écrire

On introduit le produit scalaire canonique sur V, (v, w) ↦ ^t v^–w et pour v ∈ V on pose

III.D - Soit u ∈ V, u ≠ 0_V. Montrer que C_u est un sous-espace vectoriel de V stable par ℒ et que B_u n'est pas réduit à {0_V}.
Montrer alors que C_u = {0_V} et B_u = V.
Montrer que A_u = V. En déduire que pour tout (x, y) ∈ V^2 il existe L, M ∈ ℒ tels que Lv_0 = x et ^t M^–w_0 = y, puis que toute matrice A ∈ E de rang 1 appartient à ℒ. Montrer que ℒ = E.